外匯套利識別方法新發展：矩陣套利理論綜述

摘 要：外匯市場的巨大交易量和豐厚的潛在套利利潤，使得外匯套利的相關研究得到學者的持續關注。馬明從貨幣價值的一價定律出發，構造了全球無套利匯率矩陣，建立了一套利用匯率矩陣特征值識別套利機會。相比于傳統的三點套利理論具有快速反應、計算簡捷的優點。對矩陣套利識別理論的基本假設和數學基礎進行補充，并在此基礎上完整地闡述該理論。

關鍵詞：外匯市場；矩陣套利；無套利條件；一致性矩陣

中圖分類號：F830 文獻標志碼：A 文章編號：1673-291X（2014）30-0122-05

引言

全球外匯市場是全球最大的金融市場，交易量龐大。1998年全球每日平均的外匯交易量為1.7萬億美元，2010年為4萬億美元。雖然受到全球宏觀經濟不景氣的影響，全球外匯市場交易量仍然不斷上升，2013年日均交易量已經達到5.3萬億美元[1～2]。

套利，是指投資者利用相同資產、類似資產或者具有相同現金流的資產在不同市場或者相同市場的價差獲得利潤的交易行為。通常的套利包括兩次同時進行的交易行為：買入被低估的資產和賣出被高估的資產，從理論上講，所有的套利行為都是無風險的交易行為。按照套利涉及的市場種類或者套利來源，可以將外匯市場套利分為兩類：一是不同即期市場上的同種貨幣存在價差產生的套利機會，包括兩點套利、三點套利以及多點套利；二是由于利息率、即期外匯價格、遠期外匯價格三者的關系偏離拋補利率平價（covered interest parity，產生的套利機會，又稱拋補利率套利（covered interest arbitrage）。兩點套利，通常涉及兩種貨幣、一個貨幣對、兩個外匯市場，是利用匯率在不同市場的報價差異進行套利，由于極易被發現，現實中這種套利機會難以存在。三點套利，通常涉及到三種貨幣、三個貨幣對、三個外匯市場，是利用不同市場對不同貨幣對的報價差異獲利，因此三點套利又被稱為“空間套利”[3]。拋補套利，通常涉及兩種貨幣、一個貨幣對、兩個外匯市場、兩個利率市場，這種套利利用外匯市場或者利率市場價格，對利率平價的偏離獲利。此外，理論上還存在遠期市場的多點套利機會，這個套利機會的存在決定于即期市場的套利機會和無拋補利率套利機會的存在 ，只有即期市場的多點套利和無拋補利率套利機會同時不存在，遠期市場才不存在多點套利機會[4]。

由于全球外匯市場交易量巨大，交易幣種多種多樣，交易時間持續不斷，外匯市場分布廣泛，使得全球外匯市場無風險套利機會始終存在，利潤十分豐厚。因此，對于外匯套利的研究主要集中于套利機會存在性與套利利潤的實證檢驗兩個方面[3]。較早地從從理論上闡明了外匯市場的地理分布和不同國家利率政策的差異分別導致了三點套利和拋補利率套利的存在性。隨后，Branson（1969），Prachowny（1970）和Frenkel（1973），Aliber（1973）分別從交易成本、資本市場不完美性、政治風險的角度解釋了拋補利率套利的存在性[5～8]。隨后學者從理論和實證兩個方面證明了，在外匯市場中，即使利率平價成立，由于交易成本、供求彈性、套利交易執行滯后等原因，短期仍然存在拋補套利的機會[9]。從信息、價格系統、市場效率的角度，Grossman和Stiglitz，（1976）以及Grossman和Stiglitz（1976）提出了著名的“套利悖論”（arbitrage paradox）[10～11]。“套利悖論”指出，如果不存在套利機會，則投資者沒有動力去關心市場產生的價差，那么套利機會就會產生，因此市場完全有效的假定不總是成立的。套利機會的存在總是短暫的，因為套利機會吸引大量投資者進行套利活動，最終價差被平抑。Aliba等（2002）對主要貨幣對1991年1月25日至1999年3月12日的高頻數據進行了研究，發現三點套利機會大量存在外匯市場，平均每個交易日存在90分鐘的套利機會，且這些套利機會中總是存在可獲利的交易窗口[12]。外匯套利的實證研究主要集中于外匯套利利潤的測算。Akram等（2008）[13]的外匯市場數據研究表明，市場對拋補利率平價的偏離產生大量的套利機會，而且這些套利機會能夠帶來的巨大的利潤收益，歐元、英鎊、日元的套利利潤分別為0.08～5.23個基點、0.25～9.24個基點、0.13～6.25個基點[13]。

綜上所述，外匯市場的巨大交易量和豐厚的潛在套利利潤，使得外匯套利的相關研究得到學者的持續關注。

一、外匯套利識別研究的發展現狀

匯率套利研究可以大體分為拋補利率套利的研究和即期市場的套利研究。從目前獲得的文獻來看，學術界對于拋補利率套利的研究較多。一方面，由于利率平價作為國際金融領域的基礎理論，其是否得到外匯市場數據的實證支持，至關重要；另一方面，由于各國利率政策、交易成本、政策風險、資本流動等因素都可能導致拋補利率套利機會的產生，可探討的領域較多。相比之下，即期外匯市場的套利問題的研究進展緩慢。

Chacholiades（1971）[14]發表《The sufficiceny of three-point arbitrage to insure consistent cross rates of exchange》一文，證明了一系列重要結論，并成為即期外匯套利的標準理論[15]。其中關于即期外匯套利的一個重要結論是：如果在全球外匯市場不存在三點套利機會，則任何多點套利機會不存在。此后關于即期外匯市場套利的研究，主要集中于如何利用技術手段識別三點套利機會或者多點套利機會。Aliba等（2002）通過對三種貨幣匯率乘積分布特征的分析，建立了三點套利機會識別的一種可行方法[12]。還有一些關于即期市場外匯套利的少數研究，主要是利用信息技術與計算機編程技術，對外匯市場套利機會進行識別并提出套利策略[16～17]。

目前的即期市場套利機會的識別是建立在對三點套利機會的識別基礎上，但是，隨著可交換貨幣的不斷增加，識別市場存在的機會，就難以避免地要進行多次計算，且一直沒有出現識別多點套利機會的理論方法。馬明（2004）從貨幣價值的一價定律出發，構造了全球無套利匯率矩陣，建立了一套利用匯率矩陣特征值識別套利機會，并提出套利策略的理論[18]。馬明的理論與Chacholiades（1971）的結論存在內在的統一性。進步之處在于進一步回答，隨著外匯矩陣的增廣如何快速準確地識別三點套利機會和多點套利機會，并建立可行有效的套利策略。

一些研究者對矩陣套利理論進行了拓展和有意義的探索，為本文的進一步研究奠定了基礎。徐熙淼等（2006）[19]對矩陣套利有效性進行了數學說明，并討論了價差條件下，矩陣套利理論的適用性。張宇飛和馬明（2010）假定了一種價差產生的線性模式，發現套利信號與價差存在正相關性[20]。白雅娟（2011）對含價差和不完全競爭環境下的矩陣套利方法的有效性進行了討論[21]。上述研究對矩陣套利識別的研究，存在的問題主要是還未進行過一次關于矩陣套利理論的完整綜述，特別是對矩陣套利理論的前提假設和數學基礎的論述不夠。基于此，文章將對矩陣套利理論的前提假設和數學基礎進行補充，在此基礎上完整闡述矩陣套利理論。

二、矩陣套利理論綜述

全球外匯市場的矩陣套利理論，最早由馬明（2004）提出。在文章中，他提出可以通過計算匯率矩陣的特征值、構造API指數識別包含任意多種貨幣間的無風險套利機會，同時他還給出了一種可快速發現的三點套利策略。此后，白雅娟（2011）對矩陣套利理論做出了一些探索性的完善工作。文章將從基本假設和數學基礎入手，完整論述矩陣套利理論。

（一）基本假設

矩陣套利機會的識別，是在極其理想的前提條件之下成立的，可以稱之為純粹的矩陣套利理論。但是，這并不意味著矩陣套利理論不具有實踐意義，對此的討論將超出文章的研究范圍，不再贅述。

假設1：無交易成本，資本可以在不同市場內、市場間自由流動。在現實中，交易成本必不可少，這一點對于矩陣套利理論的現實價值至關重要。因為，現匯市場的套利機會稍縱即逝，矩陣套利理論僅能用于高頻交易活動之中，相應地交易成本將不斷積累。而且，外匯、資本的自由流動僅在美國、歐洲、日本、新加坡、加拿大、澳大利亞等國家得以實現，包括中國在內的廣大發展中國家都存在不同程度的外匯和資本管制。

假設2：對于匯率矩陣中的任何一種貨幣，投資者都可以在匯率矩陣中涉及的任何一個外匯交易市場進行交易。以一個持有美元的美國投資者為例，如果他（她）的匯率矩陣中有N種貨幣，相應涉及到N個國家的外匯市場，當然這N種貨幣包含美元和其他N-1種貨幣。那么他（她）既可以在美國的外匯市場買入（賣出）其他N-1種貨幣，也可以在其他任何一個外匯市場，買入（賣出）其他N-1種貨幣。在現實中，只有美元、歐元、日元、加元、澳元等一些主要貨幣之間的交易可以自由進行，對于那些非國際貨幣，他們與國際主要貨幣、非國際貨幣之間的交易也受到不同程度的限制。

假設3：不存在買賣價差。也就是說，任何一個外匯市場的做市商報出的買入價和賣出價相同。如果說，假設1和假設2會隨著技術的發展、不同國家外匯市場的開放逐漸趨于理論假設，那么假設3與前兩者最大的區別在于它將永遠不會存在。與股票市場、債券市場等集中撮合競價的金融市場相比，外匯市場最大的特點是交易商交易模式。在外匯市場，做市商雙向報價，賺取價差，同時為外匯市場提供流動性。雖然，買賣價差通常作為外匯市場流動性的關鍵衡量指標，價差越小，流動性越強；但是，買賣價差不存在，將意味著做市商的消亡，外匯市場流動性的枯竭。

假設4：不同匯率之間的短期波動互相獨立。假設4的合理性必須區分不同的市場。在同一個市場的不同匯率之間的短期波動，可能存在一定的相關性，因為即使是不同匯率的波動，也可能是緣于市場中同一個做市場或者投資主體的交易行為。而如果考察不同市場上不同匯率的波動性時，由于市場上做市商和投資主體存在差異，且在不同的市場環境下，其實是相同的做市場或者投資主體也會表現出不同的交易行為。這時，匯率短期波動相互獨立的假設，存在一定的合理性。此外，量化交易中的矩陣套利關注的是極短時間內（以毫秒計）的套利機會，在這樣短的時間內，可以近似認為不同匯率短期波動互相獨立。

（二）匯率矩陣與無套利條件

在同一時刻，全球幾個外匯市場的幾種貨幣可以構成一個外匯市場。早在1971年，Chacholiades就開始利用匯率矩陣研究多市場多貨幣的無風險套利問題。一個典型的匯率矩陣，可用下表表示。

匯率矩陣中的匯率都是直接標記法下的匯率，即ai，j表示在第j市場購買一單位第i種貨幣需要多少單位第j種貨幣。事實上，在一般的場合，ai，j都指示匯率的間接標價法，但是為了與馬明（2003）等論文中的匯率矩陣一致，這里規定本文所有的匯率都是間接標價法下的匯率。此外，本文的匯率矩陣的元素不僅可以表示一種貨幣在不同市場的報價，還可以表示一種貨幣在相同市場不同做市商的報價。也就是說，在利用匯率矩陣識別套利機會、選擇套利策略的同時，投資者可以自由地構造匯率矩陣，這些匯率數據可以是來自不同市場的報價，也可以是來自不同做市商的報價。表 1可以表示為匯率矩陣A：

A=1 a12 a13 … a1，n-1 a1n

a21 1 a23 … a2，n-1 a2n

a31 a32 1 … a3，n-1 a3n

[…] […] […] […] […] […]

an-1，1 an-1，2 an-1，3 … 1 an-1，n

an1 an2 an3 … an，n-1 1

本文一個重要的假設是匯率矩陣中不存在兩點套利機會，此時，匯率矩陣滿足：

aijaji=1 （i，j=1，2，3，…n）（1）

事實上，現實中由于兩點套利機會極易識別，可以認為市場上幾乎不存在兩點套利的機會。

如果匯率矩陣不存在三點套利機會，則該匯率矩陣需滿足：

ai，kak，jaji=1 （i，j，k=1，2，3，…n） （2）

也就是說，在匯率矩陣中，選取任意不相等的i，j，k，如果式（1）成立，則該匯率矩陣不存在三點套利機會。該命題的逆否命題也成立，即如果式（2）不成立，匯率矩陣存在三點套利機會。

一般地，如果匯率矩陣不存在k（3≤k≤n）點套利機會，則該匯率矩陣需滿足：

ai1，i2ai2，i3ai3，i4La

i（k-1），ikaik，i1=1 （3）

其中，

i1，i2，i3…，i（k-1），ik=1，2，3，…n

該命題的逆否命題成立，即如果式（3）不成立，則匯率矩陣存在k點套利機會。事實上，Chacholiades，Miltiades（1971）已經證明，在一個匯率矩陣中，如果不存在兩點套利機會和三點套利機會，則一定不存在k點套利機會。

（三）正互反矩陣與一致性矩陣

矩陣套利理論的數學基礎是正互反矩陣和一致性矩陣，理論淵源可以追溯到Saaty（1978）發表的《非結構化的決策問題—層次分析建模》。因此，一些層次分析的原理可以應用于矩陣套利理論中[22]。

對于矩陣A=（aij）n×n，如果aij>0，aii=1，aijaji=1，則稱矩陣A為正互反矩陣。對于一個正互反矩陣A，如果?i，k，j，有aij=aikakj，則稱正互反矩陣A為一致性矩陣。

對于一致性矩陣A，至少存在以下5個相互等價的命題：（1）矩陣A是完全一致性正互反矩陣；（2）矩陣A的最大特征值等于它的階數；（3）矩陣A的所有列向量都屬于特征值n的特征向量；（4）矩陣A的任意兩列（行）的對應元素之比是常數；（5）矩陣A可以分解為第k列向量與第k列行向量的乘積。①

由式（2）和式（3）可以得出兩個結論：（1）任何一個不存在兩點套利機會的匯率矩陣一定是正互反矩陣；（2）任何一個不存在套利機會的匯率矩陣一定是一致性矩陣，反之亦成立，即如果匯率矩陣是一致性矩陣那么該匯率矩陣不存在套利機會。

（四）套利機會的識別

矩陣套利機會的識別，實質上是判斷匯率矩陣的一致性。因此，矩陣套利理論的邏輯起點是尋找一個不存在k點套利機會的一致性匯率矩陣B，這樣的一個一致性矩陣可以表示為：

B=

…

…

[…] […] […] […]

…

該匯率矩陣的元素滿足bij=gi/gj。任意選取匯率矩陣B中k（3≤k≤n）個元素，則有：

bi1，i2bi2，i3bi3，i4…b

i（k-1），ikbik，i1=·…·=1 （4）

因此，這個一致性匯率矩陣B滿足式（4）的條件，這個匯率矩陣不存在多點套利機會。

此外根據一致性矩陣的等價命題，匯率矩陣B還滿足下式：BG=nG。其中，n是矩陣B的最大特征值，G=[g1，g2，…gn]T是矩陣最大特征值相應的特征向量。在矩陣套利理論中，將向量G稱為含金量向量。在嚴格的金本位制度下，匯率報價由不同貨幣的含金量決定，不存在無風險套利的機會。

矩陣套利理論認為，在不存在兩點套利機會的前提下，如果一個匯率矩陣的最大特征值偏離矩陣階數n，則該匯率矩陣中存在多點無風險套利機會。同時，借鑒Saaty（1978）矩陣一致性的判斷標準，② 矩陣套利理論還定義了無風險套利獲利的潛力指標：

API= （5）

API指標不等于0，則意味著存在無風險套利機會，且API值越大，表明無風險套利獲得的收益將越高。目前，矩陣套利理論識別套利機會的指標主要是API，但是由于目前缺乏一定實證檢驗，對于API的大小能再多大程度上衡量匯率矩陣對一致性的偏離還不太清楚。而且API指標還可能受到矩陣階數，計算程序的影響。

結論

在即期外匯市場，外匯矩陣套利識別理論相比于傳統的三點套利理論具有快速反應、計算簡捷的優點。文章對矩陣套利識別理論的基本假設和數學基礎進行了論述，并在此基礎上完整地闡述了該理論。但是，矩陣套利理論的實踐運用仍要克服假設條件苛刻的問題，比如理論并未考慮交易成本、外匯買賣價差等因素對理論結論的干擾，因此矩陣套利理論的運用還需要更多的研究和探索。

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[責任編輯 陳鳳雪]