平面幾何入門疑難分析與教學建議

張昆　張亞明　張永輝

在義務教育數學新課程設計理念的內涵中，平面幾何教育資源重在利用幾何直觀，生成空間觀念，實現推理能力，這構成了平面幾何教育價值的“三位一體”架構[1].從這里我們發現，這種價值體系不只是側重于形成平面幾何知識的使（實）用價值，其終結價值在于基于推理能力為發展學生的理性思維打下基礎.如何利用平面幾何課程資源促進受教育者理性思維能力的發展？這是平面幾何知識教學的首要目標，實現如此目標的關鍵在于認真審視學生思維方式適應平面幾何知識環節的要求，確定學生發生平面幾何知識疑難關節點.

1平面幾何入門疑難分析

由于生物種族性存活對動物的強制性要求，高等動物無不利用它所生活于其中的空間直觀性，發展起了空間觀念，而這種發展的結果，主要來源于種族性的繼承，后天經驗的貢獻其實極少.例如，老鷹抓野雞時，它精準的俯沖；猿猴在樹頭上的攀緣跳躍，需要對其達到目標承載物的準確判斷.都是在空間觀念的指導下精致地利用空間的性質，就可以充分地說明上述我們所提出的觀點.作為心智發展遠遠地超越于動物的人類，這種空間觀念也應該主要地源于基因遺傳.

喬姆斯基在《語言與心理》一書中解釋嬰幼兒母語的發生機制（一般智力正常的孩童在出生的兩周年之內就掌握了成人的大約70%左右的口語會話）時說，“今天肯定沒有什么理由去認真采用這樣一種立場，即把復雜的人類成就整個地歸因于幾個月（或至多是幾年）的經驗，而不是歸因于幾百萬年的演化，或歸因于可能更牢固地建立在自然法則基礎上的神經組織的諸原理.”[2]人類利用幾何直觀而生成的空間觀念與孩童語言獲得能力實質上具有異曲同工之妙.

我們可以作如此類推，人類憑借于自己種族的經驗已經將空間觀念在發生生命的起點處就被植入個體的神經系統.不過，這植入的空間觀念可能呈現為整體的形式，還是混沌一片、沒有分化，具有模糊而非精致性特點的.如此，它只能是從生物（追求生存）的本能上提供給我們，有利于我們的生存，也有利于我們的行事時的方便，僅此而已.試想，如果我們在日常生活中，每一個動作都要經過思維活動像平面幾何命題證明思路那樣才能安排好，那就肯定要遺失時機.在沒有必要做出重大決策的情況時，僅靠遺傳的直覺行動就足以應付各種需要，思維只是一種備而不用的東西[3].

我們可以得出結論：空間觀念源于兩方面：基因遺傳與孩童出生之初的不多的幾何直觀經驗.基于這樣地前提，我們發現，平面幾何知識是人類長期以來對我們所已經內化了的生存于其中的空間觀念的一種精致化的認識活動的結果.人們更加深刻地探索生活于其中的空間的主要目的有以下兩點：其一，為了更好地生存；其二，為了滿足人類自己對生活于其中的空間的迷戀的興趣.在這種對空間精致化的探究過程中，人們必定要從空間所呈現的表面現象中，獲得空間的致精致簡的本質.也可以如此說，將我們與生俱來的內在的混沌的空間觀念轉化為有條理、有秩序、可刻畫并且被他人理解的空間形式.

人類在探索空間，或者說是表達自己所擁有的內在空間觀念時，將這種空間觀念條分縷析，明經辨緯，經過了無數年積累，終于發展起來了（文字、圖形與符號）語言.起初，人們利用文字語言描繪的只是空間感覺的表象，比如，直的、圓的、方的，面積大的等等；又經過了許多年的發展與演化，人們認識到只對這些空間形式的表象的描述，還依然抓不住問題的本質，通過進一步努力，對相關的空間元素形成一義的、精確的概念.

這些概念的出現，本身是人類運用智力進行探究活動所得到的現實結果，又反過來為我們探究空間的本質提供了工具，配之以思維的邏輯，使人們的認識可以對相關的概念進行“去粗取精、去偽存真、由此及彼、由表及里的改造制作功夫，造成概念和理論的系統”[4]的方法，從而確保人類可以通過更為確定的基礎知識去認識新的、還有某些未知因素的等待確證的事實，它的原理是人類通過邏輯的中介，將已經證明的真命題（邏輯證明的定理，或長期經驗證明的公理）的真理性傳遞給我們需要辨別真偽的新命題，從而獲得新定理，這個新定理又構成了辨別更新的命題的基礎.

后來，古希臘的幾何巨匠歐幾里得將前人探索空間觀念所生成的平面幾何知識織就成了邏輯系統，在歷史上對數學的發展產生了巨大影響，奠定了整個數學學科用以邏輯表達追求真理的思想，構成了判斷探究數學活動所獲得結果的真偽的唯一標準（否定了經驗的標準），這是數學學科文化的最為重要的標志.平面幾何證明提供了表達前因后果關聯的一種范式，平面幾何證明的邏輯表達依據對材料的聯結與綜合過程具有一步一步、環環緊扣、嚴絲合縫的形式特征，從中產生了令人信服的力量，如此，將已知的真理傳遞到了未知問題情境中，將新情境中的真命題辨別出來，生成了新的真理.

由此分析，我們能夠深切地體會到，對于初中學生來說，在他們的心目中不缺乏那種模糊的、混沌的空間觀念，也就是說，所謂在接受義務教育的過程中，促使學生形成空間觀念的要求遠遠不是數學新課程專家所設想的那么困難，盡管“空間觀念”這個名詞看上去具有嚇人的面孔.事實上，空間觀念的實際內容已內存于我心，是人人都具有深刻體驗的，只不過不通過平面幾何知識的學習與磨練，他們目前還不能清晰地表達出來而已；因此，關于平面幾何空間觀念的疑難其實就轉化成如何運用語言表達這一觀念的疑難了.

平面幾何圖形直觀本身就是表達空間觀念的一種語言，更為重要的是它還構成了現實中將空間觀念外化為文字、符號語言表達的支架.但是，我們必須要清楚：平面幾何圖形的直觀并不是永遠呈現為客觀性的，它依賴于主觀知覺的觀念性框架.這是因為，首先，心理學已經證實，知覺具有大小、形狀、明暗與顏色恒常性，我們猜想，這與動物追求存活的本性不無關系；其次，由苛勒與卡夫卡為代表的德國格式塔學派認為，人在認知活動中需要把感知到的信息組織成有機的整體，在頭腦中構造成一種格式塔（或稱為完形）；再次，幾何直觀進入人的知覺后，經過語言表達出來，已經經過了抽象性的加工.例如：“大漠孤煙直，長河落日圓.”這里的“直”和“圓”就是舍棄了事物的具體特點，而具有了抽象性.

在幾何直觀、空間觀念與邏輯推理這三者之間的關系中，從終極源頭上看，幾何直觀是生成空間觀念與形成邏輯推理的基礎；空間觀念內含于意識結構中，可以使用多種形式將其外化（表達）出來，其中，經過歷史的選擇，人們特別看重邏輯推理的表達形式，至此，邏輯推理作為獲得數學結論的一種方法，形成了數學文化的核心內容.但是，需要特別說明的是，邏輯推理這一論題屬性的“語形”不可能游離于文字語言與圖形語言，邏輯推理是關于空間直觀的一種內在的某種秩序的精確表達，而這種秩序的發現卻需要猜測，“出色的猜測”可以幫助我們找到問題的答案或者空間觀念中的邏輯關系.

由此看到，平面幾何入門學習的最大疑難就在于如何幫助學生生成幾何語言以利于對內在空間觀念的表達，它至少需要文字語言、圖形語言與符號語言的相互轉化，才能構造出邏輯推理證明命題的“語形”范式.因此，在平面幾何入門教學時，教師必須要不遺余力地借助于平面幾何的圖形直觀，將學生已經擁有的（整體的、混沌的、模糊狀態）空間觀念用平面幾何語言表達出來.教師要清楚地理解初學幾何的學生的平面幾何語言（文字的、圖形的與符號的）發生與發展的心理邏輯的關鍵環節，才能提高教學的有效性.

2平面幾何入門教學建議

通過上述分析，我們發現了平面幾何入門學習的主要疑難就是促使學生生發幾何語言（文字的、圖形的與符號的），這就找到了平面幾何入門教學設計的著力點與關鍵環節，教師可以圍繞著這一難點投入力量.在教學設計時，我們應該有意識地、有側重地分解難點.它可以通過充分利用幾何圖形的直觀，充分利用學生學習代數學所獲得的經驗，充分利用學生清新好奇的心理品質，由此提高平面幾何入門教學效率.關于培養學生的幾何語言表達他們的空間觀念，教師在教學設計時，應該特別留心如下兩點：

2.1重視語言教學，強調閱讀與表達

幾何學習入門伊始，學生讀不懂課本內容（因為概念與專用詞太多，其中的一些與感覺有較大差別），弄不明白題意，分不清命題題設和結論，不會把幾何文字敘述改寫成數學符號形式的敘述，證明命題時缺乏表達能力，無從下手.其原因是沒有掌握幾何語言.因此，在平面幾何入門教學中，一方面要研究圖形直觀材料，發揮觀察、感知功能，另一方面又要研究語言形式，培養學生對幾何（符號的或圖形的）語言吸收與表達能力，直觀感知的是圖形形象集合，要表達直觀感知就必須要有幾何語言的集合.要有效地幫助學生建立這兩個集合之間的聯系，在教學中，教師注意以下幾點是相當重要的：

2.1.1利用教科書上的語言示范作用

引導學生在閱讀課本時，咬文嚼字，認真理解課本上所提供的語言涵義.幾何語言用詞大致可分為加以定義的實詞和不加定義的關聯詞，許多問題是出在學生的普通語義對幾何中有特殊含義的實詞不正確理解和忽略關聯詞上.

在互譯的練習中，要注意培養學生筆練與口練相結合，在課堂上可采取學生口頭敘述，教師把他的敘述經過加工進行板書，或者讓他們板演后再讓其口述，從而把兩者有機結合起來.口述中既要緊緊抓住關鍵字詞，又要鼓勵他們用自己的語言敘述，寓不變中有變.

2.1.3隨時做好句型歸納

教師課堂用語和板書要規范，使學生學有范例.如有關圖形術語，教師不能因為開始階段學習而不要求學生掌握，反之，開始階段的“規范性”示例對學生影響的重要性是無以復加的，教師在教學中對自己語言也不能降低“規范性”要求.只有在日常教學中，教師持之以恒地堅持用規范語言，日積月累、潛移默化地熏陶濡化的過程，學生他日在幾何語言習得與應用方面才能水到渠成、游刃有余.

2.1.4剖析平面幾何定義與命題結構，提高表達能力

對于幾何定義與命題結構分析可與漢語語詞的限制和修飾、語法結構分析結合起來.如：“把一條線段分成兩條相等線段的點叫做這條線段的中點.”可以引導學生對其語法結構分析，逐步把中心詞和修飾或限制中心詞的詞剝落出來.雖然，新課標理念強調淡化形式，但對基本概念準確把握，卻依然是今后學習推理的重要基礎，否則，大量經驗表明，精確的幾何語言體系不建立起來，隨著課程的進展，學生的幾何學習將要付出極大代價.通過命題語義結構分析，可以把隱含在語義之中的一些直觀要素轉化為圖形直觀，或符號表達，如對一個具體的命題借助于圖形直觀，將已知條件與要證明的結論從語義結構中析取出來.

語言是思維的外殼，是交流的工具，是信息的載體.由前面的具體分析，已經知道，學生不缺乏空間觀念，利用圖形直觀也是可以比較容易辦到的，生成語言表達是平面幾何入門學習的結構性疑難.越過平面幾何語言學習難關，是學好平面幾何基礎中的基礎.在語言教學上，教師必須要舍得花大力氣，引導學生點滴積累，也要講究方法，有耐心、不厭其煩地通過教師的示范性用詞引導學生一步步把他們生活語言改造成規范的幾何語言，唯有如此，才能在學生思維結構中建立起平面幾何知識結構大廈.

2.2重視培養學生生成邏輯推理“語形”

平面幾何命題推理論證證明是利用其資源培養理性思維的最為重要的環節，推理論證也是平面幾何入門教學上的絕對難點，在沒有真正地進入分析命題證明思路的平面幾何入門教學時，幫助學生建立幾何推理環節的“語形”，會為推理論證入門打下基礎.在2011年版修訂的課程標準中，定理的證明得到了相應相稱地加強，因為這是平面幾何教育價值的最為重要的地方.為了解決這一難點，教師應善于抓住數學（包括代數學和幾何學）教學中的適宜材料，及早滲透邏輯推理“語形”訓練.

2.2.1在代數學教學中滲透邏輯推理“語形”訓練

在初一解一元一次方程時，由等式性質生成了解方程的基礎——“同解原理”，由此生成了解一元一次方程的程序指令：去括號；去分母；移項；合并同類項；系數化為1.有了這一套程序指令后，學生在解方程時便將奠基行動指令的“同解原理”拋到九霄云外，盡管執行指令數百次地解方程.在這種情況下，教師應該選擇一定的典型的解方程例子使用“同解原理”再生成指令，“同解原理”構成上述指令的原因.學生長期地只運用指令而不管指令產生的原因，對形成平面幾何邏輯推理“語形”帶來負面影響.因此，教師在解一元一次方程時，有意識地進行事出有因的訓練，會對平面幾何推理入門帶來較好的教學效果.

這要求教師在整體的數學教學中要整體布局、統籌兼顧，因為，在代數中不需要如此的“語形”表達，但是，如果教師精心地處理好，不放過滲透邏輯推理“語形”訓練的機會，就可以使學生在學習平面幾何課程之前，便可獲得平面幾何推理論證意識和表達簡單推理的“語形”形式.可以在引導學生探索幾何型邏輯推理論證中滲透代數型邏輯思維的方法，通過類比、對比、比較以及教師的適當說明，讓他們發現平面幾何中所要求表達推理的“語形”形式，其實早在學習代數時就已經見過面了，只是那時我們沒有仔細按照邏輯推理形式（“語形”）進行必要的表達而已.

邏輯推理“語形”形式可以理解為代數學思維本質的新面孔罷了.在學生思維結構中已有熟悉材料總是可以幫助他們在學習幾何邏輯思維形式時產生“共鳴的”，把他們潛藏在思想中那種邏輯結構本質要義通過層層剝筍的改造加工制作，形成他們幾何邏輯推理結構模式，這樣真正能夠提升他們邏輯思維能力.因為，學生能力提升總是在吸收外界材料，不間斷地改造他們思維“格局”（皮亞杰語）過程中，使內外材料之間互相關聯、互相作用驅使學生可塑性思維結構不斷得到優化[5].在這種優化進程中，學生對幾何推理論證思維結構不斷形成，也就是說他們對于幾何推理論證思維變得越來越容易接受.

2.2.2在說理教學中滲透邏輯推理“語形”訓練

在說理階段，不失時機地這樣進行邏輯推理訓練，不僅能使學生對幾何圖形性質產生更深刻理解，而且有效地利用了數學教育材料資源，使他們初步了解幾何邏輯說理方式與模型.為今后進行嚴格的邏輯推理證明打下基礎.學生學習平面幾何起始階段，教師通過滲透的方法，為平面幾何推理論證做好“架橋鋪路”的準備工作，學生對嚴格的邏輯推理論證學習就不會感到突兀和艱難了，為他們學習定理、習題推理論證奠定了良好的基礎.當然，學生平面幾何除了語言疑難之外，還有探索證明思路難，后者不是平面幾何入門學習時的疑難，而是幾何學習“升造”時的疑難，我們將另有表述，請注意本刊后繼的文字.

參考文獻

[1]中華人民共和國教育部制定.義務教育數學課程標準（2011年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2012：6.

[2][美]諾姆·喬姆斯基.語言與心理[M].姚小平，譯.北京：華夏出版社，1999：7.

[3][美]威廉·卡爾文.大腦如何思維——智力演化的今昔[M].楊雄里，梁培基，譯.上海：上海科學技術出版社，1996：14-15.

[4]毛澤東.毛澤東選集（第一卷）[M].北京：人民出版社，1991：282.

[5]曹一鳴，賀晨.初中數學課堂師生互動行為主體類型研究：基于LPS項目課程錄像資料[J].數學教育學報，2009（10）：40.

這要求教師在整體的數學教學中要整體布局、統籌兼顧，因為，在代數中不需要如此的“語形”表達，但是，如果教師精心地處理好，不放過滲透邏輯推理“語形”訓練的機會，就可以使學生在學習平面幾何課程之前，便可獲得平面幾何推理論證意識和表達簡單推理的“語形”形式.可以在引導學生探索幾何型邏輯推理論證中滲透代數型邏輯思維的方法，通過類比、對比、比較以及教師的適當說明，讓他們發現平面幾何中所要求表達推理的“語形”形式，其實早在學習代數時就已經見過面了，只是那時我們沒有仔細按照邏輯推理形式（“語形”）進行必要的表達而已.

邏輯推理“語形”形式可以理解為代數學思維本質的新面孔罷了.在學生思維結構中已有熟悉材料總是可以幫助他們在學習幾何邏輯思維形式時產生“共鳴的”，把他們潛藏在思想中那種邏輯結構本質要義通過層層剝筍的改造加工制作，形成他們幾何邏輯推理結構模式，這樣真正能夠提升他們邏輯思維能力.因為，學生能力提升總是在吸收外界材料，不間斷地改造他們思維“格局”（皮亞杰語）過程中，使內外材料之間互相關聯、互相作用驅使學生可塑性思維結構不斷得到優化[5].在這種優化進程中，學生對幾何推理論證思維結構不斷形成，也就是說他們對于幾何推理論證思維變得越來越容易接受.

2.2.2在說理教學中滲透邏輯推理“語形”訓練

在說理階段，不失時機地這樣進行邏輯推理訓練，不僅能使學生對幾何圖形性質產生更深刻理解，而且有效地利用了數學教育材料資源，使他們初步了解幾何邏輯說理方式與模型.為今后進行嚴格的邏輯推理證明打下基礎.學生學習平面幾何起始階段，教師通過滲透的方法，為平面幾何推理論證做好“架橋鋪路”的準備工作，學生對嚴格的邏輯推理論證學習就不會感到突兀和艱難了，為他們學習定理、習題推理論證奠定了良好的基礎.當然，學生平面幾何除了語言疑難之外，還有探索證明思路難，后者不是平面幾何入門學習時的疑難，而是幾何學習“升造”時的疑難，我們將另有表述，請注意本刊后繼的文字.

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[5]曹一鳴，賀晨.初中數學課堂師生互動行為主體類型研究：基于LPS項目課程錄像資料[J].數學教育學報，2009（10）：40.

這要求教師在整體的數學教學中要整體布局、統籌兼顧，因為，在代數中不需要如此的“語形”表達，但是，如果教師精心地處理好，不放過滲透邏輯推理“語形”訓練的機會，就可以使學生在學習平面幾何課程之前，便可獲得平面幾何推理論證意識和表達簡單推理的“語形”形式.可以在引導學生探索幾何型邏輯推理論證中滲透代數型邏輯思維的方法，通過類比、對比、比較以及教師的適當說明，讓他們發現平面幾何中所要求表達推理的“語形”形式，其實早在學習代數時就已經見過面了，只是那時我們沒有仔細按照邏輯推理形式（“語形”）進行必要的表達而已.

邏輯推理“語形”形式可以理解為代數學思維本質的新面孔罷了.在學生思維結構中已有熟悉材料總是可以幫助他們在學習幾何邏輯思維形式時產生“共鳴的”，把他們潛藏在思想中那種邏輯結構本質要義通過層層剝筍的改造加工制作，形成他們幾何邏輯推理結構模式，這樣真正能夠提升他們邏輯思維能力.因為，學生能力提升總是在吸收外界材料，不間斷地改造他們思維“格局”（皮亞杰語）過程中，使內外材料之間互相關聯、互相作用驅使學生可塑性思維結構不斷得到優化[5].在這種優化進程中，學生對幾何推理論證思維結構不斷形成，也就是說他們對于幾何推理論證思維變得越來越容易接受.

2.2.2在說理教學中滲透邏輯推理“語形”訓練

在說理階段，不失時機地這樣進行邏輯推理訓練，不僅能使學生對幾何圖形性質產生更深刻理解，而且有效地利用了數學教育材料資源，使他們初步了解幾何邏輯說理方式與模型.為今后進行嚴格的邏輯推理證明打下基礎.學生學習平面幾何起始階段，教師通過滲透的方法，為平面幾何推理論證做好“架橋鋪路”的準備工作，學生對嚴格的邏輯推理論證學習就不會感到突兀和艱難了，為他們學習定理、習題推理論證奠定了良好的基礎.當然，學生平面幾何除了語言疑難之外，還有探索證明思路難，后者不是平面幾何入門學習時的疑難，而是幾何學習“升造”時的疑難，我們將另有表述，請注意本刊后繼的文字.

參考文獻

[1]中華人民共和國教育部制定.義務教育數學課程標準（2011年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2012：6.

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[5]曹一鳴，賀晨.初中數學課堂師生互動行為主體類型研究：基于LPS項目課程錄像資料[J].數學教育學報，2009（10）：40.