若隱若現的梯形

白梅　曹軍

教育部于2011年12月28日正式公布了《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《課標（2011）》），標志著始于2005年6月、歷時6年半的課標修訂工作終于塵埃落定.《課標（2011）》與實驗稿課標相比，其中一個較大的變化就是在“內容標準”部分“第三學段（7～9年級）空間與圖形”中刪除了有關梯形的所有內容，而對第二學段（4～6年級）梯形的相關要求繼續保留.《課標（2011）》對于梯形的要求，給人以“若隱若現”的直覺感受.梯形在第三學階段該不該刪除，目前還存在不小的爭議，如文[1]就認為不該刪除.然而，筆者卻認為刪的好，理由如下：

1精中求簡，不宜過分追求嚴謹性與完整性

現如今的中學數學根本做不到完全嚴謹[2].數學邏輯學家羅素和懷特海要證1+1=2，使用了300頁，這樣的嚴謹性誰又能受得了？希爾伯特的《幾何基礎》是完全嚴謹的，可是大多數數學教師并不能做到這樣的嚴謹，我們只能做到局部嚴格，更別奢望學生能夠做到完全嚴格.其實數學活動不需要完全嚴格，我們研究數學，進行數學教學，從來不是在絕對嚴格的環境內進行的，不懂希爾伯特《幾何基礎》中的嚴密性，照樣可以教幾何.因此，中學里平面幾何的公理體系，當然不能使用極端嚴密的希爾伯特公理體系，也不可能使用原始的歐氏幾何體系.從全部教材的邏輯結構和具體內容看，總體上體現了公理化的解題思想，但就其公理系統而論，因為考慮到中學生接受能力和教材的精簡，所以對公理獨立性的要求不是那么嚴格，而且公理系統也不完備.因此，并不是“教材”都能做到嚴格，只是為了適應學生年齡，按照人們的需要，才故意降低嚴格程度.例如，平面幾何教材，從它的邏輯結構和具體內容來看，基本上沿用了歐氏的不完善的公理系統.但是，這樣做卻能夠減少初學者的困難，便于讓學生接受，從教學論的角度來看是有積極作用的.《課標（2011）》在第三學段刪除梯形的所有內容，并沒有改變現行平面幾何的公理系統，這也許是專家組在此處刪除梯形的主要原因之一.

2與時俱進，要分清基本要求和較高要求

隨著社會的進步、課改的深入，學時數大量減少.同時，未來公民所需要學習的知識卻在不斷膨脹、甚至爆炸.古希臘把幾何學作為高級知識分子學習的內容，而今天的幾何教育，則是為大眾服務的.教師只能在有限時間內讓學生掌握平面幾何的精髓.因此，在義務教育階段，21世紀中學平面幾何內容，一定會比20世紀的要少些.刪減一些內容勢在必行.當然，隨著時代的不斷變遷，適當增加或調整部分章節也是必然的，不必大驚小怪.

如上所述，對所有公民實行的幾何教育，主要是體會、了解理性思維的價值，提高思維水平.但是，平面幾何的價值不僅如此.一部分將來從事科學研究的知識分子，管理國家的決策人員，需要從事創造性工作的各行各業的精英，需要學習更多的平面知識，他們應該學的更加系統，更加深入，對公理化思想要有更深體會.為了解決這樣的問題，讓不同的人學習不同的幾何，在義務教育階段設置“平面幾何”的研究性學習，應是一個不錯的選擇.

3物極必反，不搞一刀切

實驗稿課標中“體會數學與自然及人類社會的密切聯系”，側重的是數學的現實應用，而《課標（2011）》把它修改為“體會數學知識之間、數學與其他學科之間、數學與生活之間的聯系，”側重的是數學知識的廣泛聯結，數學聯結的目的是從不同角度審視知識、賦予知識以現實背景，形成聯系豐富的知識模塊，使得知識節點具有深度和靈活性.

譬如，梯形在與其它數學（或其它學科）知識中應用非常廣泛，如“等腰梯形的同底底角相等、對角線相等”、“梯形的中位線與兩底平行且等于兩底長度和的一半”等等應用較多.如果再談到本部分問題解決的方法，恐怕“平移腰”、“補成三角形”、“過上底兩端點作下底垂線”是再經典不過的，它為解決很多其它問題的提供了較強的借鑒意義.當然，梯形也是現實生活中常見的基本圖形之一，現實生活中的很多問題都是梯形問題，如大堤或攔河大壩的切面、梯子、房頂、塔、汽車部件、倒車影像、墻壁裝飾圖案、馬路警示線、水渠、路燈等等，哪兒沒有梯形的影子？哪個不得用到梯形的知識？杜威說“教育即生活”，英國著名思想家懷特海在《教育的目的》一書中曾提出：“教育只有一個主題，那就是五彩繽紛的生活.”從這一點來說，梯形的學習很有現實意義，換句話說，不學習梯形不行！因此，雖然《課標（2011）》在第三學段刪除梯形的所有知識，但是從生活的實際需要教師也要對梯形做適當的研究，不能搞一刀切，不能因刪除而不講.事實上，這也是大部分人反對《課標（2011）》在第三學段刪除梯形的主要原因之一.

其實，《課標（2011）》對于梯形的要求在小學段（第二學段（7～9年級））仍然保留：通過觀察、操作認識梯形、探索梯形的面積公式.也就是說，學生通過小學段的學習，對梯形從形狀上講有了一個初步的認識（也會運用梯形的面積公式），在初中教材繼續出現并研究梯形也屬正常，而文[1]中所指：“以后初中的學生再不會學習到‘梯形的一點內容”是否過于偏激.

4改變觀念，正確理解《課標（2011）》提出的理念

人們在對四邊形進行分類時，依據邊、角的性質常把四邊形分成梯形（梯形中又分為直角梯形，……）、平行四邊形（平行四邊形中又包含矩形，……），而且這種分類在教師的心目中已經根深蒂固，幾十年的考試和教學經驗都已經告訴并彰顯了梯形是初中教材不可或缺的內容，《課標（2011）》在第三學段忽然刪除梯形的所有知識，當然會引起較大的反響.因此，從這種意義上說刪除梯形確實給初中數學教學帶來了一定的“不便”（也許為困惑）.

但仔細閱讀《課標（2011）》，筆者也欣喜的發現《課標（2011）》提出了“數學的基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗”，即“四基”概念；同時，《課標（2011）》在實驗稿課標“分析問題、解決問題”的基礎上增加了“發現問題、提出問題”，這樣就實現了“雙基”到“四基”、“兩能”到“四能”的變遷，體現了對學生創新意識與創新能力培養的要求.史寧中教授曾明確指出：“基本思想”可作為一門學科教學的主線或學科內容的詮釋架構和邏輯架構[3].學生通過平行四邊形的學習已經基本掌握了研究該問題的“基本思想”，學生利用所得的“基本思想”來研究新的知識（梯形），用舊的角度去觀察、研究新的問題，以此來培養學生的創新意識與創新能力.因此，《課標（2011）》在第三學段刪除梯形不僅沒有弱化梯形的學習，反而提出了更高的能力要求，事實是，每次的考試不都是對學生基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗的考查嗎？利用所學知識、技能不斷的解決新的問題.米山國藏說：“學生接受的數學知識……很快就忘掉了……唯有深深銘刻于頭腦中的數學的精神、數學的思想方法、數學研究的著眼點，卻隨時隨地發生作用，使他們受益終生.”

筆者寫到這里，有點恐惶，但想到以下，筆者又感到釋然.西南大學宋乃慶教授在一次培訓會上曾明確指出：爭鳴即是觀點上的對立，認識上的分歧以及在實踐中出現的反復，當前教育問題中存在的許多疑問的解決，……，爭鳴就顯得尤為重要，真理越辯越白，爭論越爭越清，爭鳴能把是非曲折弄清楚，并且作為一種總結、學習，能夠推動教學教育發展的同時為學術界注入活力，使得“百家爭鳴，百花齊放”.鑒于此，本文提出了一些不同意見，開展爭鳴，歡迎同行提出不同看法，進行商榷.

參考文獻

[1]董林，劉霞.梯形——我們呼喚你回來[J].中學數學教學，2013（2）：6～7.

[2]張奠宙，沈文選.中學幾何研究[M].北京：高等教育出版社，2006：56～57.

[3]史寧中，柳海民.素質教育的根本目的與實施路徑[J].教育研究，2007（8）：13.