優化數學操作 落實四基目標

蘇霍姆林斯基曾說過：兒童的智慧在他的手指尖上。在新一輪的數學課程改革中，如何借助“數學操作”撥動學生智慧的琴弦，讓學生充分地積累活動經驗，感悟抽象、推理、建模等數學思想，培養創新意識和實踐能力，成為一線教師迫切需要思考和研究的重要課題。為了解除困惑，教師們常常把目光轉向專家和理論，而他們常常又會發現，專家們的觀點似乎并不一致，理論也似乎沒有定論。于是，又形成了新的困惑。要改變這種現象，教師成為研究者至關重要[1]。聯系自己近幾年的教學實踐與反思，筆者覺得可以從數學操作的意義重構與實施策略上下功夫，讓數學操作成為數學活動與數學思想共舞的重要平臺，從而很好地落實基礎知識、基本技能、基本活動經驗和基本數學思想的“四基”教學目標。

一、數學操作的意義重構

2011年版的《義務教育數學課程標準》中指出：認真聽講、積極思考、動手實踐、自主探索、合作交流等，都是學習數學的重要方式。這里仍強調“動手實踐”的重要性。動手實踐就是我們常說的數學操作在實際課堂教學中的實施情況。華東師范大學數學系的鮑建生教授認為：目前，數學應用與數學建模已經成為我國數學教學中的一種基本活動，但存在著不少“偽情境”、“偽應用”的現象，許多數學建模活動也都停留在低層次的、工匠式的操作上[2]。

究其主要原因，我們覺得有兩點非常明顯：一是緣于對數學操作的片面認識，多數一線教師狹隘地將數學操作等同為實物操作，“出現了過度甚至濫用實物操作活動的現象”[3]，使學生的思維水平大多停留在低層次的具象操作層面；二是緣于未掌握相應的實施策略，使操作活動游離于數學化活動和知識本質內核之外，使學生的思維不能實現由動作思維向表象思維、抽象思維的理性飛躍，使操作活動只有“操作味”，沒有“數學味”。

布魯納關于兒童心智成長的研究表明：兒童獲得一個數學概念的過程是以線性方式從動作表征過渡到圖象表征，最后到抽象思考。在動作表征中，兒童的思維必須借助于實物或具體物的實際操弄活動來達成；圖像表征是當具體物消失時，在兒童的腦中能依據實物的影像，自己制作心像而進行內在的思維活動；而達到抽象思考的活動階段的兒童則能直接對數學符號進行思維操作[4]。因而，對于中小學生來說，一般要經歷從實物操作到表象操作再到符號操作的三個階段。除表象操作是在大腦中借助想象完成的以外，實物操作和符號操作都是需要用手去完成的操作活動。

小學數學學習中的數學操作，是學生以動手擺弄、書寫為主，同時伴有動眼觀察、動耳傾聽、動口表述等多種感官協調參與學習的外顯行為操作活動，它總是與學生正在進行的內化建模活動或外化用模活動相呼應，是學生內隱的思維活動的外在行為表征。因而，我們認為數學操作應包括兩大類，即以動手擺弄學具為主的數學學具操作和以動手書寫語言為主的數學語言操作。心理學家加里培林認為：智力技能的形成是一個從外部的物質活動向內部的智力活動轉化的過程，一般要經歷下述五個階段：活動的定向階段、物質化活動階段、出聲的外部言語階段、無聲的外部言語階段、內部言語階段[5]。筆者所談的數學操作相當于物質化活動階段——即借助實物、模型、圖表等進行的操作活動。當然，無論是智力技能的內化或外化，都是要通過外部的物質化活動——數學操作等來實現與表征的。

1.擺弄學具的數學操作——實物操作、手勢操作、肢體操作

著名心理學家皮亞杰說：“兒童的思維是從動作開始的，切斷動作與思維的聯系，思維就不能得到發展。”借助于擺弄實物、比畫手勢、活動肢體等的數學操作，可以幫助學生積累相應的活動經驗和感性認識，加速學生頭腦中相應表象的生成，培養學生的動作性思維，為之后的表象操作與符號操作作好鋪墊，同時也能激活學生的主體參與意識，在親歷親為中體驗“生命在場”的探索歷程。

蘇教版《數學》四年級（下）的“圖形的旋轉”一直是學習中的難點。在教學的第一板塊——研究生活中風車、指針和紙片等物體的旋轉從而明確旋轉三要素（定點、方向、角度）中，教師可以適時地運用以上的三種操作方式，為之后學生順利地畫出旋轉90度后的簡單圖形作好表象、概念、技巧等多方面的準備工作，很好地突破學習的難點，讓學生感受到學習的輕松、愉悅與美好。在引導學生觀察風車的旋轉方向之后，筆者讓學生分別用手勢比畫出風車的兩種旋轉方向——順時針旋轉與逆時針旋轉，并通過食指書寫，與教師同步板書出表示旋轉方向的記號，從而及時溝通感性經驗與抽象符號之間的實質性聯系。之后，教師可以組織學生在舉手臂的游戲中進一步鞏固旋轉方向，學生的參與熱情非常高，效果很好。身體與平舉的手臂正好構成一個十字坐標的生活原型，坐標中四個象限的8種旋轉情況正好在手臂的運動中得到活靈活現的鞏固，所以人的雙手與身體真是絕好的學具，能在瞬間打通抽象與直觀之間的壁壘。在研究時鐘、轉盤、臺秤等物體的指針旋轉時，教師還可以適時地引導學生在觀察、想象之后用手臂比畫指針按一定方向旋轉90度的位置，讓學生在手勢操作中感悟旋轉的規律：橫著的指針旋轉90度后會豎起來，豎著的指針旋轉90度后會橫過來，最后組織學生邊想象邊玩旋轉三角形紙片的實物操作游戲，讓學生從整體上感知旋轉前后紙片的位置情況。這些就為后面研究一條線段、兩條線段及封閉圖形的旋轉位置積累了很好的活動經驗與感性認識。

實際教學表明，在引導學生動手擺弄學具的過程中，教師應積極地引導學生邊操作邊動口表述操作過程，或先想象再操作驗證，或先操作再讓學生閉眼想象出剛才的操作過程，從而很好地強化感知信息，為學生順利地由學具操作過渡到表象操作再到語言操作鋪路搭橋。

2.書寫語言的數學操作——畫圖、列表、標注、列舉、摘錄、列算式、寫關系式、書面表述

“數學語言”指的是用于表達數學內容的語言，包括符號語言、文字語言和圖表語言。借助于符號、文字和圖表等數學語言，學生可以進行相關的畫圖、列表、標注、列舉、摘錄、列算式、寫關系式等逐步抽象化的書寫操作活動，實現對內隱數學思維活動的直觀可視化和具體流程化的表達，使學生的思維由模糊到清晰、由局部到整體、從無序到有序，從而發展學生的心智技能，增強解決問題的策略意識和實踐能力[6]。endprint

在教學蘇教版《數學》一年級（下）中的“相差”問題時，教師可以先與學生玩石頭、剪子、布的手勢游戲，如果師生出的都是剪刀，伸出的手指數就是2和2，兩數相等；如果是剪刀和布（石頭），就是2和5（0）。兩數不相等，必然會一大一小，那相差多少呢？于是引導學生先將2和5用自己喜歡的符號畫下來，然后讓學生在觀察、對比中將相差的3個圈出來，同時在旁邊標注大數、小數、差數，同時引發思考：怎樣由已知的2和5求出相差數3？列出算式5-2=3后，讓孩子邊說邊寫出5-2=3的含義：5比2多3，2比5少3，5和2相差3，2和5相差3。之后，教師再組織學生在同桌合作中按做手勢、畫圖、圈圈、標注、列式、寫含義的過程進行變式學習。最后，教師讓學生反思學習的過程，發現并寫出求相差數的關系式：大數-小數=相差數。至此，數學模型的建立與內化已經在輕松、流暢的玩玩、寫寫中高效地達成了。這些都源于教者自然無痕地引領學生展開比畫、畫圖、標注、列算式、寫關系式、書面表述等數學學具和數學語言的多元化操作活動，使學生的思維自然由動作思維提升到表象思維再到抽象思維，突顯思維活動的梯度和深度，使思維能力和實踐能力的培養得到落實。

特級教師唐彩斌老師認為：“在頭腦中能夠進行操作，能夠用準確的語言表達，那是更理想、更高層次、更高效的教學追求。”引領學生進行擺弄學具和操弄語言的數學操作活動，目標就是為了讓學生最終擺脫外在的學具與工具的束縛，在大腦中進行內隱、無形、自動化、壓縮化、直覺化的高級思維操作，發展較強的抽象思維能力和創造思維能力。

二、數學操作的實施策略

從實際教學的反饋情況來看，要使數學操作的學習效益最大化，避免有熱度無深度、有操作味無數學味、有活動無思考的無奈，教師在引領學生進行操作活動時要做到以下幾點：

1.有序性與提升性并舉

從數學學習心理學的角度看，教師要科學地遵循學生的認知規律，有意識地引領學生經歷由學具操作到表象操作再到語言操作的內化建模過程，使學生的思維水平順利地沿著具象到表象再抽象的階梯逐步上升，體現操作活動的有序性和提升性。如教師在講授蘇教版《數學》四年級下冊的“搭配規律”時，可以有序、詳盡地引領學生經歷擺弄搭配圖片并說明搭配思路的學具操作過程，閉眼回想搭配思路的表象操作過程，以及表征搭配思路（用數字、字母、文字、畫圖、列舉，連線等表示），在3次變化搭配物體個數的情境中建立乘法模型（幾個幾，幾乘幾），抽象出數量關系式的語言操作過程，從而讓學生充分經歷由具體到抽象的建模過程，使學生深刻理解選配機會的均等性和選配種數的計算方法，培養不完全歸納的合情推理能力，感悟凝聚其中的建模思想和擺、畫、算等逐步抽象化的數學方法。

實際教學中，部分一線教師常常只重視讓學生進行數學學具操作（實物的、手勢的、肢體的），而對數學表象操作、數學語言操作關注不夠，常常在優生的帶領下直接由學具操作跳躍到抽象數學模型。正是由于后兩個數學操作活動的缺失，也就在建模過程中缺少多次逐步地抽象與推理，這樣就容易形成思維的斷層，使大多數學生常常處于口欲言而心未達的狀態，對知識的內涵領會不深，對模型的意義理解不透，留在腦海中的模型與其說是建的，不如說是機械地記下來和貼上去的，建模成了“貼模”。這樣學到的模型就缺少了遷移性和融通性，建模過程失去了擔當學生“成長載體”的作用。所以，教師開展數學操作活動一定要做到有序性與提升性并舉。

2.多元性與適切性并重

讓維耶等研究指出，多元表征是數學學習的內在組成部分。恰當應用多元表征，可以多角度地使數學學習對象具體化，可以使數學問題解決變得更加容易，可以使得數學更有趣味性和吸引力，不恰當的設計還會對學習起反作用[7]。借助學具操作的3種操作方式和語言操作的8種操作方式，教師可以靈活地引領學生對學習對象進行多元化的數學操作活動，實現對學習對象的多元表征，使學生找到最適合自己同時又最適合所學內容的操作方式，從而真正提高學習效率。

在蘇教版《數學》一年級（下）的“兩位數減一位數的口算”教學中，教師可以通過引領學生進行多元性的操作活動，很好地解決其他教師提出來的問題，同時讓學生自主選擇最易理解和掌握的方法進行口算練習，取得了很好的教學效果。例如，在教學“33-8”時，教師可以先引導學生在頭腦中想象出33根小棒是幾捆幾根，然后讓學生邊想象邊看教師在黑板上畫出3捆棒和3根棒。之后讓學生看著小棒圖思考：從3捆3根里去掉8根小棒，該怎么辦？由于在平時教學中注意培養學生的發散思維能力，孩子們想到了四種方法：13-8+20，33-3-5，30-8+3，10-8+23。借助黑板上的小棒圖動態演示每種算法的過程之后，教師要帶領學生著重將第一種算法的擺棒過程進行符號標注和列出算式的語言操作，算式為：13-8=5，20+5=25。之后練習“想想做做”的第一題，讓學生在畫圖、標注、寫算式的語言操作中進一步明白算理、鞏固算法。而當“想想做做”的2～4題中不再出現小棒圖與算式時，教師可以啟發學生借助想象、聯想及符號標注，將口算思路簡潔地表示出來，交流時再讓學生看著自己寫的符號標注說出口算的兩個步驟，教學效果非常好。而簡約的符號標注是教師在教學預設中的學法創新，成為學生擺脫小棒圖、掌握口算步驟的工具性腳手架。

3.靈活性與簡約性相融

在組織學生進行操作活動時，教師一定要遵循“效益最大化原則”，讓學生以最少的投入換來最大最好的發展。所以教師在選擇操作方式時要刪繁就簡，在簡單中求豐富。如在學具操作中，教師能用手勢操作的就不要用實物操作。畢竟十指連心、一指千斤，手勢操作，能“使學生把注意力放在最主要、最本質的東西上”。

教師在教學“認識人民幣”一課時，課前布置孩子們事先在家里與父母一起玩換錢的游戲。上課時，教師可以啟發孩子借助10個手指來記住一元等于10角，一角等于10分。一元可以換成幾張1角，幾張5角或幾張2角呢？引導孩子邊看手指邊思考。由于有了直觀物象的支撐，孩子們很快就理解并記住了一元等于10個1角，或等于2個5角，或等于5個2角。即使以后忘了也沒關系，手一伸一看就解決問題了。手勢操作方便快捷地突破“換錢”的學習難點。endprint

同時，教師在引導學生進行由學具操作提升到語言操作的過程中，不要機械地按照實物操作、手勢操作、肢體操作、閉眼想象、畫圖、列表、列式、寫關系式等刻板的流程來進行，而要靈活地優化組合多種操作方式，以求操作活動與思維活動的優質高效。如果學生原先積累的感性經驗比較豐富，就可以跳過擺弄學具的數學操作，直接進入操弄語言的數學操作。如上面提到的教學“33-8”時，教師不必讓學生去擺小棒，而是直接讓學生通過畫小棒圖來進行探究。如果借助豐富的學具操作能直接建立數學模型，就無須再引導學生通過畫圖或繁瑣的語言表述窮究算理。如在教學蘇教版《數學》二年級（下）“求大小數的實際問題”時，教師可以讓學生通過手指游戲合作比畫“比10多幾是幾”和“比5多幾是幾”，同時邊看、邊想、邊說、邊聽：比（ ）多（ ）是（ ），算式是：（ ）+（ ），從而借助豐富的感性認識直接建構數學模型——比幾多幾的數是大數，用加法算；通過分組比畫“比10少幾是幾”和開展“我做你猜”的游戲，讓學生直接建構數學模型“比幾少幾的數是小數，用減法算”。數學模型的建構過程流暢簡潔而富有變化，學生始終全身心地投入其中，樂此不疲。然后，教師指導學生正確畫批比字句和口頭表述比字句的含義，使學生準確理解和掌握比多比少應用題的數量結構和數量關系，同時引導概括出解題的三個步驟：找出比字句、畫批比字句、確定加減法，從而扎實地提高學生解決問題的能力，發展學生初步的數學思考能力，培養學生的語言表達能力。

4.創新性與兒童性相濟

操作方式的預設與創新只有緊扣數學知識的內核，同時擁有“兒童的立場”，符合兒童身心發展的規律，融入兒童喜聞樂見的因子，才能達到預期的操作效果。

如在教學蘇教版《數學》二年級（下）的“認識幾時幾分”時，教師可以引導孩子借助觀察、手勢操作、口語表述等學習方式，找到認讀時刻的巧妙辦法。認讀時刻時，學生先用食指按順時針方向從12起比畫出時針走過的軌跡，邊說短時針走過了幾大格，再用食指按順時針方向從12起比畫出分針走過的軌跡，邊說長分針走了幾小格，所以是幾時幾分。這里，手勢操作尤如庖丁手中的小刀，對付“認識幾時幾分”這頭眾人眼中的“犟牛”，可謂游刃有余、舉重若輕！

再如教學蘇教版《數學》第十一冊的“解決問題的策略——替換”例1時，大多數教師是借助圖片操作或畫圖操作直接引入列式操作，但替換思路較復雜，替換步驟較多，有關相差關系的替換更是如此，所以當學生面對純文字或數目較大的替換問題時，常常是無從下手、束手無策。其實，教師可以通過用心鉆研教材，通過多次試教，最終找到“畫圖、列表、列式、表述”這一最佳操作流程，教學效果極佳。在教學例1時，教師先借助學生各自的畫圖展示和交流時電腦的動態演示，讓學生在頭腦中清晰地建立利用倍數關系進行替換的直觀表象，初步感受替換前后數量之間的關系。之后，及時地引入用列表的方式整理替換思路，從而架起圖形語言與符號語言之間的橋梁，使學生的感性認識逐步抽象化和形式化，使得列式解答的模型刻畫呼之欲出，使得替換過程中變與不變的規律一目了然，同時也為學生之后嘗試用列表展示相差關系的替換思路和學習假設的策略打下了伏筆，并提供了可遷移的工具性思維支架——列表。

尋找最佳操作方式的過程是教師不斷深研教本與生本的過程，也是在大膽嘗試后需要不斷反饋反思、反復調整的創新過程，是提升教學水平與教學智慧的成長過程。

5.操作與觀察、傾聽、想象、表述等相結合

心理學家皮亞杰認為：“智慧從動作開始，學生的多種感官參與認知活動，可以使信息不斷地刺激細胞，促使思維活躍，便于儲存和提取信息，同時易于激發學生的好奇心和求知欲，產生學習的內驅力。”古書《學記》中說：學無當于五官，五官弗得不治。意思就是說，學習時如果不能讓多種感官協同參與進來，是不能優質高效地學習的。實際的教學實踐也很好地證明了數學操作要與動眼觀察、動耳傾聽、動口表述、動腦想象等多種操作活動和思維活動有機結合起來，使數學學習真正走向體驗性、活動性、參與性、思考性，使學生在數學學具操作、數學表象操作、數學語言操作的有序過渡和整合提升中，自然實現由動作思維到表象思維再到抽象思維和創造思維的提升，從而增加實踐活動的智慧含金量，使創新精神和實踐能力的培養真正得以實現。

視界決定境界。有了對數學操作的意義重構，掌握了數學操作的實施策略，數學操作一定會擺脫當下的“不給力”，使擺弄學具和操弄語言的數學操作成為舞動學生思維靈感和思想火花的一對翅膀，并在促進有效建模、積累活動經驗、習得策略方法、磨礪數學思維、突破學習難點、學會多元表征、滲透數學思想等方面發揮更大作用。

參考文獻：

[1][2][3][4]鮑建生，周超.數學學習的心理基礎與過程[M].上海：上海教育出版社，2009.

[5]葉奕乾，何存道，梁寧建.普通心理學[M].上海：華東師范大學出版社，2004.

[6]馮桂群.數學操作——突顯數學思考的過程[J].江西教育，2012（4）.

[7]唐劍嵐.數學多元表征學習及教學[M].南京：南京師范大學出版社，2009.

（作者單位：江蘇省南通師范學校第一附屬小學）

（責任編輯：陳淑燕）endprint