雙曲線不等式及其應用

我們知道雙曲線有很多的性質及應用，其實雙曲線的方程與不等式之間也有聯系，這種聯系對發現問題、解決問題、研究問題帶來了很大的方便.下面筆者試著探索和研究這方面的內容，以供參考.

定理 已知a，b都是不為0的實數，且x2a2-y2b2=1，則有不等式

a2-b2≤（x-y）2 ①

當且僅當xa2=yb2時等號成立.

證明 由已知x2a2-y2b2=1，得

a2-b2=（a2-b2）（x2a2-y2b2）=x2+y2-（b2x2a2+a2y2b2），

而b2x2a2+a2y2b2=（bxa）2+（ayb）2≥2xy，

因此a2-b2≤x2+y2-2xy=（x-y）2，

即a2-b2≤（x-y）2.

當且僅當b2x2a2=a2y2b2即xa2=yb2時等號成立.

由于不等式①滿足的條件是：a，b都是不為0的實數，因此在平面直角坐標系xoy中，x2a2-y2b2=1表示雙曲線方程，從而我們稱不等式①為雙曲線不等式.

由不等式①我們很容易獲得下面兩個有趣的推論：

推論1 設a，b，x，y∈R且滿足x2a2-y2b2=λ（λ∈R），則

λ（a2-b2）≤（x-y）2 ②

推論2 設a，b，x，y∈R且滿足x2a2-y2b2≥λ（λ∈R），a2-b2≥0，則

λ（a2-b2）≤（x-y）2 ③

證明 令x2a2-y2b2=λ0（λ0≥λ），由推論1，得

λ0（a2-b2）≤（x-y）2，

又因為a2-b2≥0，λ0≥λ，

所以λ（a2-b2）≤（x-y）2.

上述3個不等式的應用非常廣泛，特別是用來求二元函數最值或值域問題時，顯得更加簡潔和方便.

一、求滿足整式方程的未知數的代數式的最值或范圍

例1 已知x，y滿足x2-y2-2x-4y=0，求x-2y的范圍.

解 x2-y2-2x-4y=0（x-1）23-（2y+4）212=-1，由推論1得：

[（x-1）-（2y+4）]2≥-1×（3-12），即（x-2y-5）2≥9，解得x-2y≤2，或x-2y≥8.

所以，x-2y的取值范圍為（-∞，2]∪[8，+∞）.

例2 已知a，b∈R，且2a+b-2=0，求（a-2）2-（b-3）2的最大值.

解 令（a-2）2-（b-3）2=λ，則（2a-4）24λ-（-b+3）2λ=1，由推論1得：

[（2a-4）-（-b+3）]2≥1×（4λ-λ）=3λ，即λ≤253，當且僅當2a-44λ=-b+3λ且2a+b-2=0時，即

a=-43，b=143時，λmax=253，從而（a-2）2+（b-3）2的最大值為253.

二、求滿足三元一次方程及三元二次方程的未知數的最值

例3 已知實數x1，x2，x3滿足方程x1-12x2+13x3=1及x21 -12x22 -13x23 = 3，求x3的最值.

解 x1-12x2+13x3=1x1-12x2=1-13x3，x21 -12x22 -13x23 = 3

x21 3 + 13x23 -（12x2 ）212（3 + 13x23 ） = 1，

由推論1得：[（3 + 13x23 ）-12（3 + 13x23 ）]≤（1-13x3 ）2x23 + 12x3 + 9≤0（x3+6）2≤27

-6-33≤x3≤-6+33，從而x3的最小值為-6-33，最大值為-6+33.

三、求滿足整式方程的未知數的分式的最值或范圍

例4 如果實數x，y滿足等式（x+1）2-y2=3，求yx的最大值.

解 令yx=k，則y=kx，由已知等式（x+2）2-y2=3可得（k+kx）23k2-y23=1，

由推論1得：（3k2-3）≤[（k+kx）-y）]2=k2，即k2≤32，∴-62≤k≤62，從而yx的最大值為62.

例5 若實數x，y適合方程x2-y2-2x+4y-7=0，那么代數式yx-1的取值范圍是 .

解 令yx-1=t，則tx-y-t=0，由已知方程得（x-1）2-（y-2）2=4，變形得：（tx-t）24t2-（y-2）24=1，∴由推論1得：4t2-4≤（tx-y+2-t）2=4，解之得：

-2≤t≤2，∴代數式yx-1的取值范圍是[-2，2].

例6 如果實數x，y滿足等式x2-5（y-1）2=5，求y-1x-2的取值范圍.

解 令y-1x-2=t，則tx-y=2t-1，由已知等式x2-5（y-1）2=5可得（tx）25t2-（y-1）21=1，

∴由推論1得：5t2-1≤（tx-y+1）2=4t2，解之得：-1≤t≤1，∴代數式y-1x-2的取值范圍是[-1，1].

四、求滿足不等式的未知數的最值

例7如果實數x，y滿足不等式（x+1）2-y2≥3，求2x-y的取值范圍.

解 由已知不等式（x+1）2-y2≥3可得（2x+2）212-y23≥1，

由推論2得：（12-3）≤[（2x+2）-y）]2=（2x-y+2）2，即9≤（2x-y+2）2，∴-5≤2x-y≤1，從而2x-y的最大值為1，最小值為-5.

五、求無理函數的值域

例8 求函數y=2x-3-x-2的值域.

解 由2x-3≥0且x-2≥0得x≥2.

又由（2x-3）-（x-2）=x-1≥1，得2x-3>x-2，從而y=2x-3-x-2>0.

又因為2x-32-x-21=12，

∴由推論1得：12（2-1）≤（2x-3-x-2）2，即12≤y2，∴y≤-22（舍去）或y≥22，

所以，y=2x-3-x-2的值域為[22，+∞）.

當且僅當 1·x-32=2·x-2，即x=52時，等號成立.

六、求滿足分式方程的未知數的代數式的最值

例9設x，y，a，b∈R+，且ax-by=1，則x-y的最大值為 .

解 依定理有x-y=（x-y）（ax-by）≤（a-b）2，當且僅當ax=by，ax-by=1，

即x=a（a-b），y=b（a-b）時，x-y的最大值為（a-b）2.