數(shù)形結(jié)合的第一課——數(shù)軸

呂雯雯

數(shù)軸是初中數(shù)學(xué)中非常重要的一節(jié)內(nèi)容.從位置上講，數(shù)軸是有理數(shù)一章的一個小節(jié)，因為在認(rèn)識了有理數(shù)之后，自然要去學(xué)習(xí)有理數(shù)的表示方法，數(shù)軸也是數(shù)的一種表示方式；從內(nèi)容上講，它起到了很好的承上啟下的作用，是對前面內(nèi)容的總結(jié)，又為之后相反數(shù)和絕對值的學(xué)習(xí)提供了便利；從整個初中知識體系來看，數(shù)軸始終貫穿在初中三年的學(xué)習(xí)中.它是學(xué)生進(jìn)入初中后第一次接觸數(shù)形結(jié)合的知識，是逐步引導(dǎo)學(xué)生利用圖形解決代數(shù)問題的一座橋梁，它為之后系統(tǒng)學(xué)習(xí)平面直角坐標(biāo)系乃至高中立體幾何都起到了鋪墊的作用.

那么，學(xué)習(xí)數(shù)軸究竟有什么用處呢？新教材體現(xiàn)出要讓學(xué)生形象地理解數(shù)學(xué).數(shù)學(xué)是源自生活也最終服務(wù)于生活的，我們要做的是賦予數(shù)學(xué)鮮活的生命，讓數(shù)學(xué)不再是學(xué)生眼中枯燥無味的一門學(xué)科.所以講授數(shù)軸時，首先就要從數(shù)軸和我們生活實際的聯(lián)系出發(fā)，讓學(xué)生看到數(shù)軸的確可以用于解決生活中的問題，從而體會數(shù)軸的作用.

學(xué)習(xí)數(shù)軸，應(yīng)從以下幾個方面引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí).

一、數(shù)軸的基本概念及作法

數(shù)軸是一條規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線.首先學(xué)生要去理解這個概念，我們可以從直觀的溫度計入手，從中抽象出數(shù)軸的形象.一條標(biāo)有刻度的直線，以0為分界，可以向正負(fù)兩個方向無限延伸.然后再科學(xué)地給出數(shù)軸的定義，對于這一概念，可以舉一些錯例和學(xué)生一起分析，進(jìn)而鞏固數(shù)軸的三個要素.接下來就是畫數(shù)軸，這又是對數(shù)軸基本概念的再次加深，從先前的判斷，到現(xiàn)在自己動手去畫，更能讓學(xué)生盡快地接受這一知識點.學(xué)習(xí)了這些內(nèi)容之后，學(xué)生自然可以想到學(xué)習(xí)數(shù)軸的目的是為了把有理數(shù)表示出來，教師可以進(jìn)一步分析數(shù)軸上的點和有理數(shù)的對應(yīng)關(guān)系，這些就是數(shù)軸這一節(jié)必須弄清楚的一些知識點.

二、數(shù)軸和絕對值、相反數(shù)的聯(lián)系

數(shù)軸的學(xué)習(xí)不是止步于概念與畫法，更為重要的是一種數(shù)形結(jié)合的思想，這是學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中第一次接觸到用圖形來表示數(shù)，很好地將代數(shù)和幾何結(jié)合到了一起.這樣，對于之后一些難以表述清楚的問題可以借助數(shù)軸得到很好的解決，絕對值和相反數(shù)中的問題就有很多可以借助數(shù)軸解決.相反數(shù)是只有符號不同的兩個數(shù)，它們到原點的距離相同，在數(shù)軸上表示出相反數(shù)就具有一種對稱的形象；絕對值更是從定義上就借助了數(shù)軸.

其次，數(shù)軸對于相反數(shù)和絕對值的運(yùn)用也大有幫助.

例如，到原點的距離等于5個單位長度的點表示的數(shù)是.這一問題就可以通過畫出數(shù)軸，直觀地給學(xué)生進(jìn)行分析，從原點可以向左或是向右移動，從而得出是5或-5.

引申1：到原點的距離就是一個數(shù)的絕對值，即問題變成了絕對值等于5的數(shù)是5或者-5，學(xué)生可以比較直觀地得出絕對值為何會有兩解.

引申2：容易看出5或-5是一對相反數(shù)，那么絕對值相等的兩個數(shù)可以是什么關(guān)系呢？這時學(xué)生可以很容易得出可以是互為相反數(shù)的關(guān)系.當(dāng)然，不能忘記提醒學(xué)生相等的兩個數(shù)絕對值當(dāng)然也相等，還可以進(jìn)一步用數(shù)學(xué)語言表示這一關(guān)系，即若|a|=|b|，則a=b或a=-b.

引申3：到數(shù)軸上表示3的點的距離等于5個單位長度的點表示的數(shù)是.這一問題，可以讓學(xué)生自己思考，最終可以總結(jié)出表示到一個點的距離等于某個定值時存在的兩種情況.

又如，已知ab<0，|a|>|b|，且a

三、借助數(shù)軸解決實際問題

例如，小明從A地向東走了100m，又返回向西走了60m，再返回向東走了30m，此時小明在出發(fā)點A的哪個方向，與A地相距多遠(yuǎn)？在開始接觸這樣的問題時，我們都可以讓學(xué)生畫出數(shù)軸，以原點為A地，規(guī)定向東為正，在數(shù)軸上畫出行走的路線，就可以清晰地看出最后到達(dá)的位置了.再比如這樣的問題：兩個人同時從A地出發(fā)同向或相向而行，若同向分別走了70m和100m，則兩人間的距離是多少？若相向走了30m和80m，則兩人間的距離是多少？我們也可以畫出數(shù)軸，從數(shù)軸上分析兩點間的距離，還可以進(jìn)一步思考數(shù)軸上兩點間的距離的表示方法，得到一個統(tǒng)一的方法.類似問題還有很多，雖然不借助數(shù)軸也可以解決，但數(shù)軸的使用使得問題變得更加形象和清晰，對于初學(xué)的學(xué)生來說更易于解決問題.

總之，數(shù)軸是我們初中學(xué)習(xí)的一個重要工具.學(xué)生剛進(jìn)入初中，對于抽象理解數(shù)學(xué)問題通常會覺得比較困難，有了數(shù)軸這一工具，往往可以幫助他們更好地理解數(shù)學(xué)問題，讓這些問題更直觀和形象，還可以聯(lián)系起前后的內(nèi)容.在教學(xué)中，教師應(yīng)該對這部分內(nèi)容給予足夠的重視，發(fā)揮數(shù)軸最大的作用.