在代數式求值中顯能力

袁國富

數與式是初中數學的基礎知識，主要包括數與式的有關概念和計算. 用數與式表示問題中的數量或數量關系，中考多以容易題或中檔題出現，題型主要是填空題、選擇題，偶爾出現計算題，但計算題的難度不大. 近幾年來，對這部分的考查出現了“以數與式為載體考查數學思想和數學能力”的要求，現舉例說明如下，供同學們參考.

一、 整式的求值

例1 （2011·湖北鄂州）已知a=2 009x+2 008，b=2 009x+2 009，c=2 009x+2 010. 則多項式a2+b2+c2-ab-bc-ac的值為（ ）.

A. 0 B. 1

C. 2 D. 3

方法一 求代數式的值一般是將已知字母的值代入代數式求值，但本題a、b、c都是用x的代數式表示，且較為復雜，若直接代入可將待求的式子用x的代數式表示，化簡后可消去x從而求值，但計算極為繁瑣，可操作性不強. 若想計算簡便，關鍵是將a、b、c的值化繁為簡. 仔細觀察不難發現，表示a、b、c值的三個代數式中，x前面的系數都相同，后面的常數依次遞增1，故a、b、c值依次增加1，根據這個關系不妨將a、c分別用b-1和b+1表示，代入后待求式可用b的代數式表示，計算大為簡化，化簡后即可消去字母b，求得代數式的值.

解：由條件得：a=b-1，c=b+1.

原式=（b-1）2+b2+（b+1）2-（b-1）b-b（b+1）-（b+1）（b-1）=b2-2b+1+b2+b2+2b+1-b2+b-b2-b-b2+1=3.

【點評】消元法的關鍵是找出不同字母之間的關系，將不同字母用同一個字母的代數式表示，代入化簡后求值.

方法二 若從待求式子的特征分析，可以發現其結構與完全平方式相似，再由條件很容易求出三個字母中任意兩個字母的差，若能將待求式子進行適當的構造，轉化為完全平方式，將其分解為兩數差的平方，再將兩個字母的差值代入即可求出待求式子的值.完全平方式是一個三項式且有一項是兩數積的2倍，待求式子中是兩數的積，故將待求式子乘2，構造出三個完全平方式，將其分解成兩數差的平方，再將由條件求出的兩個字母的差代入求值即可.

解：由a=2 009x+2 008，b=2 009x+2 009，c=2 009x+2 010，可求得a-b=-1，a-c=-2，b-c=-1.

故a2+b2+c2-ab-bc-ac

=[（a-b）2+（a-c）2+（b-c）2]

=[（-1）2+（-2）2+（-1）2]=3.

【點評】因式分解法的關鍵是將待求的代數式構造后分解成含有已知條件的代數式，或由已知條件變形能得到的代數式.

方法三 當x給定任意一個實數，待求式子的值都是相等的，為了計算方便可取x=-1，將x=-1代入a、b、c求出其值，再將求出的a、b、c的值代入待求式子. 此方法主要是運用從特殊到一般的思想. 對于某些數式結構的代數問題，通常令字母取特殊值或字母間取特殊的數量關系，但此法為特殊解法，在填空或選擇題中可以運用.

解：由a=2 009x+2 008，b=2 009x+2 009，c=2 009x+2 010，不妨令x=-1. 則a=-1，b=0，c=1.

則a2+b2+c2-ab-bc-ac

=（-1）2+02+12-0-0-（-1）×1=3.

【點評】有些問題用常規方法直接求解比較困難，若根據條件，選擇某些特殊情況進行分析，或選擇某些特殊值進行計算，把一般形式變為特殊形式，這時常常會使題目變得十分簡單.

二、 分式的求值

例2 （2012·四川內江）已知三個數x，y，z，滿足=-2，=，=-，則=______.

方法一 要求分式的值，只需將其分母xy+yz+zx用xyz的代數式表示，分析發現對分式的分母xy+yz+zx任意兩項提取公因式，可以將其化為一個字母與另外兩個字母和的積的形式. 再由條件需找兩個字母的積與這兩個字母和的關系，由此xy+yz+zx中任意兩項都可用xyz的代數式表示，但分母為三項，故可依據分式的性質將待求分式的分子與分母同乘2，分母變成6項，每兩項提取公因式后將分母用xyz的代數式表示，約分后求得分式的值.

解：由=-2，=，=-，

得：x+y=-xy，y+z=yz，z+x=-zx.

∴=

=

=

=

==-4.

【點評】“構造法”作為一種重要的化歸手段，在數學解題中有重要的作用.

方法二 求代數式的值關鍵是找出條件和待求代數式之間的關聯，本題很難直接由條件構造出待求的分式或與其有關聯的分式，但通過觀察不難發現，三個已知分式的分子的最簡公分母恰好是待求分式的分子xyz，而異分母分式加減須通分，故而先求三個已知分式的倒數和，通分后分母為xyz，而待求分式的分子為xyz，此時只需利用三個已知分式的倒數和與待求分式的關系，即可求解.

解：∵=-2，=，=-，

++=-+-=-，

即=-，

∴=-，即=-4.

【點評】對于一些形式比較特殊的式子，運用求倒數或相反數的方法往往能收到奇效.

（作者單位：江蘇省建湖縣高作中學）

數與式是初中數學的基礎知識，主要包括數與式的有關概念和計算. 用數與式表示問題中的數量或數量關系，中考多以容易題或中檔題出現，題型主要是填空題、選擇題，偶爾出現計算題，但計算題的難度不大. 近幾年來，對這部分的考查出現了“以數與式為載體考查數學思想和數學能力”的要求，現舉例說明如下，供同學們參考.

一、 整式的求值

例1 （2011·湖北鄂州）已知a=2 009x+2 008，b=2 009x+2 009，c=2 009x+2 010. 則多項式a2+b2+c2-ab-bc-ac的值為（ ）.

A. 0 B. 1

C. 2 D. 3

方法一 求代數式的值一般是將已知字母的值代入代數式求值，但本題a、b、c都是用x的代數式表示，且較為復雜，若直接代入可將待求的式子用x的代數式表示，化簡后可消去x從而求值，但計算極為繁瑣，可操作性不強. 若想計算簡便，關鍵是將a、b、c的值化繁為簡. 仔細觀察不難發現，表示a、b、c值的三個代數式中，x前面的系數都相同，后面的常數依次遞增1，故a、b、c值依次增加1，根據這個關系不妨將a、c分別用b-1和b+1表示，代入后待求式可用b的代數式表示，計算大為簡化，化簡后即可消去字母b，求得代數式的值.

解：由條件得：a=b-1，c=b+1.

原式=（b-1）2+b2+（b+1）2-（b-1）b-b（b+1）-（b+1）（b-1）=b2-2b+1+b2+b2+2b+1-b2+b-b2-b-b2+1=3.

【點評】消元法的關鍵是找出不同字母之間的關系，將不同字母用同一個字母的代數式表示，代入化簡后求值.

方法二 若從待求式子的特征分析，可以發現其結構與完全平方式相似，再由條件很容易求出三個字母中任意兩個字母的差，若能將待求式子進行適當的構造，轉化為完全平方式，將其分解為兩數差的平方，再將兩個字母的差值代入即可求出待求式子的值.完全平方式是一個三項式且有一項是兩數積的2倍，待求式子中是兩數的積，故將待求式子乘2，構造出三個完全平方式，將其分解成兩數差的平方，再將由條件求出的兩個字母的差代入求值即可.

解：由a=2 009x+2 008，b=2 009x+2 009，c=2 009x+2 010，可求得a-b=-1，a-c=-2，b-c=-1.

故a2+b2+c2-ab-bc-ac

=[（a-b）2+（a-c）2+（b-c）2]

=[（-1）2+（-2）2+（-1）2]=3.

【點評】因式分解法的關鍵是將待求的代數式構造后分解成含有已知條件的代數式，或由已知條件變形能得到的代數式.

方法三 當x給定任意一個實數，待求式子的值都是相等的，為了計算方便可取x=-1，將x=-1代入a、b、c求出其值，再將求出的a、b、c的值代入待求式子. 此方法主要是運用從特殊到一般的思想. 對于某些數式結構的代數問題，通常令字母取特殊值或字母間取特殊的數量關系，但此法為特殊解法，在填空或選擇題中可以運用.

解：由a=2 009x+2 008，b=2 009x+2 009，c=2 009x+2 010，不妨令x=-1. 則a=-1，b=0，c=1.

則a2+b2+c2-ab-bc-ac

=（-1）2+02+12-0-0-（-1）×1=3.

【點評】有些問題用常規方法直接求解比較困難，若根據條件，選擇某些特殊情況進行分析，或選擇某些特殊值進行計算，把一般形式變為特殊形式，這時常常會使題目變得十分簡單.

二、 分式的求值

例2 （2012·四川內江）已知三個數x，y，z，滿足=-2，=，=-，則=______.

方法一 要求分式的值，只需將其分母xy+yz+zx用xyz的代數式表示，分析發現對分式的分母xy+yz+zx任意兩項提取公因式，可以將其化為一個字母與另外兩個字母和的積的形式. 再由條件需找兩個字母的積與這兩個字母和的關系，由此xy+yz+zx中任意兩項都可用xyz的代數式表示，但分母為三項，故可依據分式的性質將待求分式的分子與分母同乘2，分母變成6項，每兩項提取公因式后將分母用xyz的代數式表示，約分后求得分式的值.

解：由=-2，=，=-，

得：x+y=-xy，y+z=yz，z+x=-zx.

∴=

=

=

=

==-4.

【點評】“構造法”作為一種重要的化歸手段，在數學解題中有重要的作用.

方法二 求代數式的值關鍵是找出條件和待求代數式之間的關聯，本題很難直接由條件構造出待求的分式或與其有關聯的分式，但通過觀察不難發現，三個已知分式的分子的最簡公分母恰好是待求分式的分子xyz，而異分母分式加減須通分，故而先求三個已知分式的倒數和，通分后分母為xyz，而待求分式的分子為xyz，此時只需利用三個已知分式的倒數和與待求分式的關系，即可求解.

解：∵=-2，=，=-，

++=-+-=-，

即=-，

∴=-，即=-4.

【點評】對于一些形式比較特殊的式子，運用求倒數或相反數的方法往往能收到奇效.

（作者單位：江蘇省建湖縣高作中學）

數與式是初中數學的基礎知識，主要包括數與式的有關概念和計算. 用數與式表示問題中的數量或數量關系，中考多以容易題或中檔題出現，題型主要是填空題、選擇題，偶爾出現計算題，但計算題的難度不大. 近幾年來，對這部分的考查出現了“以數與式為載體考查數學思想和數學能力”的要求，現舉例說明如下，供同學們參考.

一、 整式的求值

例1 （2011·湖北鄂州）已知a=2 009x+2 008，b=2 009x+2 009，c=2 009x+2 010. 則多項式a2+b2+c2-ab-bc-ac的值為（ ）.

A. 0 B. 1

C. 2 D. 3

方法一 求代數式的值一般是將已知字母的值代入代數式求值，但本題a、b、c都是用x的代數式表示，且較為復雜，若直接代入可將待求的式子用x的代數式表示，化簡后可消去x從而求值，但計算極為繁瑣，可操作性不強. 若想計算簡便，關鍵是將a、b、c的值化繁為簡. 仔細觀察不難發現，表示a、b、c值的三個代數式中，x前面的系數都相同，后面的常數依次遞增1，故a、b、c值依次增加1，根據這個關系不妨將a、c分別用b-1和b+1表示，代入后待求式可用b的代數式表示，計算大為簡化，化簡后即可消去字母b，求得代數式的值.

解：由條件得：a=b-1，c=b+1.

原式=（b-1）2+b2+（b+1）2-（b-1）b-b（b+1）-（b+1）（b-1）=b2-2b+1+b2+b2+2b+1-b2+b-b2-b-b2+1=3.

【點評】消元法的關鍵是找出不同字母之間的關系，將不同字母用同一個字母的代數式表示，代入化簡后求值.

方法二 若從待求式子的特征分析，可以發現其結構與完全平方式相似，再由條件很容易求出三個字母中任意兩個字母的差，若能將待求式子進行適當的構造，轉化為完全平方式，將其分解為兩數差的平方，再將兩個字母的差值代入即可求出待求式子的值.完全平方式是一個三項式且有一項是兩數積的2倍，待求式子中是兩數的積，故將待求式子乘2，構造出三個完全平方式，將其分解成兩數差的平方，再將由條件求出的兩個字母的差代入求值即可.

解：由a=2 009x+2 008，b=2 009x+2 009，c=2 009x+2 010，可求得a-b=-1，a-c=-2，b-c=-1.

故a2+b2+c2-ab-bc-ac

=[（a-b）2+（a-c）2+（b-c）2]

=[（-1）2+（-2）2+（-1）2]=3.

【點評】因式分解法的關鍵是將待求的代數式構造后分解成含有已知條件的代數式，或由已知條件變形能得到的代數式.

方法三 當x給定任意一個實數，待求式子的值都是相等的，為了計算方便可取x=-1，將x=-1代入a、b、c求出其值，再將求出的a、b、c的值代入待求式子. 此方法主要是運用從特殊到一般的思想. 對于某些數式結構的代數問題，通常令字母取特殊值或字母間取特殊的數量關系，但此法為特殊解法，在填空或選擇題中可以運用.

解：由a=2 009x+2 008，b=2 009x+2 009，c=2 009x+2 010，不妨令x=-1. 則a=-1，b=0，c=1.

則a2+b2+c2-ab-bc-ac

=（-1）2+02+12-0-0-（-1）×1=3.

【點評】有些問題用常規方法直接求解比較困難，若根據條件，選擇某些特殊情況進行分析，或選擇某些特殊值進行計算，把一般形式變為特殊形式，這時常常會使題目變得十分簡單.

二、 分式的求值

例2 （2012·四川內江）已知三個數x，y，z，滿足=-2，=，=-，則=______.

方法一 要求分式的值，只需將其分母xy+yz+zx用xyz的代數式表示，分析發現對分式的分母xy+yz+zx任意兩項提取公因式，可以將其化為一個字母與另外兩個字母和的積的形式. 再由條件需找兩個字母的積與這兩個字母和的關系，由此xy+yz+zx中任意兩項都可用xyz的代數式表示，但分母為三項，故可依據分式的性質將待求分式的分子與分母同乘2，分母變成6項，每兩項提取公因式后將分母用xyz的代數式表示，約分后求得分式的值.

解：由=-2，=，=-，

得：x+y=-xy，y+z=yz，z+x=-zx.

∴=

=

=

=

==-4.

【點評】“構造法”作為一種重要的化歸手段，在數學解題中有重要的作用.

方法二 求代數式的值關鍵是找出條件和待求代數式之間的關聯，本題很難直接由條件構造出待求的分式或與其有關聯的分式，但通過觀察不難發現，三個已知分式的分子的最簡公分母恰好是待求分式的分子xyz，而異分母分式加減須通分，故而先求三個已知分式的倒數和，通分后分母為xyz，而待求分式的分子為xyz，此時只需利用三個已知分式的倒數和與待求分式的關系，即可求解.

解：∵=-2，=，=-，

++=-+-=-，

即=-，

∴=-，即=-4.

【點評】對于一些形式比較特殊的式子，運用求倒數或相反數的方法往往能收到奇效.

（作者單位：江蘇省建湖縣高作中學）