初中數學實際應用性問題有效教學初探

摘要：開發學生內在潛能，培養學生的應用意識，提高學生運用數學知識解決實際問題的能力，已經成為當前初中數學教學的一項重要內容。這主要體現在近幾年全國各地中考試題中都逐步加大了對應用性問題的考查力度，并且在題型和題量上呈增長趨勢。

關鍵詞：數學應用；有效教學；思想方法；能力培養

實際應用類試題取材新穎，立意巧妙，立足于考查閱讀能力與數學建模能力.該類試題的命制具有以下的特點：①提供的情景材料新，提出的問題新；②注重考查閱讀理解能力；③注重考查分析、解決問題的能力.由于實際應用類試題在取材上貼近時政熱點，貼近生活實際，題型豐富多彩，涉及知識面寬，因此， 該類試題常常成為中考命題的核心題。根據對學生近幾年中考應用題的解答情況進行了認真的調查和分析，解答實際應用類試題的一般步驟為：①讀懂題目，包括對題意的整體理解和局部理解，能夠全面分析關系、領悟實質；②建立數學模型，將實際問題抽象為數學問題，從各種關系中找出最關鍵的數量關系，將這些關系用有關的量及數字、符號表示出來；③求解數學模型，根據建立的數學模型，選擇合適的方法，設計合理簡捷的運算途徑，求出數學問題的解；④檢驗，既要檢驗所得結果是否適合數學模型，又要評判所得結果是否符合實際問題的要求。

一、重視例題、習題的教學，注重學生閱讀能力的有效培養

教材是教學的主要依據，課本例題一般都具有典型性、示范性和遷移性，它們或是滲透了某些數學方法，或體現了某些數學思想，或提供了某些重要結論，因此應充分認識課本例題本身所蘊含的價值，掌握其中的通性通法，并注重不同知識點的橫向聯系。

例1.某公司設計了一款成本為30元/件的學習用品投放市場進行試銷。經過調查，其中學習用品的銷售量y（件）與每天銷售單價x（元/件）之間滿足如圖1所示關系。

（1）請根據圖象直接寫出當銷售量為500件和600件時相應的銷售單價；

（2）試求出銷售量y與銷售單價x之間的函數關系式；

（3）若物價部門規定，該學習用品銷售單價最高不能超過55元/件，那么銷售單價定為多少時，公司試銷該學習用品每天獲得的利潤最大？最大利潤是多少？

解析：試題以一次函數為背景，主要考查學生閱讀能力，對函數圖象的提取信息能力.三個設問為遞進關系，其中問題（1）考查函數圖象的信息獲取，根據圖象可直接得出相關數據，即通過已知點的縱坐標獲取相應的橫坐標；問題（2）考查待定系數法，解答時須利用y=kx+b及點的坐標構造方程（組）求解；欲求問題（3） 的最大利潤，首先應利用總利潤（W）=單件利潤×銷售量（y）進行數學建模，然后由W=a（x-h）2+k的增減性并結合自變量取值范圍確定最值問題.

（1）50元和40元；（2）y=-10x+1000；

（3）設工藝廠試銷該工藝品每天獲得的利潤是W元，依題意，得

W=（x-30）（-10x+1000）=-10（x-65）2+12250.

∵a=-10<0，∴函數圖象為開口向下的拋物線，其對稱軸為x=65.

又30

∴當x=55時，W取得最大值，W最大=-10（55-65）2+12250=11250.

在我們數學教學中，教師必須根據教材特點、學生年齡特征和個性特點，以教材為載體，以語言訓練為主要內容，創設問題情境，激發閱讀興趣，努力培養學生的數學閱讀能力，使其養成良好閱讀習慣，進而促進其終身學習能力的有效提高。

二、重視數學思想方法的教學，注重學生建模能力的有效培養

數學思想方法是數學的精髓，它貫穿于整個初中數學教學過程中。在初中數學中，許多思想和方法是一致的，二者之間相輔相成，互相蘊含，只是方法較具體，是實施有關思想的技術手段，而思想是屬于數學觀念一類的東西，比較抽象。在教學中，通過對具體數學方法（如換元法、消元法、圖像法、配方法、待定系數法等）的學習，使學生逐步領略數學思想；同時，通過對數學思想的指導，又深化了數學方法的運用。

例2.如圖2，要設計一個等腰梯形的花壇，上底長12米，下底長18米，高8米.

⑴求梯形中位線的長；

⑵在梯形兩腰中點連線（虛線）處有一條橫向通道，上下底之間有兩條縱向通道，各條通道的寬均為x米.

①若通道的總面積等于42平方米，求通道的寬；

②按要求通道的寬不超過1米，且修建三條通道應付的工資合計60元，花壇其余部分應付工資為每平方米2元，建造整個花壇所付的工資270元，求通道的寬.

解析：試題背景源于教材習題變式，通過變式巧妙地融入新的問題情景，從而全面地考查梯形中位線的計算、一元二次方程的數學建模能力.其中問題（1）為基本題，運用中位線的定義即可求解；問題（2）欲求通道的寬，須將問題轉化為求通道的面積，而通道的面積通常通常采用平移或割補的辦法求解，因此利用中位線乘以通道的寬度x得出橫向通道的面積是解題關鍵；問題（3）的答題關鍵是利用通道費用+其余部分費用=270構建方程求解，然后結合題意對所求x的值進行取舍.

（1）中位線=12+182=15（米）；

（2）依題意，得15x+2×8x-2x2=42.整理，得2x2-31x+42=0.

解得x1=32，x2=14（不符合題意，舍去）.∴通道的寬為1.5米；

（3）依題意，得2（15×8-31x+2x2）+60=270.整理，得2x2-31x+15=0.

解得x1=12，x2=15.∵x≤1，∴x2=15（不符合題意，舍去）∴通道的寬為12米.

在教學中，教師要多鼓勵學生積極思考問題，善于構建數學模型，注意知識點的內在聯系，努力培養學生觀察、分析、比較、抽象、歸納和建模能力，形成良好的思維品質。

三、重視數學實際應用，注重學生自信心的有效培養

數學來源于生活，生活中充滿著數學。用數學是學數學的出發點和歸宿。教學必須重視從實際問題出發，引入數學課題，最后把數學知識應用于實際問題，把與現實生活密切相關的的常識問題與數學學習相結合。使學生體會到數學與社會的聯系，體會數學的價值，培養學生對數學的理解和應用的信心。

例3.如圖3，某小區有一長100m，寬80m的空地，現將其建成花園廣場，設計圖案如下，陰影區域為綠化區（四塊綠化區是全等矩形），空白區域為活動區，且四周出口一樣寬，寬度不小于50m，不大于60m.預計活動區每平方米造價60元，綠化區每平方米造價50元.

⑴設一塊綠化區較長的邊為xm，則較短的邊為多少？（用含x的代數式表示）

⑵求工程總造價y與x的函數關系式，并直接寫出x的取值范圍；

⑶如果小區投資46.9萬元（即工程總造價不高于46.9萬元），問能否完成工程任務，若能，請寫出x為整數的所有工程方案；若不能，請說明理由.

解析：問題（1）考查代數式的表示，解答此類問題時通常采用構建二元一次方程求解，而問題（1）關鍵是利用四周出口一樣構建方程求解；欲求問題（2） 的工程總造價y，關鍵是利用工程總造價=活動區總造價+綠化區總造價；欲確定問題（3）的所有方案，首先應善于利用題（2）的結論，特別是當y=469000時所對應x的值，然后由y=a（x-h）2+k的增減性并結合自變量取值范圍確定x的整數解，最后由整數解得出方案。

（1） 設一塊綠化區的長邊為xm，

[80-（100-2x）]÷2=x-10.

故一塊綠化區的短邊為：x-10.

（2） y=50×4x（x-10）+60×[8000-4x（x-10）]

=-40x2+400x+480000（20≤x≤25）；

（3）∵-40x2+400x+480000=469000，∴x2-10x-275=0.

∴x=5±103（負值舍去），∴x=5+103≈22.32.

∵y=-40x2+400x+480000=-40（x-5）2+481000，

∴當x≥5時，y隨著x值的增大而減少.

又∵20≤x≤25，∴x=23，24，25，∴投資46.9萬元能完成工程任務，

共有三種方案.

方案一：一塊矩形綠地長為23m，寬為13m；

方案一：一塊矩形綠地長為24m，寬為14m；

方案一：一塊矩形綠地長為25m，寬為15m.

試題背景源于課本教材，主要考查二次函數的性質與應用、整數解與方案設計。以函數知識為載體，以解決實際問題為目的，綜合考查學生運用數學知識解決實際問題的能力，以及對數形結合思想及配方法等方法的掌握情況，讓學生多接觸一些社會生產和日常生活，用數學的眼光探求新知，培養學生用數學的意識，真正將數學學習、創新與實際應用有機地結合起來，不斷增強學生解答數學應用題的信心和勇氣。

隨著新課改向縱深發展，提高數學課堂教學的有效性已經成了一個戰略性問題，這就要求每一位教師在繼承的基礎上，敢于創新，拋開形式主義的束縛和功利主義的誘惑，潛心鉆研，勇于探索，最終提高課堂教學有效性。