解方程（組）中的常見錯誤例析
2014-05-13 14:38:31曹洪
初中生世界·九年級 2014年4期
曹洪
下面是同學們在完成中考試題類編——方程（組）中的錯誤，你出現過這些錯誤嗎？希望你能從這些錯誤中汲取經驗教訓，提高免疫力，避免出現類似錯誤.
一、 審題不細
例1 （2012·湖北天門）關于x的方程（m-1）x2+x+m2-1=0有一根為0，則m的值為（ ）.
A. 1 B. -1
C. 1或-1 D. 0.5
【錯解】將x=0代入方程（m-1）x2+x+m2-1=0得：m2-1=0，解得m=1或m=-1，又m-1≠0，所以m≠1，因此m的值為-1，選B.
【分析】題目中沒有講這個方程是一元二次方程，所以m-1可以為0. 事實上，m=1時，方程為x=0，它有一根為0，滿足要求，因此m的值為1或-1，選C.
【點評】方程ax2+bx+c=0不一定是一元二次方程，因此遇到這類問題常常需要分類討論.
二、 忘記檢驗
例2 （2013·四川綿陽）解方程：
-1=.
【錯解】原方程可化為 = ，所以方程的最簡公分母為（x+2）（x-1），去分母得：x+2=3，解得：x=1. 所以原方程的解為x=1.
【分析】錯解忘記了檢驗，當x=1時，x-1=0，x2+x-2=0，所以x=1是增根，原分式方程無解.
【點評】解分式方程的基本思想是“轉化”，通過去分母把分式方程轉化為整式方程求解. 但轉化時有可能產生增根，所以解分式方程一定要驗根.
三、 思考不周
例3 （2013·山西）解方程：
（2x-1）2=x（3x+2）-7.
【錯解】原方程可化為4x2-4x+1=3x2+2x-7，∴x2-6x+8=0，∴（x-3）2=1，∴x-3=1，∴x=4.
【分析】一個正數的平方根有兩個，因此由直接開平方法得：x-3=±1，∴x1=2，x2=4. 方程的解為x1=2，x2=4.
【點評】用直接開平方法解方程時，要注意正數的平方根有兩個；用因式分解法解方程不能在方程的兩邊同時除以含未知數的代數式，否則會失根；增根易剔除，失根難尋找.
四、 概念不清
例4 （2013·四川瀘州）若關于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有兩個不相等的實數根，則實數k的取值范圍是（ ）.
A. k>-1 B. k<1且k≠0
C. k≥-1且k≠0 D. k>-1且k≠0
【錯解】由方程有兩個不相等的實數根，有Δ>0，即（-2）2-4×k×（-1）>0，解得k>-1，選A.
【分析】由方程kx2-2x-1=0是關于x的一元二次方程，必須有k≠0，結合k>-1，有k>-1且k≠0，選D.
【點評】在應用根的判別式解題時一定要注意其使用的前提條件是二次項不能為0.
五、 半途而廢
例5 （2012·山東威海）關于x的一元二次方程x2-mx+（m-2）=0的根的情況是（ ）.
A. 有兩個不相等的實數根
B. 沒有實數根
C. 有兩個相等的實數根
D. 無法確定
【錯解】因為Δ=m2-4（m-2）=m2-4m+8，當m的值變化時，m2-4m+8的值也在變化，所以它的根的情況無法確定，選D.
【分析】當m的值變化時，m2-4m+8的值也在變化，但這個值的變化范圍是可確定的，從而可確定Δ的正負性，進而判斷出方程根的情況. 事實上，m2-4m+8=m2-4m+4+4=（m-2）2+4>0，所以方程有兩個不相等的實數根，選A.
【點評】當判別式是含字母的代數式時，要善于應用配方法變形為（ ）2+正數或
-（ ）2-正數的形式，以便于對其正負性作出判定.
六、 忽視隱含
例6 （2013·黑龍江龍東）已知關于x的分式方程=1的解是非正數，則a的取值范圍是（ ）.
A. a≤-1 B. a≤-2
C. a≤1且a≠-2 D. a≤-1且a≠-2
【錯解】在方程=1的兩邊同乘x+1得，a+2=x+1，x=a+1. 又方程的解為非正數，所以a+1≤0，解得a≤-1，選A.
【分析】這是一個分式方程，因此題目隱含著條件分母x+1≠0，即x≠-1，所以a+1≠-1，即a≠-2. 所以a的取值范圍是a≤-1且a≠-2，選D.
【點評】對于含字母系數的分式方程，一定要注意排除使方程分母為0的字母取值.
七、 理解不當
例7 （2013·湖南郴州）烏梅是郴州的特色時令水果. 烏梅一上市，水果店的小李就用3 000元購進了一批烏梅，前兩天以高于進價40%的價格共賣出150 kg，第三天她發現市場上烏梅數量陡增，而自己的烏梅賣相已不太好，于是果斷地將剩余烏梅以低于進價20%的價格全部售出，前后一共獲得750元. 求小李所進烏梅的數量.
【錯解】設小李所進烏梅的數量為x kg，則可列方程×40%×150+×20%×（x-150）=750.
解得x=600. 經檢驗x=600是方程的解.
答：小李所進烏梅的數量為600 kg.
【分析】錯解對“低于進價的20%的價格全部售出”的含義即是虧本理解不當，而誤用“+”來連接，正確的應該用符號“-”來連接，得到的方程應該是：
×40%×150-×20%×（x-150）=750.
解得x=200，經檢驗x=200是方程的解.
答：小李所進烏梅的數量是200 kg.
【點評】利用方程解應用題，審題是關鍵，不僅要找出已知、未知，而且要正確找出數量關系，做到正確解題.
八、 缺少分類
例8 （2013·黑龍江龍東）李明組織大學同學一起去觀看電影，票價每張60元，20張以上（不含20張）打八折，他們一共花了1 200元，他們共買了_______張電影票.
【錯解】設他們一共買了x張電影票，則有80%×60x=1 200，解得x =25. 所以填“25”.
【分析】本題中的等量關系是：票價×張數=1 200元（張數≤20）；票價×張數×80%=1 200元（張數>20）. 應該根據這兩個等量關系分別列出方程進行求解. 錯解遺漏了前者. 正確解法是：設他們一共買了x張電影票，則①60x=1 200（x≤20），解得x=20；②80%×60x=1 200（x>20），解得x=25. 均符合題意，所以他們共買了20或25張電影票.
【點評】對于數量關系不唯一的問題，要注意分類思考，全面求解.
九、 忽視要求
例9 （2013·江蘇淮安）小麗為校合唱隊購買某種服裝時，商店經理給出了如下優惠條件：如果一次性購買不超過10件，單價為80元；如果一次性購買多于10件，那么每增加1件，購買的所有服裝的單價降低2元，但單價不得低于50元. 按此優惠條件，小麗一次性購買這種服裝付了1 200元，請問她購買了多少件這種服裝？
【錯解】因為10件服裝的售價為80×10=800（元）<1 200元，所以小麗買的服裝數大于10件. 設小麗購買了x件這種服裝，則超過的服裝為（x-10）件，又多于10件后每增加1件，購買的所有服裝的單價降低2元，所以實際單價為[80-2（x-10）]元，根據題意得：x[80-2（x-10）]=1 200，解得x1=20，x2=30.
答：小麗購買了20件或30件這種服裝.
【分析】當x1=20時，每件售價為80-2（20-10）=60（元）>50元，符合題意；當x2=30時，每件售價為80-2（30-10）=40（元）<50元，不符合題意，應舍去. ∴x=20. 即小麗購買了20件這種服裝.
【點評】在運用方程解決實際問題時，一定要重視問題的具體要求，正確進行取舍.
十、 人為編造
例10 （江蘇南京）西瓜經營戶以2元/千克的價格購進一批小型西瓜，以3元/千克的價格出售，每天可售出200千克. 為了促銷，該經營戶決定降價銷售. 經調查發現，這種小型西瓜每降價0. 1元/千克，每天可多售出40千克. 另外，每天的房租等固定成本共24元. 該經營戶要想每天盈利200元，應將每千克小型西瓜的售價降低多少元？
【錯解】設應將每千克小型西瓜的售價降低x元. 根據題意，得（3-2-x）
200+-24=200. 解得x1=0.2，x2=0.3（舍去，因為降價越少越好）.
答：應將每千克小型西瓜的售價降低0.2元.
【分析】錯解認為題目中有兩個解，必須舍去一個，人為編造了“降價越少越好”的理由來對根進行取舍. 事實上，由方程得到的兩個解都符合要求，所以答案為“應將每千克小型西瓜的售價降低0.2元或0.3元”.
【點評】解題中切不可人為添加條件.
練習
1. （2013·甘肅蘭州）若b-1+=0，且一元二次方程kx2+ax+b=0有兩個實數根，則k的取值范圍是_____________.
2. （2013·四川綿陽）已知整數k<5，若△ABC的邊長均滿足關于x的方程x2-3x+8=0，則△ABC的周長是______.
3. （2013·山東臨沂）對于實數a、b，定義運算“×”：a×b=a2-ab（a≥b），
ab-b2（a
參考答案：
1. k≤4且k≠0 2. 10、6或12
3. 3或-3
（作者單位：江蘇省興化市楚水初級中學）
【點評】利用方程解應用題，審題是關鍵，不僅要找出已知、未知，而且要正確找出數量關系，做到正確解題.
八、 缺少分類
例8 （2013·黑龍江龍東）李明組織大學同學一起去觀看電影，票價每張60元，20張以上（不含20張）打八折，他們一共花了1 200元，他們共買了_______張電影票.
【錯解】設他們一共買了x張電影票，則有80%×60x=1 200，解得x =25. 所以填“25”.
【分析】本題中的等量關系是：票價×張數=1 200元（張數≤20）；票價×張數×80%=1 200元（張數>20）. 應該根據這兩個等量關系分別列出方程進行求解. 錯解遺漏了前者. 正確解法是：設他們一共買了x張電影票，則①60x=1 200（x≤20），解得x=20；②80%×60x=1 200（x>20），解得x=25. 均符合題意，所以他們共買了20或25張電影票.
【點評】對于數量關系不唯一的問題，要注意分類思考，全面求解.
九、 忽視要求
例9 （2013·江蘇淮安）小麗為校合唱隊購買某種服裝時，商店經理給出了如下優惠條件：如果一次性購買不超過10件，單價為80元；如果一次性購買多于10件，那么每增加1件，購買的所有服裝的單價降低2元，但單價不得低于50元. 按此優惠條件，小麗一次性購買這種服裝付了1 200元，請問她購買了多少件這種服裝？
【錯解】因為10件服裝的售價為80×10=800（元）<1 200元，所以小麗買的服裝數大于10件. 設小麗購買了x件這種服裝，則超過的服裝為（x-10）件，又多于10件后每增加1件，購買的所有服裝的單價降低2元，所以實際單價為[80-2（x-10）]元，根據題意得：x[80-2（x-10）]=1 200，解得x1=20，x2=30.
答：小麗購買了20件或30件這種服裝.
【分析】當x1=20時，每件售價為80-2（20-10）=60（元）>50元，符合題意；當x2=30時，每件售價為80-2（30-10）=40（元）<50元，不符合題意，應舍去. ∴x=20. 即小麗購買了20件這種服裝.
【點評】在運用方程解決實際問題時，一定要重視問題的具體要求，正確進行取舍.
十、 人為編造
例10 （江蘇南京）西瓜經營戶以2元/千克的價格購進一批小型西瓜，以3元/千克的價格出售，每天可售出200千克. 為了促銷，該經營戶決定降價銷售. 經調查發現，這種小型西瓜每降價0. 1元/千克，每天可多售出40千克. 另外，每天的房租等固定成本共24元. 該經營戶要想每天盈利200元，應將每千克小型西瓜的售價降低多少元？
【錯解】設應將每千克小型西瓜的售價降低x元. 根據題意，得（3-2-x）
200+-24=200. 解得x1=0.2，x2=0.3（舍去，因為降價越少越好）.
答：應將每千克小型西瓜的售價降低0.2元.
【分析】錯解認為題目中有兩個解，必須舍去一個，人為編造了“降價越少越好”的理由來對根進行取舍. 事實上，由方程得到的兩個解都符合要求，所以答案為“應將每千克小型西瓜的售價降低0.2元或0.3元”.
【點評】解題中切不可人為添加條件.
練習
1. （2013·甘肅蘭州）若b-1+=0，且一元二次方程kx2+ax+b=0有兩個實數根，則k的取值范圍是_____________.
2. （2013·四川綿陽）已知整數k<5，若△ABC的邊長均滿足關于x的方程x2-3x+8=0，則△ABC的周長是______.
3. （2013·山東臨沂）對于實數a、b，定義運算“×”：a×b=a2-ab（a≥b），
ab-b2（a
參考答案：
1. k≤4且k≠0 2. 10、6或12
3. 3或-3
（作者單位：江蘇省興化市楚水初級中學）
【點評】利用方程解應用題，審題是關鍵，不僅要找出已知、未知，而且要正確找出數量關系，做到正確解題.
八、 缺少分類
例8 （2013·黑龍江龍東）李明組織大學同學一起去觀看電影，票價每張60元，20張以上（不含20張）打八折，他們一共花了1 200元，他們共買了_______張電影票.
【錯解】設他們一共買了x張電影票，則有80%×60x=1 200，解得x =25. 所以填“25”.
【分析】本題中的等量關系是：票價×張數=1 200元（張數≤20）；票價×張數×80%=1 200元（張數>20）. 應該根據這兩個等量關系分別列出方程進行求解. 錯解遺漏了前者. 正確解法是：設他們一共買了x張電影票，則①60x=1 200（x≤20），解得x=20；②80%×60x=1 200（x>20），解得x=25. 均符合題意，所以他們共買了20或25張電影票.
【點評】對于數量關系不唯一的問題，要注意分類思考，全面求解.
九、 忽視要求
例9 （2013·江蘇淮安）小麗為校合唱隊購買某種服裝時，商店經理給出了如下優惠條件：如果一次性購買不超過10件，單價為80元；如果一次性購買多于10件，那么每增加1件，購買的所有服裝的單價降低2元，但單價不得低于50元. 按此優惠條件，小麗一次性購買這種服裝付了1 200元，請問她購買了多少件這種服裝？
【錯解】因為10件服裝的售價為80×10=800（元）<1 200元，所以小麗買的服裝數大于10件. 設小麗購買了x件這種服裝，則超過的服裝為（x-10）件，又多于10件后每增加1件，購買的所有服裝的單價降低2元，所以實際單價為[80-2（x-10）]元，根據題意得：x[80-2（x-10）]=1 200，解得x1=20，x2=30.
答：小麗購買了20件或30件這種服裝.
【分析】當x1=20時，每件售價為80-2（20-10）=60（元）>50元，符合題意；當x2=30時，每件售價為80-2（30-10）=40（元）<50元，不符合題意，應舍去. ∴x=20. 即小麗購買了20件這種服裝.
【點評】在運用方程解決實際問題時，一定要重視問題的具體要求，正確進行取舍.
十、 人為編造
例10 （江蘇南京）西瓜經營戶以2元/千克的價格購進一批小型西瓜，以3元/千克的價格出售，每天可售出200千克. 為了促銷，該經營戶決定降價銷售. 經調查發現，這種小型西瓜每降價0. 1元/千克，每天可多售出40千克. 另外，每天的房租等固定成本共24元. 該經營戶要想每天盈利200元，應將每千克小型西瓜的售價降低多少元？
【錯解】設應將每千克小型西瓜的售價降低x元. 根據題意，得（3-2-x）
200+-24=200. 解得x1=0.2，x2=0.3（舍去，因為降價越少越好）.
答：應將每千克小型西瓜的售價降低0.2元.
【分析】錯解認為題目中有兩個解，必須舍去一個，人為編造了“降價越少越好”的理由來對根進行取舍. 事實上，由方程得到的兩個解都符合要求，所以答案為“應將每千克小型西瓜的售價降低0.2元或0.3元”.
【點評】解題中切不可人為添加條件.
練習
1. （2013·甘肅蘭州）若b-1+=0，且一元二次方程kx2+ax+b=0有兩個實數根，則k的取值范圍是_____________.
2. （2013·四川綿陽）已知整數k<5，若△ABC的邊長均滿足關于x的方程x2-3x+8=0，則△ABC的周長是______.
3. （2013·山東臨沂）對于實數a、b，定義運算“×”：a×b=a2-ab（a≥b），
ab-b2（a
參考答案：
1. k≤4且k≠0 2. 10、6或12
3. 3或-3
（作者單位：江蘇省興化市楚水初級中學）
