歸納猜想 探索規律

趙正祥

翻閱2013年全國各地的中考試卷，以“數與式”為背景的探索規律題愈來愈得到中考命題者的青睞. 這類試題一方面能夠激發同學們主動思考、積極參與，富有個性地解答問題，另一方面也能夠考查同學們在歸納猜想的過程中發現問題、提出問題、分析問題和創造性地解決問題的能力. 本文試舉例加以說明，以期對同學們的本輪復習有所幫助.

一、 根據數列，探索規律

例1 （2013·廣西玉林）一列數a1，a2，a3，…，其中a1=，an=（n為不小于2的整數），則a100=（ ）.

A. B. 2 C. -1 D. -2

【解析】先逐次根據an=算出前面的幾個數，即可觀察到規律. 因為a1=，an=，所以a2==2，a3==-1，a4==，所以每隔3個數，an的數值開始循環. 因為100=3×33+1，所以a100=. 因此，選A.

【點評】本題既是一道探索規律題，也是一道閱讀理解題. 需要同學們在應用新定義的基礎上確定這列數的前幾個數，并從中感受到整個數列的數值變化規律.

例2 （2013·湖北恩施）把奇數列成下表，

根據表中數的排列規律，則上起第8行、左起第6列的數是_______.

【解析】（1） 上起第n行，左起第一列的數為1+4+6+8+…+2n=n2+n-1，則上起第8行，左起第一列的數為71；（2） 上起第n行，左起第m列的數為（n2+n-1）+2n+（2n+2）+…+2（n+m-2）=（n2+n-1）+2（m-1）n+（m-1）（m-2），因此，上起第8行、左起第6列的數為171.

【點評】本題著重考查同學們的數感能力. 能夠根據數字的排列順序，揭示隱含在其中的一般規律，從而培養同學們觀察問題、分析問題、解決問題的能力.

二、 根據算式，探索規律

例3 （2013·湖南衡陽）觀察下列按順序排列的等式：a1=1-，a2=-，a3=-，a4=-，…，試猜想第n個等式（n為正整數）an=______.

【解析】觀察每個式子的右邊是兩個分子都是1的分式的差，第一個分數的分母比第二個分數的分母小2. 因此，第n個等式（n為正整數）an=-.

【點評】對于找規律的題目首先應找出哪些部分發生了變化，是按照什么規律變化的.

例4 （2013·山東濱州）觀察下列各式的計算過程：

5×5=0×1×100+25，

15×15=1×2×100+25，

25×25=2×3×100+25，

35×35=3×4×100+25，

……

請猜測，第n個算式（n為正整數）應表示為______________.

【解析】左邊的兩個相同的因數分別看作是5×1，5×3，5×5，…，故第n個是5（2n-1），所以算式表示為5（2n-1）×5（2n-1）=100n（n-1）+25.

【點評】探究數學式子的規律時，需要把所給的式子進行橫向和縱向比較，注意觀察已知等式對應數值的變化，從中發現數量關系，即找出各部分所具有的特征，從而探究其具有的規律. 不同的觀察視角有可能得到不同的等式或代數式.

三、 根據圖形，探索規律

例5 （2013·云南西雙版納，有改動）如圖，下列圖形都由同樣大小的十字星圖案按一定的規律組成，其中第一個圖形有1 個十字星圖案，第二個圖形有2個十字星圖案，第三個圖形有5個十字星圖案，第四個圖形有10個十字星圖案，…，則第n個圖形有______個十字星圖案.

【解析】觀察圖形，我們可以發現：第一個圖形有1 個十字星圖案，第二個圖形有2個，可以認為是在第一個圖形上增加一個，即當n=2時，第二個圖形有1+1個十字星圖案；第三個圖形有5個十字星圖案，可以認為是在第一個圖形上增加四個，即當n=3時，第三個圖形有4+1個十字星圖案；第四個圖形有10個十字星圖案，可以認為是在第一個圖形上增加九個，即當n=4時，第四個圖形有9+1個十字星圖案；…因此，第n個圖形是在第一個圖形上增加（n-1）2個十字星圖案，即第n個圖形有（n-1）2+1個十字星圖案，所以，本題應該填（n-1）2+1.

【點評】探索圖形變化規律時，一般需要抓住圖形數量的增減變化特點，進行分析、猜想、歸納、驗證后得出結果.

例6 （2013·山東日照）如圖，下列各圖形中的三個數之間均具有相同的規律. 根據此規律，圖形中M與m、n的關系是（ ）.

A. M=mn B. M=n（m+1）

C. M=mn+1 D. M=m（n+1）

【解析】根據各圖形中的三個數的變化規律，可以看成是：3=1×（2+1）、15=3×（4+1）、35=5×（6+1），即：左下角的數字加1后所得數值與上邊的數字的積恰好是右下角的數字，根據這個關系可得出M與m、n的關系，為M=m（n+1）. 因此，本題選D.

【點評】本題是一道以圖形為背景的探索的試題. 解答時，需要仔細觀察數字和圖形之間的關系，從而找出規律. 本題除上述規律外，還具有m=n-1，因此M還可以分別用含有m或n的代數式表示.

四、根據圖表，探索規律

例7 （2013·山東淄博）如下表，從左到右在每個小格中都填入一個整數，使得任意三個相鄰格子所填整數之和都相等，則第2013個格子中的整數是_______.

【解析】根據題意有：-4+a+b=a+b+c，所以c=-4. 又有：a+b-4=b-4+6，所以a=6. 所以原表格可整理為：

從表格中的數字可以看出格子中的整數是按照-4、6、b的順序循環出現的，結合第三個循環可知b=-2. 所以格子中的整數是按照-4、6、-2的順序循環出現，因為2013÷3=671，所以第2013個格子中的整數恰好是第671個循環中的最后一個數字，即-2.

【點評】本題以圖表為背景，呈現數字的變化規律，將等式的性質和數字規律的探索融為一體，考查了同學們分析問題、解決問題的能力.

（作者單位：江蘇省建湖縣實驗初中教育集團）

翻閱2013年全國各地的中考試卷，以“數與式”為背景的探索規律題愈來愈得到中考命題者的青睞. 這類試題一方面能夠激發同學們主動思考、積極參與，富有個性地解答問題，另一方面也能夠考查同學們在歸納猜想的過程中發現問題、提出問題、分析問題和創造性地解決問題的能力. 本文試舉例加以說明，以期對同學們的本輪復習有所幫助.

一、 根據數列，探索規律

例1 （2013·廣西玉林）一列數a1，a2，a3，…，其中a1=，an=（n為不小于2的整數），則a100=（ ）.

A. B. 2 C. -1 D. -2

【解析】先逐次根據an=算出前面的幾個數，即可觀察到規律. 因為a1=，an=，所以a2==2，a3==-1，a4==，所以每隔3個數，an的數值開始循環. 因為100=3×33+1，所以a100=. 因此，選A.

【點評】本題既是一道探索規律題，也是一道閱讀理解題. 需要同學們在應用新定義的基礎上確定這列數的前幾個數，并從中感受到整個數列的數值變化規律.

例2 （2013·湖北恩施）把奇數列成下表，

根據表中數的排列規律，則上起第8行、左起第6列的數是_______.

【解析】（1） 上起第n行，左起第一列的數為1+4+6+8+…+2n=n2+n-1，則上起第8行，左起第一列的數為71；（2） 上起第n行，左起第m列的數為（n2+n-1）+2n+（2n+2）+…+2（n+m-2）=（n2+n-1）+2（m-1）n+（m-1）（m-2），因此，上起第8行、左起第6列的數為171.

【點評】本題著重考查同學們的數感能力. 能夠根據數字的排列順序，揭示隱含在其中的一般規律，從而培養同學們觀察問題、分析問題、解決問題的能力.

二、 根據算式，探索規律

例3 （2013·湖南衡陽）觀察下列按順序排列的等式：a1=1-，a2=-，a3=-，a4=-，…，試猜想第n個等式（n為正整數）an=______.

【解析】觀察每個式子的右邊是兩個分子都是1的分式的差，第一個分數的分母比第二個分數的分母小2. 因此，第n個等式（n為正整數）an=-.

【點評】對于找規律的題目首先應找出哪些部分發生了變化，是按照什么規律變化的.

例4 （2013·山東濱州）觀察下列各式的計算過程：

5×5=0×1×100+25，

15×15=1×2×100+25，

25×25=2×3×100+25，

35×35=3×4×100+25，

……

請猜測，第n個算式（n為正整數）應表示為______________.

【解析】左邊的兩個相同的因數分別看作是5×1，5×3，5×5，…，故第n個是5（2n-1），所以算式表示為5（2n-1）×5（2n-1）=100n（n-1）+25.

【點評】探究數學式子的規律時，需要把所給的式子進行橫向和縱向比較，注意觀察已知等式對應數值的變化，從中發現數量關系，即找出各部分所具有的特征，從而探究其具有的規律. 不同的觀察視角有可能得到不同的等式或代數式.

三、 根據圖形，探索規律

例5 （2013·云南西雙版納，有改動）如圖，下列圖形都由同樣大小的十字星圖案按一定的規律組成，其中第一個圖形有1 個十字星圖案，第二個圖形有2個十字星圖案，第三個圖形有5個十字星圖案，第四個圖形有10個十字星圖案，…，則第n個圖形有______個十字星圖案.

【解析】觀察圖形，我們可以發現：第一個圖形有1 個十字星圖案，第二個圖形有2個，可以認為是在第一個圖形上增加一個，即當n=2時，第二個圖形有1+1個十字星圖案；第三個圖形有5個十字星圖案，可以認為是在第一個圖形上增加四個，即當n=3時，第三個圖形有4+1個十字星圖案；第四個圖形有10個十字星圖案，可以認為是在第一個圖形上增加九個，即當n=4時，第四個圖形有9+1個十字星圖案；…因此，第n個圖形是在第一個圖形上增加（n-1）2個十字星圖案，即第n個圖形有（n-1）2+1個十字星圖案，所以，本題應該填（n-1）2+1.

【點評】探索圖形變化規律時，一般需要抓住圖形數量的增減變化特點，進行分析、猜想、歸納、驗證后得出結果.

例6 （2013·山東日照）如圖，下列各圖形中的三個數之間均具有相同的規律. 根據此規律，圖形中M與m、n的關系是（ ）.

A. M=mn B. M=n（m+1）

C. M=mn+1 D. M=m（n+1）

【解析】根據各圖形中的三個數的變化規律，可以看成是：3=1×（2+1）、15=3×（4+1）、35=5×（6+1），即：左下角的數字加1后所得數值與上邊的數字的積恰好是右下角的數字，根據這個關系可得出M與m、n的關系，為M=m（n+1）. 因此，本題選D.

【點評】本題是一道以圖形為背景的探索的試題. 解答時，需要仔細觀察數字和圖形之間的關系，從而找出規律. 本題除上述規律外，還具有m=n-1，因此M還可以分別用含有m或n的代數式表示.

四、根據圖表，探索規律

例7 （2013·山東淄博）如下表，從左到右在每個小格中都填入一個整數，使得任意三個相鄰格子所填整數之和都相等，則第2013個格子中的整數是_______.

【解析】根據題意有：-4+a+b=a+b+c，所以c=-4. 又有：a+b-4=b-4+6，所以a=6. 所以原表格可整理為：

從表格中的數字可以看出格子中的整數是按照-4、6、b的順序循環出現的，結合第三個循環可知b=-2. 所以格子中的整數是按照-4、6、-2的順序循環出現，因為2013÷3=671，所以第2013個格子中的整數恰好是第671個循環中的最后一個數字，即-2.

【點評】本題以圖表為背景，呈現數字的變化規律，將等式的性質和數字規律的探索融為一體，考查了同學們分析問題、解決問題的能力.

（作者單位：江蘇省建湖縣實驗初中教育集團）

翻閱2013年全國各地的中考試卷，以“數與式”為背景的探索規律題愈來愈得到中考命題者的青睞. 這類試題一方面能夠激發同學們主動思考、積極參與，富有個性地解答問題，另一方面也能夠考查同學們在歸納猜想的過程中發現問題、提出問題、分析問題和創造性地解決問題的能力. 本文試舉例加以說明，以期對同學們的本輪復習有所幫助.

一、 根據數列，探索規律

例1 （2013·廣西玉林）一列數a1，a2，a3，…，其中a1=，an=（n為不小于2的整數），則a100=（ ）.

A. B. 2 C. -1 D. -2

【解析】先逐次根據an=算出前面的幾個數，即可觀察到規律. 因為a1=，an=，所以a2==2，a3==-1，a4==，所以每隔3個數，an的數值開始循環. 因為100=3×33+1，所以a100=. 因此，選A.

【點評】本題既是一道探索規律題，也是一道閱讀理解題. 需要同學們在應用新定義的基礎上確定這列數的前幾個數，并從中感受到整個數列的數值變化規律.

例2 （2013·湖北恩施）把奇數列成下表，

根據表中數的排列規律，則上起第8行、左起第6列的數是_______.

【解析】（1） 上起第n行，左起第一列的數為1+4+6+8+…+2n=n2+n-1，則上起第8行，左起第一列的數為71；（2） 上起第n行，左起第m列的數為（n2+n-1）+2n+（2n+2）+…+2（n+m-2）=（n2+n-1）+2（m-1）n+（m-1）（m-2），因此，上起第8行、左起第6列的數為171.

【點評】本題著重考查同學們的數感能力. 能夠根據數字的排列順序，揭示隱含在其中的一般規律，從而培養同學們觀察問題、分析問題、解決問題的能力.

二、 根據算式，探索規律

例3 （2013·湖南衡陽）觀察下列按順序排列的等式：a1=1-，a2=-，a3=-，a4=-，…，試猜想第n個等式（n為正整數）an=______.

【解析】觀察每個式子的右邊是兩個分子都是1的分式的差，第一個分數的分母比第二個分數的分母小2. 因此，第n個等式（n為正整數）an=-.

【點評】對于找規律的題目首先應找出哪些部分發生了變化，是按照什么規律變化的.

例4 （2013·山東濱州）觀察下列各式的計算過程：

5×5=0×1×100+25，

15×15=1×2×100+25，

25×25=2×3×100+25，

35×35=3×4×100+25，

……

請猜測，第n個算式（n為正整數）應表示為______________.

【解析】左邊的兩個相同的因數分別看作是5×1，5×3，5×5，…，故第n個是5（2n-1），所以算式表示為5（2n-1）×5（2n-1）=100n（n-1）+25.

【點評】探究數學式子的規律時，需要把所給的式子進行橫向和縱向比較，注意觀察已知等式對應數值的變化，從中發現數量關系，即找出各部分所具有的特征，從而探究其具有的規律. 不同的觀察視角有可能得到不同的等式或代數式.

三、 根據圖形，探索規律

例5 （2013·云南西雙版納，有改動）如圖，下列圖形都由同樣大小的十字星圖案按一定的規律組成，其中第一個圖形有1 個十字星圖案，第二個圖形有2個十字星圖案，第三個圖形有5個十字星圖案，第四個圖形有10個十字星圖案，…，則第n個圖形有______個十字星圖案.

【解析】觀察圖形，我們可以發現：第一個圖形有1 個十字星圖案，第二個圖形有2個，可以認為是在第一個圖形上增加一個，即當n=2時，第二個圖形有1+1個十字星圖案；第三個圖形有5個十字星圖案，可以認為是在第一個圖形上增加四個，即當n=3時，第三個圖形有4+1個十字星圖案；第四個圖形有10個十字星圖案，可以認為是在第一個圖形上增加九個，即當n=4時，第四個圖形有9+1個十字星圖案；…因此，第n個圖形是在第一個圖形上增加（n-1）2個十字星圖案，即第n個圖形有（n-1）2+1個十字星圖案，所以，本題應該填（n-1）2+1.

【點評】探索圖形變化規律時，一般需要抓住圖形數量的增減變化特點，進行分析、猜想、歸納、驗證后得出結果.

例6 （2013·山東日照）如圖，下列各圖形中的三個數之間均具有相同的規律. 根據此規律，圖形中M與m、n的關系是（ ）.

A. M=mn B. M=n（m+1）

C. M=mn+1 D. M=m（n+1）

【解析】根據各圖形中的三個數的變化規律，可以看成是：3=1×（2+1）、15=3×（4+1）、35=5×（6+1），即：左下角的數字加1后所得數值與上邊的數字的積恰好是右下角的數字，根據這個關系可得出M與m、n的關系，為M=m（n+1）. 因此，本題選D.

【點評】本題是一道以圖形為背景的探索的試題. 解答時，需要仔細觀察數字和圖形之間的關系，從而找出規律. 本題除上述規律外，還具有m=n-1，因此M還可以分別用含有m或n的代數式表示.

四、根據圖表，探索規律

例7 （2013·山東淄博）如下表，從左到右在每個小格中都填入一個整數，使得任意三個相鄰格子所填整數之和都相等，則第2013個格子中的整數是_______.

【解析】根據題意有：-4+a+b=a+b+c，所以c=-4. 又有：a+b-4=b-4+6，所以a=6. 所以原表格可整理為：

從表格中的數字可以看出格子中的整數是按照-4、6、b的順序循環出現的，結合第三個循環可知b=-2. 所以格子中的整數是按照-4、6、-2的順序循環出現，因為2013÷3=671，所以第2013個格子中的整數恰好是第671個循環中的最后一個數字，即-2.

【點評】本題以圖表為背景，呈現數字的變化規律，將等式的性質和數字規律的探索融為一體，考查了同學們分析問題、解決問題的能力.

（作者單位：江蘇省建湖縣實驗初中教育集團）