方程（組）典型問題解析

陳德前+仇金祥

方程和方程組是中考命題的熱點內容，下面以2013年中考題為例，對典型試題加以分析，供同學們復習時參考.

例1 （2013·山東濱州，6分）解方程：

=.

【分析】本題考查一元一次方程的解法，按照去分母、去括號、移項、合并同類項、系數化為1等步驟求解.

解：去分母，得3（3x+5）=2（2x-1）.（1分）

去括號，得9x+15=4x-2. （3分）

移項、合并同類項，得5x=-17. （5分）

系數化為1得x=-. （6分）

【點評】解一元一次方程時，要注意去括號易出現符號錯誤或漏乘括號內的項. 這類試題屬于中考中的容易題，只要概念清楚，方法正確，即可拿滿分. 在解題時要寫出完整答題，不跳步驟，這樣即使出錯，也可以分步得分.

例2 （2013·浙江臺州，8分）已知關于x、y的方程組mx+ny=7，

2mx-3ny=4的解為x=1，

y=2，求m、n的值.

【分析】本題考查二元一次方程組解的概念和二元一次方程組的解法，將方程組的解代入這個方程組，得到關于m、n的新方程組，即可求得m、n的值.

解：把x=1，

y=2代入原方程組mx+ny=7，

2mx-3ny=4，

得m+2n=7，

2m-6n=4.（4分）

解得m=5，

n=1.（8分）

【點評】已知方程（組）的解，可以列出關于待定系數的方程（組），解這個方程（組）就可以求出待定系數.這類試題屬于中考中的中檔題，解決這類問題的方法包括代解法和求解法，但要因題而異，靈活選用，本題以用代解法為好.

例3 （2013·湖北黃岡，6分）解方程組：

-

=-，

3（x+y）-2（2x-y）=3.

【分析】本題考查二元一次方程組的解法，原方程組比較復雜，先將兩個方程化簡，再根據方程組的特點確定消元的方法求解.

解：方法1（代入法）：原方程組整理得：

5y-x=3，

5x-11y=-1. ①

②（2分）

由①得：x=5y-3. ③（3分）

將③代入②得：

25y-15-11y=-1，14y=14，y=1.（4分）

將y=1代入③得x=2. （5分）

∴原方程組的解為x=2，

y=1.（6分）

方法2（加減法）：原方程組整理得：

5y-x=3，

5x-11y=-1.①

②（2分）

由①×5+②得：14y=14，y=1. （4分）

將y=1代入①得：5-x=3，x=2. （5分）

∴原方程組的解為x=2，

y=1.（6分）

【點評】解二元一次方程組的基本思路是消元，即把“二元”變為“一元”，主要方法有代入消元法和加減消元法. 當方程組中某個未知數的系數絕對值等于1時，利用代入消元法求解比較簡單；如果方程組中同一個未知數的系數成倍數關系或絕對值相同，則采用加減消元法求解比較簡單. 中考中解二元一次方程組的問題一般難度適中，主要考查同學們對方法的掌握，需要注意運算的準確性和選用恰當的方法.

例4 （2013·江蘇泰州，8分）解方程：

-=.

【分析】本題涉及分式方程的解法，正確確定最簡公分母是解題的關鍵，當分母是多項式時需先進行因式分解，再確定最簡公分母，本題的最簡公分母是x（x-2）.此外，忽視驗根是最常見錯誤.

解：去分母得（2x+2）（x-2）-x（x+2）=x2-2，（2分）

去括號得2x2-2x-4-x2-2x=x2-2，（4分）

移項合并得-4x=2，（6分）

所以x=-，（7分）

經檢驗知x=-是原方程的解. （8分）

【點評】有關確定分式方程解的問題，在中考中一般處于基本題的位置.解分式方程關鍵是通過去分母，將分式方程轉化為整式方程. 在去分母時，要注意不能漏乘任何一項，特別是常數項.最后要注意驗根，看所得的解是否原方程的解.

例5 （2013·廣東廣州，9分）解方程：x2-10x+9=0.

【分析】本題考查一元二次方程的解法，可運用配方法、求根公式法和因式分解法等方法求解.

解法一（配方法）：將方程x2-10x+9=0變形為x2-10x=-9，配方得x2-10x+25=-9+25，（3分）

即（x-5）2=16，∴x-5=4或x-5=-4，（6分）

解得，x1=9，x2=1. （9分）

解法二（求根公式法）：因為a=1，b=-10，c=9，（3分）

Δ=100-36=64>0，（6分）

由求根公式解得x1=9，x2=1. （9分）

解法三（因式分解法）：將方程x2-10x+9=0變形為（x-1）（x-9）=0，（6分）

解得x1=9，x2=1. （9分）

【點評】解一元二次方程通常有四種方法，即直接開平方法、配方法、求根公式法和因式分解法，只要方程有實數根，配方法和求根公式法都是萬能的，但要根據具體的方程選擇合適的方法，直接開平方法和因式分解法適合特殊形式的方程.

例6 （2013·廣西賀州，5分）某校為了豐富學生的校園生活，準備購進一批籃球和足球，其中籃球的單價比足球的單價多40元，用1 500元購進的籃球個數與900元購進的足球個數相等.

（1） 籃球與足球的單價各是多少元？

（2） 該校打算用1 000元購進籃球和足球，問恰好用完1 000元，并且籃球、足球都買有的購買方案有哪幾種？

【分析】本題考查分式方程和二元一次方程的應用.

（1） 首先設足球單價為x元，則籃球單價為（x+40）元，根據題意可得等量關系：1 500元購進的籃球個數=900元購進的足球個數，由等量關系可得方程求解；（2） 設恰好用完1 000元，可購買籃球m個和購買足球n個，根據題意可得籃球的單價×籃球的個數m+足球的單價×足球的個數n=1 000，再求出整數解即可.

解：（1） 設足球的單價為x元，則籃球的單價為（x+40）元，根據題意得（1分）：

=，解得x=60. （3分）

經檢驗，x=60是原分式方程的解，且符合題意. 所以x+40=100. （4分）

答：籃球和足球的單價分別為100元、60元. （5分）

（2） 設恰好用完1 000元，可購買籃球m個和購買足球n個（m、n是正整數），（6分）

由題意得 100m+60n=1 000，因此m=10-n. （7分）

因為m、n都是正整數，所以n是5的整數倍，且n<. 所以n=5、10、15，因此得到m=7、4、1. 所以有3種購買方案：

方案1：購買籃球7個，足球5個；

方案2：購買籃球4個，足球10個；

方案3：購買籃球1個，足球15個.（10分）

【點評】在應用分式方程解決實際問題時，要注意兩個檢驗：一是檢驗得到的解是否方程的增根，二是得到的解是否符合實際問題的意義，兩者缺一不可. 二元一次方程是研究方案問題的有效模型，二元一次方程是不定方程，它的解一般有無數個，但是它的特殊解卻是有限的，因此可以先建立二元一次方程模型，再利用二元一次方程的特殊解解題.

例7 （2013·湖南永州，8分）中國現行的個人所得稅法自2011年9月1日起施行，其中規定個人所得稅納稅辦法如下：

一、 以個人每月工資收入額減去3 500元后的余額作為其每月應納稅所得額；

二、 個人所得稅納稅率如下表：

（1） 若甲、乙兩人的每月工資收入額分別為4 000元和6 000元，請分別求出甲、乙兩人每月應繳納的個人所得稅；

（2） 若丙每月繳納的個人所得稅為95元，則丙每月工資收入額應為多少？

【分析】本題是關于用一元一次方程解決納稅問題的應用題，理清不同工資收入對應不同的納稅稅率是解題的關鍵. （1） 按計算方法求解即可；（2） 要估算出丙的工資范圍，再根據丙每月繳納的個人所得稅列出方程求解.

解：（1） 甲每月應納稅所得額：4 000-3 500=500（元），甲每月應繳納的個人所得稅為：500×3%=15（元）（2分）；

乙每月應納稅所得額：（6 000-3 500）=2 500（元），乙每月應繳納的個人所得稅為：1 500×3%+（2 500-1500）×10%=145（元）（4分）.

（2） 若每月工資收入額為1 500+3 500=5 000（元），則每月繳納的個人所得稅為（5 000-3 500）×3%=45（元）<95元；

若每月工資收入額為4 500+3 500=8 000（元），則每月繳納的個人所得稅為：1 500×3%+（3 500-1 500）×10%=245（元）>95元.

由丙每月納稅95元，可知丙每月工資在5 000～8 000元之間，納稅級數為2，其納稅額由兩部分組成. 設丙每月工資收入額應為x元（5分），

則得：1 500×3%+（x-3 500-1 500）×10%=95（6分），解得x=5 500（元）（7分）.

答：丙每月工資收入額應為5 500元（8分）.

【點評】繳納個人所得稅本質上是分段繳費問題，也就是分段函數的函數值計算，解決這類問題的關鍵是要知曉分段函數中自變量的不同取值范圍，抓住不同范圍內的繳費標準，求出各分段繳費數額，最后求和.

（作者單位：江蘇省興化市教育局教研室、興化市缸顧中心校）

（1） 籃球與足球的單價各是多少元？

（2） 該校打算用1 000元購進籃球和足球，問恰好用完1 000元，并且籃球、足球都買有的購買方案有哪幾種？

【分析】本題考查分式方程和二元一次方程的應用.

（1） 首先設足球單價為x元，則籃球單價為（x+40）元，根據題意可得等量關系：1 500元購進的籃球個數=900元購進的足球個數，由等量關系可得方程求解；（2） 設恰好用完1 000元，可購買籃球m個和購買足球n個，根據題意可得籃球的單價×籃球的個數m+足球的單價×足球的個數n=1 000，再求出整數解即可.

解：（1） 設足球的單價為x元，則籃球的單價為（x+40）元，根據題意得（1分）：

=，解得x=60. （3分）

經檢驗，x=60是原分式方程的解，且符合題意. 所以x+40=100. （4分）

答：籃球和足球的單價分別為100元、60元. （5分）

（2） 設恰好用完1 000元，可購買籃球m個和購買足球n個（m、n是正整數），（6分）

由題意得 100m+60n=1 000，因此m=10-n. （7分）

因為m、n都是正整數，所以n是5的整數倍，且n<. 所以n=5、10、15，因此得到m=7、4、1. 所以有3種購買方案：

方案1：購買籃球7個，足球5個；

方案2：購買籃球4個，足球10個；

方案3：購買籃球1個，足球15個.（10分）

【點評】在應用分式方程解決實際問題時，要注意兩個檢驗：一是檢驗得到的解是否方程的增根，二是得到的解是否符合實際問題的意義，兩者缺一不可. 二元一次方程是研究方案問題的有效模型，二元一次方程是不定方程，它的解一般有無數個，但是它的特殊解卻是有限的，因此可以先建立二元一次方程模型，再利用二元一次方程的特殊解解題.

例7 （2013·湖南永州，8分）中國現行的個人所得稅法自2011年9月1日起施行，其中規定個人所得稅納稅辦法如下：

一、 以個人每月工資收入額減去3 500元后的余額作為其每月應納稅所得額；

二、 個人所得稅納稅率如下表：

（1） 若甲、乙兩人的每月工資收入額分別為4 000元和6 000元，請分別求出甲、乙兩人每月應繳納的個人所得稅；

（2） 若丙每月繳納的個人所得稅為95元，則丙每月工資收入額應為多少？

【分析】本題是關于用一元一次方程解決納稅問題的應用題，理清不同工資收入對應不同的納稅稅率是解題的關鍵. （1） 按計算方法求解即可；（2） 要估算出丙的工資范圍，再根據丙每月繳納的個人所得稅列出方程求解.

解：（1） 甲每月應納稅所得額：4 000-3 500=500（元），甲每月應繳納的個人所得稅為：500×3%=15（元）（2分）；

乙每月應納稅所得額：（6 000-3 500）=2 500（元），乙每月應繳納的個人所得稅為：1 500×3%+（2 500-1500）×10%=145（元）（4分）.

（2） 若每月工資收入額為1 500+3 500=5 000（元），則每月繳納的個人所得稅為（5 000-3 500）×3%=45（元）<95元；

若每月工資收入額為4 500+3 500=8 000（元），則每月繳納的個人所得稅為：1 500×3%+（3 500-1 500）×10%=245（元）>95元.

由丙每月納稅95元，可知丙每月工資在5 000～8 000元之間，納稅級數為2，其納稅額由兩部分組成. 設丙每月工資收入額應為x元（5分），

則得：1 500×3%+（x-3 500-1 500）×10%=95（6分），解得x=5 500（元）（7分）.

答：丙每月工資收入額應為5 500元（8分）.

【點評】繳納個人所得稅本質上是分段繳費問題，也就是分段函數的函數值計算，解決這類問題的關鍵是要知曉分段函數中自變量的不同取值范圍，抓住不同范圍內的繳費標準，求出各分段繳費數額，最后求和.

（作者單位：江蘇省興化市教育局教研室、興化市缸顧中心校）

（1） 籃球與足球的單價各是多少元？

（2） 該校打算用1 000元購進籃球和足球，問恰好用完1 000元，并且籃球、足球都買有的購買方案有哪幾種？

【分析】本題考查分式方程和二元一次方程的應用.

（1） 首先設足球單價為x元，則籃球單價為（x+40）元，根據題意可得等量關系：1 500元購進的籃球個數=900元購進的足球個數，由等量關系可得方程求解；（2） 設恰好用完1 000元，可購買籃球m個和購買足球n個，根據題意可得籃球的單價×籃球的個數m+足球的單價×足球的個數n=1 000，再求出整數解即可.

解：（1） 設足球的單價為x元，則籃球的單價為（x+40）元，根據題意得（1分）：

=，解得x=60. （3分）

經檢驗，x=60是原分式方程的解，且符合題意. 所以x+40=100. （4分）

答：籃球和足球的單價分別為100元、60元. （5分）

（2） 設恰好用完1 000元，可購買籃球m個和購買足球n個（m、n是正整數），（6分）

由題意得 100m+60n=1 000，因此m=10-n. （7分）

因為m、n都是正整數，所以n是5的整數倍，且n<. 所以n=5、10、15，因此得到m=7、4、1. 所以有3種購買方案：

方案1：購買籃球7個，足球5個；

方案2：購買籃球4個，足球10個；

方案3：購買籃球1個，足球15個.（10分）

【點評】在應用分式方程解決實際問題時，要注意兩個檢驗：一是檢驗得到的解是否方程的增根，二是得到的解是否符合實際問題的意義，兩者缺一不可. 二元一次方程是研究方案問題的有效模型，二元一次方程是不定方程，它的解一般有無數個，但是它的特殊解卻是有限的，因此可以先建立二元一次方程模型，再利用二元一次方程的特殊解解題.

例7 （2013·湖南永州，8分）中國現行的個人所得稅法自2011年9月1日起施行，其中規定個人所得稅納稅辦法如下：

一、 以個人每月工資收入額減去3 500元后的余額作為其每月應納稅所得額；

二、 個人所得稅納稅率如下表：

（1） 若甲、乙兩人的每月工資收入額分別為4 000元和6 000元，請分別求出甲、乙兩人每月應繳納的個人所得稅；

（2） 若丙每月繳納的個人所得稅為95元，則丙每月工資收入額應為多少？

【分析】本題是關于用一元一次方程解決納稅問題的應用題，理清不同工資收入對應不同的納稅稅率是解題的關鍵. （1） 按計算方法求解即可；（2） 要估算出丙的工資范圍，再根據丙每月繳納的個人所得稅列出方程求解.

解：（1） 甲每月應納稅所得額：4 000-3 500=500（元），甲每月應繳納的個人所得稅為：500×3%=15（元）（2分）；

乙每月應納稅所得額：（6 000-3 500）=2 500（元），乙每月應繳納的個人所得稅為：1 500×3%+（2 500-1500）×10%=145（元）（4分）.

（2） 若每月工資收入額為1 500+3 500=5 000（元），則每月繳納的個人所得稅為（5 000-3 500）×3%=45（元）<95元；

若每月工資收入額為4 500+3 500=8 000（元），則每月繳納的個人所得稅為：1 500×3%+（3 500-1 500）×10%=245（元）>95元.

由丙每月納稅95元，可知丙每月工資在5 000～8 000元之間，納稅級數為2，其納稅額由兩部分組成. 設丙每月工資收入額應為x元（5分），

則得：1 500×3%+（x-3 500-1 500）×10%=95（6分），解得x=5 500（元）（7分）.

答：丙每月工資收入額應為5 500元（8分）.

【點評】繳納個人所得稅本質上是分段繳費問題，也就是分段函數的函數值計算，解決這類問題的關鍵是要知曉分段函數中自變量的不同取值范圍，抓住不同范圍內的繳費標準，求出各分段繳費數額，最后求和.

（作者單位：江蘇省興化市教育局教研室、興化市缸顧中心校）