空間微重力下離軸三反相機離焦范圍

劉 磊，馬 軍，鄭玉權

(1.長春理工大學機電工程學院，吉林長春130022;

2.中國科學院長春光學精密機械與物理研究所，吉林長春130033)

1 引言

離軸三反TMA光學系統由三塊反射鏡組成，其光路可折疊，結構緊湊;各反射面采用非球面表面后其系統傳遞函數接近衍射極限;具有視場大、空間分辨率高、無色差、平像場、及寬光譜等優勢［1-3］，因此該系統已經廣泛應用于空間相機中。

空間相機所處的運載和運行環境條件(如沖擊、振動、壓力和溫度等)非常復雜。為了在復雜的環境條件下保證相機的成像質量，要求相機在具備良好的動力學性能的同時還需要具有良好的微重力環境適應性能［4-6］。

空間相機光機結構一般由光學元件、支撐結構、調焦機構、掃描機構等部分組成。光學元件是空間相機完成對地成像任務的核心，通常由光學透鏡或反射鏡組成，實現對地面景物成像;支撐結構是用來固定和支撐各光學元件，承受來自力學環境及溫度環境變化帶來的沖擊和擾動，確保鏡頭具有必要的成像精度。支撐結構可以是承力筒、夾層板、框架結構、板式構架，以及桿系結構等形式。

無論光學元件還是支撐結構，由于受到空間微重力環境的影響，相機在地面受到的重力載荷得到釋放，使相機結構產生與地面重力加速度方向相反的位移，導致光學元件表面面型、曲率半徑、鏡間隔等參數產生變化。曲率半徑、鏡間隔的變化直接導致焦面產生離焦，即相機的CCD靶面偏離焦平面，最終降低光學系統傳遞函數、降低成像質量。因此，本文主要研究微重力對相機離焦的影響。

2 離焦理論分析

對于F#為9的光學系統，離焦量與光學傳遞函數關系如圖1所示。當離焦量達到焦深位置0.1 mm時，離焦傳函達到0.66，此時相機的成像質量大大降低。根據相機系統傳遞函數的分配，相機允許的離焦傳函為0.97，其對應的離焦量僅為0.028 2 mm，因此，由于空間微重力產生的離焦量必須計算。

圖1 離焦量與光學傳遞函數關系Fig.1 Relationship between defocusing range and optical transfer function

圖2為TMA光學系統，r1、r2和r3分別為主、次鏡、第三鏡半徑，s1為主鏡與次鏡間隔，s2為次鏡與第三鏡間隔，l'F為后截距。

圖2 離軸三反光學系統Fig.2 Configuration of off-axial TMA optical system

等效高斯光學系統矩陣［7-8］:

3 微重力下鏡間隔計算方法

有限元法作為數值模擬計算的一種有效方法，可以解決工程中的結構分析問題。文中將使用有限元分析方法對反射鏡面型進行詳細的分析，在有限元仿真分析后，將反射鏡鏡面各節點的坐標通過一定的數據處理方法處理后，可以得到鏡面的位置變化［9］。

光學元件的剛體位移包括在X、Y、Z方向的平移及繞X、Y、Z軸的旋轉。

齊次坐標變換在圖像處理中是一種較為常用的方法，通過它可以實現圖像的旋轉、縮放、平移。在這里通過齊次坐標變換來計算鏡面剛體位移。

齊次坐標方法是用一個n+1維的分向量來表示一個n維向量。例如，在A坐標系中的點P直角坐標為(x，y，z)，表示成齊次坐標為(x，y，z，1)。齊次坐標變換則是描述一個齊次坐標系到另為一個齊次坐標系的變換關系。

在相機的光機結構系統中，如果反射鏡鏡面受到載荷作用后，相對于各自初始位置沿x、y、z軸的平移量分別為e、f、g，繞x、y、z軸的轉動量分別為 θx、θy、θz，通過齊次坐標變換，可求出位移后鏡面有限元節點與初始狀態下鏡面節點間的坐標變換矩陣。雖然坐標變換矩陣時不同的順序會出現不同形式的坐標變換矩陣，但考慮到 θx、θy、θz是微小的角度，在數值上作近似處理，讓cosθ≈1，sinθ≈θ，并略去高階小量，得到總的坐標變換矩陣形式統一，最終公式如下:

式中，(xi，yi，zi)為變形前鏡面上的節點的坐標，(x'i，y'i，z'i)為變形后鏡面上的節點的坐標。公式變換得:

利用最小二乘法求解Q的最小值，對所有未 知數求偏導，得到6個方程如下:

對方程組的求解就可以得到鏡面在微重力作用下的剛體平移量和偏轉量。把主鏡與次鏡的Z向平移量相減可以獲得變化后的主鏡與次鏡間隔參數s1的變化量，同理，把第三鏡與次鏡的Z向平移量相減可以獲得變化后的第三鏡與次鏡間隔參數s2變化量。

隨機選取首都醫科大學2013級臨床和基礎醫學等專業60名學生作為研究對象，將60名學生分為10個小組，每組5～7人。

4 球面半徑擬合計算方法

從有限元中得到變形后的反射鏡鏡面節點坐標后，需要采用最小二乘算法擬合出一個新球面，其方法是將待擬合的新球面參數作為待定系數，將每個采樣數據和理想參數之間殘留誤差的平方和相加，平方和最小時所對應的待定系數就是擬合值［10］。

假設近似球面的球心為C(x0，y0，z0)，半徑為r，則該球面可以寫成如下的標準形式(x－x0)2+(y－y0)2+(z－z0)2=r2，基于代數殘差的目標函數l為:

進一步簡化式(6)，將分數形式改為非分數形式:

式(7)中的待定參數受B2+C2+D2－4AE=1公式約束。

顯然，λ和μ分別是廣義特征值和廣義特征向量。而鏡面變形后的擬合球面半徑為:

5 計算實例

相機在地面采用臥式裝配，各反射鏡鏡面與重力方向平行。當相機入軌后，由于受到空間微重力載荷的影響，在地面上受到的載荷得到釋放，各反射鏡的間隔、半徑發生變化，從而導致光學系統后截距發生變化，焦面產生離焦。

本文主要以有限元仿真分析方法完成相機的力學分析，采用MSC/Patran進行前處理，MSC/Nastran解算器求解。相機整機有限元模型(見圖3)主要采用8節點HEX單元和4節點QUAD單元劃分，共251 813個節點，150 787個單元。

圖3 相機有限元模型Fig.3 Finite element model of camera

相機主框架采用鋁基碳化硅復合材料，密度為2.8×103kg/m3，彈性模量為95 GPa，泊松比為0.28，線脹系數為 1.9×10－5。主鏡、次鏡、第三境均采用碳化硅材料，碳化硅材料的密度為3.05×103kg/m3，彈性模量為400 GPa，泊松比為0.16，線脹系數為2.5 ×10－6。

相機入軌后，重力載荷得到釋放，可以用地面重力方向的反方向(+Y向)施加慣性載荷來模擬，對相機的連接座約束6自由度位移后，通過有限元計算得到主鏡、次鏡、第三鏡反射鏡鏡面有限單元節點的位移結果帶入球面半徑擬合式(11)及鏡面剛體位移式(5)，計算得到各反射鏡鏡面剛體位移、曲率半徑變化，結果見表1，主鏡、次鏡、第三鏡在微重力載荷作用下位移圖見圖4。

表1 各鏡面位移及半徑變化Tab.1 Mirror displacement and radius change (mm)

圖4 主鏡、次鏡、第三鏡在微重力載荷作用下的位移Fig.4 Mirror displacement diagram in microgravity loading

把表中的剛體位移量、半徑變化量修正后截距式(2)中各參數后，得到空間微重力環境下后截距為1 509.556 7 mm，減去相機在地面重力環境下后截距1 509.535 2 mm，得到相機離焦量0.021 mm，接近相機允許的離焦量0.028 5 mm。

為了驗證該套計算方法的正確性，在實驗室將相機翻轉90°(見圖5)，使相機承受+Z向重力載荷作用，原先－Y方向的重力載荷得到釋放。通過焦面調焦機構調整焦面位置［11］，當焦面達到最佳位置時測得調焦量為0.04 mm，與+Z向施加重力載荷及+Y方向的重力載荷得到釋放后相機離焦量0.039 mm的分析結果基本吻合。

6 結論

由3塊反射鏡組成的空間相機在軌道空間微重力的影響下，其反射鏡面間隔、曲率半徑往往發生改變。雖然其變化量在設計允許的范圍之內，但對系統的后截距產生較大的影響，最終導致相機離焦，降低成像質量。通過對三反系統的等效高斯光學系統分析，得到其后截距公式;采用有限元分析方法得到反射鏡鏡面節點的位移值，通過齊次坐標變換，得到反射鏡面剛體位移公式，求出鏡間隔變化量Δs;通過采用最小二乘算法擬合計算得到微重力環境下的鏡面半徑r，利用文中推導出的三反光學系統后截距公式，計算出空間微重力環境下相機后截距，與重力環境下的后截距相減后得到相機在微重力環境下的離焦量，為相機調焦機構的設計提供了理論依據。

圖5 相機立式檢測Fig.5 Camera under vertical detection

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