帶彈性支撐多跨連續(xù)梁橋的車橋耦合演變隨機振動

葉 茂，張 鵬，傅繼陽，曹文斌，任 珉

（廣州大學廣州市結構安全與健康監(jiān)測重點實驗室／廣東高校結構安全與健康監(jiān)測工程技術研究中心，廣州 510006）

帶彈性支撐多跨連續(xù)梁橋的車橋耦合演變隨機振動

葉 茂，張 鵬，傅繼陽，曹文斌，任 珉

（廣州大學廣州市結構安全與健康監(jiān)測重點實驗室／廣東高校結構安全與健康監(jiān)測工程技術研究中心，廣州 510006）

以中間帶彈性支撐連續(xù)梁橋為研究對象，車輛簡化為兩自由度車輛移動系統，橋面不平度功率譜密度作為輸入，建立了車－彈性支撐連續(xù)梁橋的耦合力學分析模型。采用轉換矩陣法獲取連續(xù)梁橋的模態(tài)函數，結合狀態(tài)空間理論和演變隨機過程一般理論，給出了整個耦合系統演變隨機響應的分析方法，并結合數值算列，探討了跨中支座條件、橋梁截面抗彎剛度、彈性支撐位置、車輛運行速度及橋面平整度對車橋耦合系統隨機響應的影響。

動力響應彈性支撐；多跨連續(xù)梁；演變隨機響應；車橋系統；耦合振動

隨著科學技術的快速發(fā)展，車輛行駛速度越來越快，載重越來越大，但橋梁結構卻越來越柔，使得車橋耦合作用越來越明顯，對車橋耦合系統開展深入研究具有重要價值。車橋耦合系統的動力響應是一個十分復雜的問題，目前的研究主要集中在兩個方面：確定性響應分析和隨機響應分析。如在確定性響應研究方面，李奇等［1］建立了考慮車體柔性的車橋耦合系統力學模型；Neves等［2］提出一種車輛與結構相互作用的直接分析方法；Zhang等［3］基于有限元模型，介紹了一種車橋相互作用的不確定性動力分析方法；Wu等［4］考慮在地震作用下，列車與橋梁相互作用的不確定性動力分析。但是，對于車橋耦合系統而言，橋面或軌道不平度也是一個重要的誘因，往往不可忽略。從隨機振動角度出發(fā)，朱艷等［5］以簡支梁橋為例，對車橋響應的隨機性進行了分析；Li等［6］采用演變隨機過程的一般理論，分析了單個車輛在橋面行駛時耦合系統的隨機響應；葉茂等［7］考慮多個車輛行駛狀況，考察了多個車輛作用時耦合系統的隨機響應；張志超等［8－9］采用虛擬激勵法，分析了橋面不平順引起的車橋耦合系統隨機響應。

綜上所述，在進行車橋耦合系統分析時，特別是隨機響應分析，大多學者以簡支梁橋為研究對象，對于復雜連續(xù)梁橋的研究相對較少。為此，本文將以帶中間彈性支撐連續(xù)梁橋為研究對象，建立車－彈性支撐連續(xù)梁橋的耦合力學分析模型，系統研究橋面不平順誘發(fā)的車－橋耦合演變隨機振動。

1 運動方程的建立

中間帶彈性支撐連續(xù)梁橋模型如圖1所示，車輛為兩自由度模型。橋梁中間有k個豎向彈性支撐，剛度分別為S1，S2，…，Sk。y（x，t）、y1（t）和y2（t）分別為橋梁、車輛豎向位移響應。車在橋上的位置為ξ（t）。η（ξ）為橋面不平度值。根據達朗貝爾原理，車橋耦合系統的動力方程為：

式中：ρA為單位長度橋梁的質量，c為單位長度橋梁的阻尼系數，EI為彎曲剛度。

圖1 車橋耦合系統的力學模型Fig.1 Mechanicalmodel of a coupled vehicle-bridge system

1.1 連續(xù)梁的模態(tài)

對于單跨梁，其模態(tài)函數為：

φ（x）＝A sin ax＋B cos ax＋C sinh ax＋D cosh ax（2）式中：常數A，B，C，D決定梁振動的形狀和振幅，根據梁端的邊界條件確定。

對于本文所給連續(xù)梁模型，課題組已給出其模態(tài)函數的分析方法，即首先將連續(xù)梁分解成被k個彈性支撐分割的k＋1段單跨梁，通過彈性支撐處的變形協調條件和平衡條件，確定相鄰兩段梁積分常數的轉換關系式，最后根據邊界條件確定連續(xù)梁各階頻率ωn，并求得連續(xù)梁的各階模態(tài)函數，推導過程見文獻［10］。

根據模態(tài)分析法，梁變形Y（x，t）可寫成：

式中：φi（x）是連續(xù)梁橋的第i階模態(tài)，qi（t）是對應于第i階模態(tài)的正則坐標。

1.2 耦合振動方程

將式（3）代入式（1），利用模態(tài)函數關于質量和剛度的正交性，得如下微分方程組：

方程組（4）在時域內有n＋2個變量，令q＝［q1q2… qny1y2］T，可將方程組（4）寫成矩陣形式：

式中：M，C，K分別為耦合系統的質量、阻尼和剛度陣；f1（t）是車輛自重產生的確定性激勵，f2（t）是橋面不平順產生的隨機激勵，其表達式如下：

2 耦合方程求解

方程（6）的荷載項由兩部分組成，即確定性激勵與隨機激勵，二者之間相互獨立，可分別計算。耦合系統的總響應為兩者疊加。

式（6）中，令B2（t）＝0，則

u·＝A（t）u＋B1（t）（7）

式（7）用于計算由確定性荷載引發(fā)的耦合系統響應。在零初始條件下，其解為：

式中：Φ（t，z）為系統（7）的轉換矩陣。

對于時變系統，轉換矩陣的解析表達式難以獲得，一般采用數值方法求解。

式（6）中，令B1（t）＝0，則·u＝A（t）u＋B2（t）（9）

式（9）計算由橋面不平順引發(fā)的耦合系統響應，具有隨機性。橋面不平度η（ξ）是隨自變量ξ變化的零均值平穩(wěn)隨機過程，功率譜密度為S（ω）。設η（t）＝η［ξ（t）］，則η（t）的相關函數可表示為：

式中：ξ（t）為車輛在橋上的位置。當車輛變速行駛時，η（t）為非平穩(wěn)隨機過程。當車輛勻速行駛時，η（t）為平穩(wěn)隨機過程，令ξ＝νt，代入式（10）可得：

HT為H（ω，t）的共軛轉置矩陣。

對照式（8），從式（16）可看出，當ω為定值時，H（ω，t）就是零初始條件下，原系統在確定性激勵R（t）e－iωξ（t）作用下的響應。可以通過數值方法求解，如Runge-Kutta法。

由式（14）的結果，可得橋梁截面垂向位移均方值響應，即：

設Hi（ω，t）表示矩陣H（ω，t）第i行，式（15）可改寫為：

根據式（18），式（17）變?yōu)槿缦滦问剑?/p>

由此，得到橋梁截面位移演變功率譜密度函數為：

同樣可得車體質點的位移響應均方值：

相應的演變功率譜密度函數為：

整個系統總的響應為確定性響應與隨機響應的疊加。設：

式中：yid和χd分別表示確定性激勵B1（t）對車體位移和橋梁截面垂向位移的貢獻；yir和χr分別表示隨機激勵B2（t）對車體位移和橋梁截面垂向位移的貢獻。

由于η（t）為零均值隨機過程，因此u（t）也是零均值隨機過程。可以得到：

車體運動系統的廣義坐標值和梁截面垂向位移值總響應的均方值為：

對于車輛及梁截面速度及加速度，可以由同樣的方法求得相關值，這里不再贅述。

3 數值算例

橋梁分析參數選取文獻［11］中一個接近實際的例子，本文考慮等截面情況。具體參數為：彈性模量E＝30000N／mm2，橫截面積A＝2.82m2，密度ρ＝2400 kg／m3，截面慣性矩I＝1.7549m4，阻尼系數取c＝4631N·s／m。橋梁跨度如圖2所示的三跨連續(xù)梁，橋梁各跨長度分別為L1＝L3＝36m，L1＝48m。為表述方便，引進參數εi：梁豎向彎曲剛度和支承豎向剛度的比值，即：

本文取ε1＝ε2＝0.25，連續(xù)梁的前4階模態(tài)見圖3。車輛參數具體為：車體質點質量分別為m1＝12000 kg，m2＝500kg，車體剛度分別為k1＝190000N／m，k2＝480000N／m，阻尼，其中（阻尼比ζ＝ 0.1）。車速V＝40m／s。橋梁不平順η（ξ）為零均值隨機過程，根據“機械振動—道路路面譜測量數據報告”標準［12］和文獻［13］，采用下列橋面不平度功率譜密度函數在時域內的表達式：

式中：V表示車輛行駛速度，ω為圓頻率（rad／s），ω0為參考頻率，ω0＝2πn0V，n0為參考空間頻率，n0＝0.1 m－1；ω的取值范圍為［2πnminV，2πnmaxV］，其中n的取值范圍為nmin＝0.011，nmax＝2.83；本文采用A級橋面等級，則橋面平整度系數為Sr（n0）＝16×10－6m－3。

圖2 計算模型Fig.2 Calculationmodel

圖3連續(xù)梁的前4階模態(tài)Fig.3 The first fourmode shapes of continuous beams

圖4 車體m1的位移響應Fig.4 Displacement response of m1

圖5 耦合系統的響應Fig.5 Response of coupled-system

取ε1＝ε2＝ijf，即簡支梁，橋梁總長度L＝40 m，車速V＝20m／s，取文獻［6］采用的功率譜，其余參數也同文獻［6］。求得m1的位移響應如圖4，與文獻［6］的計算結果一致，驗證了本文計算程序的正確性。

車體m1和跨中位移（指橋梁中跨跨中位移，以下類同）在確定性激勵及隨機激勵作用下位移的確定性響應和均方根值響應如圖5所示，圖示表明：不論是車體還是橋梁跨中，位移的隨機響應均小于確定性響應，但與車體位移隨機響應相比，橋梁跨中位移的隨機響應要遠遠小于其確定性響應。

4 分析與討論

彈性支撐的剛度為零，即εi→inf時，此時，連續(xù)梁變?yōu)橐粋€單跨簡支梁；當εi＝2.5×10－1時，彈性支撐可以看作一個鉸支座［10］。其余參數不變，圖6給出了跨中支座條件為εi→inf、εi＝0.25、εi＝2.5×10－6時的計算結果。

圖6（a）結果表明，跨中支座條件對車體m1的位移均方根值并無明顯影響；但是，跨中支座條件對跨中位移的影響很大，見圖6（b），圖示表明：相比跨中無支撐和鉸支撐，跨中彈性支撐的跨中位移均方根值響應最小，說明對于連續(xù)梁，合理選擇中間支座剛度，可有效降低由于橋面平順造成的跨中位移隨機響應。

4.2 橋梁截面抗彎剛度的影響

改變橋梁截面抗彎剛度，其余參數不變，圖7與圖8給出車體m1與跨中位移受確定性激勵或隨機激勵時的變化規(guī)律，表明：對于跨中位移，不論是確定性響應還是隨機響應，橋梁截面抗彎剛度的影響十分明顯，隨著剛度的增大，跨中位移的響應顯著減小；對于車體m1的位移，車體位移的確定性響應隨著剛度的增大而減小，這與跨中位移確定性響應的變化規(guī)律一致，但是對于車體位移的隨機響應，圖7（b）清楚的表明橋梁截面抗彎剛度對其幾乎沒有影響，這與跨中位移隨機響應的變化規(guī)律完全不同，車體位移隨機響應的這一規(guī)律也可概括為：隨著橋梁截面抗彎剛度增大，車體位移隨機響應在總響應中所占比例會越來越高。

圖6 跨中支座條件的影響Fig.6 The effecton types ofmid－support

4.3 彈性支撐位置的影響

彈性支撐位置會影響到結構體系的基頻等本質屬性，對于系統隨機響應，這也是一個重要參數。本文連續(xù)梁為對稱結構，引入跨度比α＝L1／L2。橋梁總長L＝120 m，分別取α＝0.5、α＝0.75、α＝1.0，其余參數不變，計算結果見圖9。

不同跨度比時，車體m1位移的均方根值響應如圖9（a）所示，彈性支撐的位置對車體位移隨機響應幾乎沒有影響，這是由于改變彈性支撐位置，只是改變了連續(xù)梁的抗彎剛度，與4.2節(jié)橋梁截面抗彎剛度對車體位移隨機響應幾乎沒有影響的結論一致。圖9（b）給出的是橋梁跨中位移的隨機響應，表明跨度比對橋梁跨中位移隨機響應的影響沒有一個單調的規(guī)律，說明存在一個最優(yōu)跨度比，使橋梁跨中位移隨機響應最小。

由于管道容量的限制，加拿大西部石油精選價格（WCS）——即加拿大油砂在加拿大阿爾伯塔省哈迪斯市（Hardisty，albery）的交貨基準價格——與美國西德克薩斯輕質原油（WTI）的交易價格差距大幅擴大，近幾周WCS的價格低至20美元。

4.4 車速的影響

根據本文的理論推導，車輛行駛速度是影響耦合系統隨機振動的重要因素。其余參數不變，車速分別取20 m／s、40 m／s、60 m／s時的計算結果見圖10。

圖10（a）表明，當車速由20m／s增大至60m／s時，車體m1的位移均方根值有明顯的降低。圖10（b）所示為橋梁跨中位移均方根響應，當車速由20 m／s增大至60m／s時，相比車體m1位移均方根值響應，橋梁跨中位移均方根值下降更為明顯。綜合表明，耦合系統的位移隨機響應受車速影響明顯，且隨車速增大而減小。

圖7 橋梁截面抗彎剛度不同時車體m1的響應Fig.7 Response of m1with different bending stiffness

4.5 橋面平整度對系統隨機振動的影響

式（29）表明，橋面平整度作為耦合系統隨機響應的輸入，對耦合系統隨機振動有直接的影響，分別取三種橋面等級：

其余參數不變，計算結果如圖11所示。

圖11表明，不論是車體m1位移還是橋梁跨中位移，橋面等級對其影響十分顯著，當橋面等級從A級下降到C級時，車體與橋梁跨中位移的隨機響應會顯著增加。

5 結 論

以中間帶彈性支撐的連續(xù)梁橋為橋梁模型，建立了車－彈性支撐連續(xù)梁橋的耦合力學分析模型。整個耦合系統的總響應由瞬變的確定性部分及演變的隨機部分組成，兩部分相互獨立，其中將演變隨機響應的計算轉換為確定性激勵計算。主要結論如下：

圖8 橋梁截面抗彎剛度不同時橋梁中點的響應Fig.8 Displacementof bridge’midpointwith different bending stiffness

圖9 支座位置的影響Fig.9 The effect on location of elastic bearing

圖10 車速的影響Fig.10 The effecton vehicle velocity

圖11 橋面等級的影響Fig.11 The effect on bridge surface roughness

（1）對于橋梁跨中位移，其隨機響應要遠遠小于其確定性響應，跨中支座條件、橋梁截面抗彎剛、度彈性支撐位置、車速、橋面平整度對橋梁跨中位移的均方根值均有著顯著的影響。

（2）對于車體位移的隨機響應，跨中支座條件、橋梁截面抗彎剛度、彈性支撐位置（這個幾個參數均是改變橋梁結構的剛度）對其幾乎沒有影響，但是車速和橋面平整度對其影響顯著。

（3）對于連續(xù)梁，合理選擇中間支座剛度和跨度比，可有效降低橋梁跨中位移的隨機響應。

（4）耦合系統位移的隨機響應受車速和橋面等級影響明顯，隨車速增大而減小；隨橋面等級的降低而增加。

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Coupled vehicle-bridge evolutionary random vibration for a multi-span continuous bridge with elastic bearings

YE Mao，ZHANG Peng，FU Ji-yang，CAO Wen-bin，REN Min
（Guangzhou Key Lab for Engineering Structure Disaster Preventionand Controland Joint-Research Center for Structural Safety and Health Monitoring of Guangdong Universities，Guangzhou University，Guangzhou510006，China）

The random vibration of acoupled vehicle-bridge system under moving vehicular loads was studied.The bridge and vehicle were modeled as a continuous beam with elastic bearings，and a 2-DOF system with linear suspensions and tire flexibility，respectively.The power spectral density of the bridge surface irregularity was taken as an input.Modes of the continuous beam were obtained with the transfer matrix method.According to the state space theory and general theory of evolutionary random processes，the an alysis method for the random response of the coupled system was derived.The effects of conditions of mid-support，bending stiffness of bridge cross-section，location of elastic bearings，vehicle velocity，and bridge surface roughness on therandom response of the coupled vehicle-bridge system were discussed.

elastic bearing；multi-span continuous beam；evolutionary random response；vehicle-bridge system；coupled vibration

TU318

A

國家自然科學基金（51208125，51178126）；廣州市科技計劃項目（2013J2200074，11F102010004）

2012－11－22 修改稿收到日期：2013－06－14

葉 茂男，博士，助理研究員，1982年10月生