數學教學中逆向思維的培養

丁正紅

高中數學具有較高的抽象性和較強的邏輯性，是一門需要較高思維能力的學科，也是促使學生加強思維鍛煉、激發思維火花、提高思維層次和提升智力水平的重要基礎學科.高中數學教學實踐表明，在課堂教學中加強逆向思維引導和訓練，有助于加速學生對數學知識點的理解，有助于提高學生的數學分析水平，有助于提升學生解決實際數學問題的實踐能力.特別是在相對抽象的數學問題面前，當采取傳統的正向的思維方式難以解決的數學問題，不妨轉換不同視角和思維方式，采取逆向思維的方式對問題進行重新梳理、分析，往往可以起到“柳暗花明又一村”的奇效.

下面結合自己的教學實踐談點體會.

一、采取逆向思考，把握數學定義的深刻內涵

在傳統的高中數學教學中，多數教師通常只注重以“順從與正向”的思維方式，引領學生梳理、分析數學概念、定義等基礎知識.無疑，采取這種意向的思維方式，引導學習去理解、記憶和把握，有一定效果.然而，教學實踐表明，在采取正向思維方式對相關概念與定義梳理之后，如果再采取逆向思維的方式去“反證”其條件與結果，往往可以促使學生對其理解得更加深刻，把握得更加深透.這樣，不僅加強了學生按照常規的“順向”思維理解、應用概念與定義的能力，而且還有力推動了學生的思維訓練，并加深了他們對概念與定義的掌握程度.

例如，在講“奇函數”時，按照“順向”思維方式理解，如果函數f（x）在定義域內，對于任意一個x，都存在f（-x）= - f（x），則該函數f（x）就叫做奇函數，可以給予學生初步的感性認知，認識到該函數在直角坐標系上的幾何意義是“關于原點對稱”.而當教師引導學生采取逆向思維的方式提問：如果某函數f（x）存在f（-x）=-f（x）這一特性，那么該函數就是奇函數嗎？這樣，不僅可以促使學生加強對數學知識的分析與探究，提高他們對知識點的認知深度，讓他們在正序和逆序中、條件和結論的互換中得到新的認識，增長了知識的同時，鍛煉了思維.

二、采取逆向思維，把握數學性質法則的內在規律

在高中數學學習中，數學概念和定義等基礎知識非常重要，要求學生必須熟練掌握和應用.而數學知識的性質、定理和法則等，同樣是學科學習的重要基礎，必須熟練掌握和應用.對于這些性質、定理、定律和法則等的推導，在教材中和相關教參中，較為常見的方法是根據基本概念和基礎知識體系，循序漸進地進行邏輯推導.這種方式是可行的，也是有效的，但顯然比較煩瑣，教學中對學生思維的定力要求比較高.然而當引入逆向思維，如采取“反證法”、“等價關系”、“充要條件”等逆向思維進行梳理和理解，對相關性質、定理和法則的內在規律的理解和把握將會更加深刻.

例如，引導學生對數學定理和法則中的已知命題進行“逆向梳理”，構建出“逆命題”、“否命題”等形式，促使他們通過“逆”的方向進行思考，采取“否”的方式進行“反推”，從而揣摩出“已知命題”與“逆命題”之間的關聯關系，進而對命題的“條件”和“結論”形成更加深刻的理解與記憶，對“充分條件”和“必要條件”更具有清醒的認識，以至于更加深刻、更加準確地把握數學性質法則的內在規律，達到左右逢源、融會貫通的境界，有力地提高學生的數學思維層次與水平，提升他們綜合理解和應用數學的能力.

二、采取逆向思維，不斷提升解決數學問題的能力

高中數學教學實踐表明，數學問題中確實有許多問題，如果采取傳統的常規的解決思路和方法，極有可能將問題引入到更為復雜、更為繁難的處境，特別是對于一些已知條件比較復雜的數學問題，試圖通過“正向”的思維方式進行解題，必然會遇到很大困難.而如果教師引導學生通過采用“逆向”的思維方式進行梳理，從問題的結論反面來考慮問題的條件與結論，往往可以促使學生產生“豁然開朗”的感覺.無疑，這有力地豐富了解決數學問題的方式與方法，并有力地提升了學生分析問題、解決問題的能力.

例如，在教學中遇到這么一道數學習題：試討論數學方程（a+2）x2-8x+a=0中的a在什么條件下，可以促使方程存在至少一個正的實數根？顯然，如果按照常規的“正向”思維方式對習題分析，則可以得到“至少一個正的實數根”.意味著方程的解有以下兩種情況：一是存在兩個正的實數根；二是存在一個正的實數根.對于這種數學討論，顯然比較煩瑣，而如果采取“反向”思維的方式，可以梳理出問題的反面就是“方程的兩個根都是負數”，問題就變得簡單得多了.這樣，不僅提升學生解決數學問題的能力，而且鍛煉了學生的思維能力.

總之，在高中數學教學中，充分利用現有條件，緊貼教學內容，不斷加強數學知識體系的內在關聯梳理，嘗試從多個角度、多個方位對數學知識進行探究，善用“逆向”這把數學思維中的利劍，往往可以降低學生理解、分析和解決問題的難度，促使學生獲得一種更加快捷、簡便的學習方法，鍛煉和提高了學生的思維能力，同時促進了他們對數學學習的積極性、主動性.