關(guān)于第一類曲面積分的計(jì)算方法和技巧

王 靜,李應(yīng)岐,方曉峰

(第二炮兵工程大學(xué)理學(xué)院,西安 710025)

關(guān)于第一類曲面積分的計(jì)算方法和技巧

王 靜,李應(yīng)岐,方曉峰

(第二炮兵工程大學(xué)理學(xué)院,西安 710025)

針對(duì)第一類曲面積分的計(jì)算這一難點(diǎn),結(jié)合例題,討論了將其轉(zhuǎn)化為二重積分時(shí)需要注意的問題,并給出了通過選取不同微元轉(zhuǎn)化為其他類型積分的一些方法以及常用的技巧.

第一類曲面積分;微元;計(jì)算方法

1 計(jì)算時(shí)需要注意的問題

對(duì)于第一類曲面積分,基本的計(jì)算方法是轉(zhuǎn)化為投影區(qū)域上的二重積分,可概括為:“一投、二代、三換”[1].在這個(gè)過程中,學(xué)生容易出錯(cuò)的地方是“投影”.事實(shí)上,積分域向哪個(gè)坐標(biāo)面投影,主要取決于積分曲面的方程.要保證向某坐標(biāo)面投影時(shí),曲面的方程可以寫成顯式、單值函數(shù).換句話說,曲面上的點(diǎn)與投影區(qū)域上的點(diǎn)要保持一一對(duì)應(yīng).

有人說,Σ在xoy面上的投影是圓周,面積為零,所以I=0.

此說法是錯(cuò)誤的,按第一類曲面積分一般計(jì)算方法,若要投影到xoy平面上,曲面方程必須可以寫成z=z(x,y)的表達(dá)式,而本題中圓柱面的方程不能表達(dá)成z=z(x,y)的形式,因此把Σ在xoy面上投影來計(jì)算是得不到結(jié)果的.

正確的做法是:選取圓柱面Σ向yoz面或xoz面上投影,如果投影到y(tǒng)oz面上,那么得到投影區(qū)域?yàn)? Dyz:-a≤y≤a,0≤z≤h,圓柱面方程可表示成,從而

又因?qū)ΨQ性,只要在Σ上x≥0的那部分曲面Σ1上積分值乘以2倍即可:

所以向坐標(biāo)面投影時(shí),一定要注意:

(1)曲面在坐標(biāo)面上的投影區(qū)域的面積不能為0;

(2)z=z(x,y)必須為單值函數(shù),若曲面Σ可表示為單值函數(shù)x=x(y,z)或y=y(x,z)也可得相應(yīng)的曲面積分化為二重積分的公式.否則,就要對(duì)積分區(qū)域分片[2].

同時(shí),從例1看到,有些時(shí)候用基本計(jì)算方法來計(jì)算該類積分是很繁瑣的.事實(shí)上,除了把第一類曲面積分轉(zhuǎn)化為二重積分以外,還可以通過取不同的微元,轉(zhuǎn)化為其他類型的積分.

2 選擇適當(dāng)?shù)奈⒃?jì)算第一類曲面積分

(1)轉(zhuǎn)化為定積分.如果被積函數(shù)為一元函數(shù),比如f(z),則可以考慮將曲面元化為積分元dS= h(z)dz,假設(shè)積分曲面夾在兩平面z=a和z=b之間,那么

(2)轉(zhuǎn)化為曲線積分[3].如果被積函數(shù)是二元函數(shù),比如f(x,y),而積分曲面向xoy面的投影是一條平面曲線時(shí),可以考慮將曲面元化為弧微元dS=h(x,y)ds,那么

圖1

(3)利用球面坐標(biāo)系計(jì)算.如果積分曲面是球面x2+y2+z2=R2或球面的一部分,則可轉(zhuǎn)化到球面坐標(biāo)系下計(jì)算,此時(shí)曲面微元為dS= R2sinφdθdφ.

圖2

由此可見,第一類曲面積分的計(jì)算方法也是靈活多變的,讀者要善于思考,選擇簡便易算的方法來做.

3 常用的計(jì)算技巧

(1)利用積分曲面的方程簡化被積函數(shù).因?yàn)楸环e函數(shù)是定義在積分曲面上的,所以可以先利用曲面方程簡化被積函數(shù)后再計(jì)算.

[1]同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)(下)[M].第6版.北京:高等教育出版社,2007.

[2]高等學(xué)校工科數(shù)學(xué)課程教學(xué)指導(dǎo)委員會(huì).高等數(shù)學(xué)釋疑解難[M].北京:高等教育出版社,1992.305-306.

[3]呂鋒.第一類曲面積分的一種解法[J].高等數(shù)學(xué)研究,2011,14(2):47-48.

[4]張參燕,王耀革,姚紅.一類曲面積分的簡單計(jì)算與推廣[J].高等數(shù)學(xué)研究,2010,13(2):29-31.

[5]馬菊俠,吳云天.高等數(shù)學(xué)題型歸納·方法點(diǎn)撥·考研輔導(dǎo)[M].北京:國防工業(yè)出版社,2010.336-339.

【責(zé)任編輯 牛懷崗】

Calculation Methods and Techniques on the First Curved Surface Integral

WANG Jing,LIYing-qi,FANG Xiao-feng
(College of Science,Second Artillery Engineering University,Xi'an 710025,China)

For calculation of the first surface integrals,combined with the example,the paper discusses the need to pay attention to its conversion to double integral problem,and gives somemethod of convert to other types of integral by choose differentmicroelement and the commonly used skills.

first curved surface integral;microelement;calculationmethod

O172.2

A

1009-5128(2014)03-0019-03

2013-10-31

王靜(1981—),女,甘肅武威人,第二炮兵工程大學(xué)理學(xué)院講師,主要從事代數(shù)學(xué)研究.