具有Crowley－Martin型功能反應的隨機捕食－被捕食系統的穩定性

劉顯清 鐘守銘 項麗江

(電子科技大學數學科學學院 四川成都 611731)

近年來，越來越多的學者致力于捕食－被捕食系統的研究。而捕食者的功能反應(即捕食者對被捕食者的平均消費率)是研究捕食－被捕食系統的一個重要概念。Crowley－Martin型功能反應是既依賴于被捕食者的密度，又依賴于捕食者的密度的一類功能反應。在以往的文獻中，大都對具有Crowley－Martin型功能反應的確定性模型的研究。另一方面，任何生態系統都不可避免地要受到環境噪聲的干擾。比如小到天敵捕食、生老病死、天氣的陰晴變化等，大到地震、洪水、火山爆發等。在某些實際情況下，用確定性模型對系統的行為所作的描述和預測并不總是令人滿意的。比如研究如何保護瀕危物種時，則完全不適宜用確定性的模型來研究。因此，

系統的隨機性不容忽視，對隨機捕食－被捕食系統的研究也越來越多［1－9］。這些文獻大都考慮了環境中白噪聲的干擾，模型中雖然有兩個噪聲源，但其耦合形式比較簡單。文獻［2］考慮了兩個噪聲源對兩種群都會有一定的影響。但文獻［2］只研究了系統的持久生存和滅絕性，而全局隨機漸近穩定性也是生態系統研究中的一個不可缺少的重要性質。基于以上背景，本文擬對如下模型進行研究:

其中，x和y分別表示被捕食者和捕食者的密度，bi為內稟增長率，aii，ci，σi，μi(i=1，2)都是正常數。Bi(t)為定義在完備的概率空間(Ω，F，P)上的Brown運動(i=1，2)為隨機干擾的強度。

1 準備工作

定義1 見文獻［10］，考慮n維隨機微分方程

若z*∈Rn滿足f(z*，t)=0，g(z*，t)=0，?t≥0 則z*稱為方程(2)的均衡態。

(1)系統(2)的均衡態z*稱為隨機穩定的(或依概率穩定的)，如果對任意給定的ε∈(0，1)，r＞0，存在 δ=δ(ε，r，t0)＞0，使得P{|z(t;t0，z0)－z*|＜r，?t≥t0}≥1－ε，其中|z0－z*|＜0。不然，此均衡態就稱為是隨機不穩定的。

(2)均衡態z*稱為隨機漸近穩定的，如果它是隨機穩定的，并且對任意給定的ε∈(0，1)，存在

引理1 見文獻［10］，如果存在正定的徑向無界函數V(x，t)∈C2，1(Rn×［t0，∞ ］;R+)，使得LV(x，t)是負定的，則方程(2)的均衡解x*是全局隨機漸近穩定的，其中:

為了簡便起見，我們引入如下記法:

2 主要結果

定理1 令:

如果:

以及:

則對任意給定的初值(x(0)，y(0))，模型(1)的解滿足:

證明:定義Liapunov函數V1(x)=x－x*－x*ln(x/x*)，V2(y)=y－y*－y*ln(y/y*)，其正定性可以從u－1－lnu≥0，u＞0看出。為了方便起見，記l(x，y)=1+αx+βy+αβxy。若(x(t)，y(t))∈R2+，運用 It公式，計算可得:

再由1+αx+βy+αβxy≥1得到:

易知d1/d2＞0。定義:

所以有:

3 數值模擬

下面將使用文獻［11］中給出的Milstein方法來模擬上面關于隨機捕食－被捕食系統(1)所得到的結果。考慮系統(1)相應的離散化系統:

其中，ξk和 ηk(k=1，2，…n)都是服從N(0，1)的Gauss隨機變量。

圖1 ====0的隨機捕食－被捕食系統Fig.1 Stochastic predator－ prey system for====0

圖2 ==0.1=0.13=0.15的隨機捕食－被捕食系統Fig.2 Stochastic predator－ prey sestem for= =0.1=0.13=0.15

圖3 =0.1=30=0.2=30的隨機捕食－被捕食系統Fig.3 Stochastic predator－ prey sestem for=0.1=30，=0.2=30

［1］LIU M，WANG K.Global stability of a nonlinear stochastic predator－prey system withBeddington－DeAngel is functional response［J］.Commun.Nonlinear Sci.Numer.Simulat，2011，(16):1114 －1121.

［2］LIU X Q，ZHONG SM，TIAN B D，et al.Asymptotic properties of a stochastic predato－rprey model with Crowley － Martin functional response［J］.Journal of Applied Mathematics and Computing， 2013，(43):479－490.

［3］LV J，WANG K.Asymptotic properties of a stochastic predator－prey system with Hollin－g II functional response［J］.Commun Nonlin － ear Sci Numer Simulat，2011，(16):4037 －4048.

［4］JIANG D Q，SHIN，LIX.Global stabilit－y and stochastic permanence of a non－autono－mous logistic equation with random perturba － tion［J］.JournalofMathematical Analysis and Applications， 2008， 340:588－597.

［5］LIU M，WANG K.Global asymptotic sta－bility ofa stochastic Lotka － Volterramodelwi－ th infinite delays［J］.Commun Nonlinear Sci Numer Simulat，2012，(17):3115－3123.

［6］LIU M，WANG K.On a stochastic logist－ic equation with impulsive perturbations［J］.Computers and Mathematics with Applica－tions，2012，(63):871 －886.

［7］LIU M，WANG K.Persistence and exti－nction in stochastic nonautonomous logistic systems［J］.Journal of Mathematical Analysis and Applications，2011，375:443－457.

［8］JIC，JIANG D Q，LIX.Qualitative ana－lysis of a stochastic ratiodependent predator－ prey system［J］.Journal of Computational and Applied Mathematics，2011，235:1326－1341.

［9］LIU X Q，ZHONG SM，ZHONG F L，et al.Properties of a stochastic predatorprey system with Holling II functional response［J］.Inter.J.Math.Sci.，2013，(7):73－79.

［10］MAO X.Stochastic Differential Equations and Applications［M］.Chichester，England:H － orwood Publishing，1997.

［11］HIGHAM D.An algorithmic introduction to numerical simulation of stochastic differentialequations［J］.SIAM Rev，2001，(43):525 －546.