引導數學思維 發展學生智能

摘要：有效的數學教學活動是學生“學”與教師“教”的有機統一，教學相長。本文結合新課程初中數學教學實踐，從培養學生的求異思維、正向思維和逆向思維以及創造性思維等方面探討了實施有效的啟發引導發展學生智能的問題。

關鍵詞：數學思維；發展智能；啟發引導；教學策略

數學是思維的體操。有效的數學教學活動必須發展學生的數學思維活動。因此，教師的講解代替不了學生的思維，教師只能是一個重要的“引導者”。著名教育家葉圣陶先生也強調：“教師之為教，不在于全盤授與，而在于相機誘導。”這就要求教師善于考慮學生的已有經驗、認識特點和認識規律，把形式的、演繹的數學返璞歸真，回歸到數學的本來面目，讓學生體驗數學知識的形成過程，體會一個問題、一個概念是怎樣提出來的，它的發展和延伸是什么，有什么具體應用，從而有效發展學生的智能。

一、有效引導，培養學生的求異思維

在向學生提供學習材料時，要根據他們的具體情況，作精心設計和處理，要在學生的“最近發展區”進行問題設計。設計難易適中，學生經過努力思考能夠解決和接受的問題，這樣的問題能有效地激發學生的學習興趣和探索的欲望，并能起到促進思維的發展和提高解決問題的能力以及潛能的開發。教師可以設計一題多解，培養學生的求異思維，提高學生的思維品質。例如在學習圓的切線相關知識后，筆者設計了這樣的“一題多解”活動：

如圖，△ABC中，∠ACB=90°，以BC為直徑的⊙o交斜邊AB于點P，點Q為AC的中點，求證：PQ是⊙o的切線。

此題蘊涵著豐富的解題信息，從一題多解去發展學生的思維能力，能拓展學生的知識面，因此解法較多：⑴BC為直徑可想到所對的圓周角為直角，聯想直角三角形的知識。⑵Q為AC中點，可聯想三角形的中位線和直角三角形斜邊中線的性質。⑶要證PQ為切線，可聯想到“連半徑，證垂直”。

課堂教學中教師有效引導學生以現有的新知識去吸納同化新的知識，用新的經驗和要求去修正和順應原有的認知結構，能達到既深化知識，又發展能力的目的。因此，本題如果僅僅停留在“一題多解”的層面還不夠，于是，筆者在此基礎上繼續引導學生深入探索：

問題1：把點Q為AC中點，與結論“PQ為⊙O的切線”互換。你能證明嗎？

問題2：把點Q為AC中點，換成OQ∥AB。你還有什么結論？

問題3：給出一定的數據，你能計算解答嗎？如BC=2，∠A=30°，你能得到哪些答案？

如此深入探究，能夠讓學生明白：通常有許多途徑去解剖一只“數學麻雀”；解題不僅僅是簡單地得到一個答案，而是發現數學的關聯和思想。對于問題解決過程和培養學生的求異思維來說，用三種方法解答一個問題比解答三個問題而每個問題只用一種解法更有價值。這樣既給學生以充分自由選擇的空間，引發學生參與討論，同時讓學生經過深入思考，自主理解、感悟，訓練的是思維、提升的是能力。

二、啟發引導，培養學生的正向思維和逆向思維

數學有許多相關內容，教師根據學生已有的舊知識，緊扣新舊知識的聯系，有意識地進行類比，引導學生達到知識、能力、方法的正遷移，將會讓學生感到自然親切。例如：在講相似三角形性質時，可以從全等三角形性質為例類比。全等三角形的對應邊、對應角、對應線段、對應周長等相等。那么相似三角形這幾組量怎么樣？ 這種方法使學生能從類推中促進知識的遷移，發現新知識。采用這種方法導入新課，是培養學生合情推理的重要手段。教師施展自己的才能挖掘教材中可作類比的內容來導入新課，必然會使學生從中學到運用類比的思維方法去猜測和發現新問題及解決問題的方法，并且嘗到由此帶來的樂趣，提高學習的積極性。

例如人教版八年級（下）第十八章《18.1.1.勾股定理（一）》這節課中，教材安排了“觀察”和“探究”欄目。內容如下：

教材從觀察地磚開始，利用特殊的等腰直角三角形，發現規律。并讓學生發現以直角三角形兩直角邊為邊長的正方形面積，和以斜邊為邊長的正方形面積之間的關系。結合幾個直角三角形，歸納出勾股定理的命題。并利用面積法，對其進行論證。使學生親身體驗勾股定理的探索與驗證過程。

這節課重在探索和證明勾股定理，并非對它的應用。作為教學者，我們不但要教會學生各種探究和證明的方法。與此同時，更應該讓學生明白，面對關于與平方有關的等式或是定理，我們都可以運用面積法，實施證明。

在此之后，學生對于代數中有關于平方的整式乘法公式的幾何驗證，就會以類似的思想方法來完成。這種方法，以后遇到類似的問題，都可以用這種方法嘗試證明。

另外，數學對象本身具有結構性啟發的特質，比如學生通過結構相似性比較，通過類比聯想產生對象和關系本質屬性的相似性猜想，并通過邏輯的方法對得到的猜想進行判斷，從而產生新觀念。下面是軸對稱性質應用的典型問題：

問題1.在鐵路同側有兩個城市A、B，現準備在鐵路沿線建造一個車站，如果要使建成的車站到A、B兩個城市的距離之和最小，請問車站應建在何處？

學生最初解決該問題時會遇到較大的困難，因為學生還沒有利用軸對稱變換把直線同側的兩個點變換到直線異側的兩個點的經驗，即使老師按照這種思想講給學生聽，學生對怎樣想到這種方法還是很茫然。如果我們借用物理學中的光線反射現象來提出問題，解決問題，那么學生就容易產生利用軸對稱變換解決問題的新觀念：

問題2.物理學研究表明，光線在同一媒介中沿著最短路線傳遞，如果A、B兩人中的一個人直接用手電筒照射到另一個人，用什么數學知識能說明“光線沿著最短路線傳遞”這個結論是正確的？（學生容易想到“兩點之間的連線中線段最短”這一數學知識）。

問題3.如果A、B兩個人中的B用手電筒先照射到墻壁的鏡子上的點C，通過鏡子的反射在照到A，根據物理學的規律，光線所傳遞的路線B→C→A仍然是最短的路線，請問：你能用數學知識說明道理嗎？

教師通過這種類比性的啟發和引導，學生再解決問題3就變成自然的遷移。

需要特別指出的是，學生在數學學習中習慣于正向思維，而忽視逆向思維，如習慣于公式、定義的正面運用，而不善于對它們的逆向運用，所以在學習中要加以積極引導。

例：同底數冪的乘法法則am·an=am+n。已知am=2，an=3，求am+n的值。

此題就是要逆向運用同底數冪的乘法法則，寫成am+n=am·an，就容易求解了。

三、滲透方法，培養學生的創造性思維

創造性思維是思維的高級形式，創造性思維是多種思維能力的綜合。其思維的獨創性表現在能獨立地發現問題、分析問題和解決問題，主動地提出新的見解和采用新的方法。如構造方程、構造函數、構造圖形、構造數列以及構造反例等多種構造法，無不體現了創造性思維的獨創性和新穎性。現代競爭社會需要創新人才，而創造能力的核心是創造性思維能力， 因此培養創造性思維能力就顯得尤為重要。

1.滲透數學思想方法，培養思維的廣闊性與靈活性

在數學研究性學習活動中，教師可以指導學生嘗試采用構造幾何圖形解決代數最值問題。

例：求y=x2+4+x2-16x+80的最小值。解：y=x2+4+（x-8）2+16=（x-0）2+（0-2）2+（x-8）2+（0-4）2

∴y表示x軸上點P（x，0）到A（0，2）、B（8，4）兩點的距離之和。先求出A關于x軸對稱點A'（0，-2）

∴AP=AP'

圖∴AP+PB=AP'+PB

又∵兩點之間線段最短

∴y的最小值為A'B=（0-8）2+（-2-4）2=10

方法點撥： 類似這種y=Ax2+Bx+C±A'x2+B'x+C'形式的函數求其最值，常采用這種找出對稱點，并利用兩點之間線段最短的形式來解。

數學思想方法是數學學科的精髓，蘊含于數學活動之中。因此，數學思想方法的學習往往與數學解決問題，數學程序性知識的學習相聯系。初中數學的基本思想方法有：化歸思想、分類討論思想、函數與方程思想、數形結合思想、數學建模思想、運動變換思想等，這些數學思想方法都存在于數學探究和解決問題的過程中，較難用文字語言進行準確地描述，是屬于過程性的內隱知識，只能在活動過程中加以體驗和提煉。任何數學思想方法的學習，必須經歷“解決具體問題——反思和總結——歸納與提煉——應用與發展”的基本過程，學生不能從“告知”中體會和掌握數學思想方法，只能從體驗解決問題過程、反思和總結解決問題過程中產生數學思想方法。教師要經常對學生進行數形結合、分類討論、化歸與轉化、函數與方程、對稱與對應等數學思想的滲透，積累常見題型的解題方法，培養學生思維的廣闊性與靈活性。

例：在Rt△ABC中，已知∠BCA=90°，∠BAC=30°，AB=6cm，把

△ABC以點B為中心旋轉，使點C旋轉到AB邊的延長線上的點C′處，那么AC邊掃過的圖形（圖中陰影部分）的面積是cm2（不取近似值）.

思路點撥：⑴怎樣化不規則圖形為規則圖形（割補法）

⑵化為規則圖形后，再仔細看陰影部分是什么圖形

⑶圓環圖形面積可以用大扇形面積減去小扇形面積

2.注重培養學生的直覺思維

通常把預感、猜想、假設、靈感等都看做直覺思維。直覺思維往往表現在長久沉思后的“頓悟”，它具有下意識性和偶然性。直覺思維在問題解決中有重要的作用，許多數學問題，都是先從數與形的直覺感知中得到某種猜想，然后再進行邏輯證明的。因此，培養學生的直覺思維與邏輯思維不能偏廢，應該很好結合起來。

例： 已知a1=1，a2=3，a3=6，a4=10，………………求a100

解：a2-a1=2，a3-a2=3，a4-a3=4，……，an-an-1=n 。利用累差疊加法，可得an-a1=2+3+4+···+n，則an=1+2+3+4+···+n=n（n+1）2。所以a100=100×（100+1）2=5050.此題的訓練能培養學生的合情推理能力和演繹推理能力。

3.重視培養學生的批判性思維

思維的批判性表現在有主見地評價事物，能嚴格地評判自己提出的假設或解題的方法是否正確和優良；喜歡獨立思考，善于提出問題和發表不同的看法。要培養思維的批判性，就要訓練“質疑”，多問幾個“為什么？”，“能行嗎？”。

例：已知三角形的面積為18，周長為12，則其內切圓的半徑是多少？

解：由內切圓半徑公式r=2sa+b+c=3612=3。然而，周長為定值的三角形中，以等邊三角形面積最大，因此容易算出，周長為12的三角形的最大面積為43，明顯小于18。這樣看來，原題是錯的。

總之，培養學生的數學思維能力，教師必須重視思維過程的引導。思維過程引導得有秩序，有條理，長期堅持，學生的解題能力就能很快提高。教師一定要在“導”字下功夫，才能引領學生主動學習，從而提高課堂教學的有效性。教師只有本著為學生的終身發展負責的態度，正確處理教學中的導與學的矛盾，才能符合教育發展的客觀規律，才能真正做好學生登堂入室引路人的角色，實現教與學的雙贏。

參考文獻：

[1]孔企平.數學教學過程中的學生參與[M].華東師范大學出版社，2003.

[2]郭思樂、喻緯.數學思維教育論[M].上海教育出版社，2007.

[3]張緒培.初中數學教學案例專題研究[M].浙江大學出版社，2005.

[4]方青云.類比思想在數學學習中的重要作用[J].中學數學教學，2009，（1）.

[5]李樹成.新課標數學思維引導的嘗試[J].雅安職業技術學院學報，2011，（1）.