“圖形變換”應關注數學思想方法的滲透

《上海市中小學數學課程標準（試行稿）》明確規定了“圖形的運動”的教學內容和要求.教材中“圖形運動”的本質是幾何變換，例如，翻折運動、旋轉運動、中心對稱運動和平移運動，在本質上分別是軸對稱變換、旋轉變換、中心對稱變換和平移變換.教學要求是“在豐富實例的背景下，在觀察、操作的活動中，發現和歸納圖形的平移、翻轉、旋轉等運動各自的基本特征和它們保持圖形的形狀大小不變的共性，學習和總結平行線、軸對稱圖形、旋轉對稱圖形的有關知識.充分利用計算機和多媒體技術，展示圖形的運動和變化.初步體會圖形變換的思想，初步形成動態地研究圖形的意識.”[1]課改以來，這部分內容受到普遍重視，已成為中考中的熱點、難點.但教學實踐中，教師們普遍關注通過變換進行解題研究，且在解題教學中，存在“為變而變”、人為制造難點的傾向.忽略或淡化了蘊含在圖形運動背后的數學思想，如轉化思想、不變量思想、對稱思想等.本文以圖形旋轉變換為例，闡述對這部分內容的認識和實踐.

1通過圖形變換，引導學生體驗轉化的解題思想

“轉化”是幾何變換一個重要思想.這里的“轉化”是指將圖形進行變換，實現圖形位置的轉化，把一般情形轉化為特殊情形，使問題化難為易.它是一種以變化的、運動的觀點來處理孤立的、離散問題的思想.

例如，我們常常通過三角形全等來證明線段和角相等，然而在圖形中并不剛好總有合適的全等三角形，因此構造合適的全等三角形，常常成為添加輔助線的考慮目標.怎樣才能構造出圖1合適的全等三角形呢？我們可以用運動的觀點來考慮[2].

所以，P是到三個頂點距離之和最小的點.

這個例子告訴我們，通過圖形的旋轉，可以幫助我們構造出合適的全等三角形.那么為什么借助圖形旋轉能有效求解？從教學的角度來看，這才是教學的核心和根本.所以問題解決之后，教師要善于引導學生把題目所隱含的數學內容的實質揭示出來.

本題欲證PA+PB+PC為最小值，而這三條線段位于三個不同的三角形中，一個自然的想法就是能否將這三條線段首位相接.上述方法，將“將△APC繞點C順時針方向旋轉60°”就可以將“PA”搬到“P1E”的位置，將“PC”搬到“PP1”位置.由此可見，使用圖形旋轉的方法，不僅實現了線段的位置轉化，而且同時實現了線段的位置重組，把原本分散的條件集中到一條線段，然后運用極端原理找出問題解決的辦法.

上述問題說明，在幾何問題解決中，常常需要搬動圖形（角、線段、三角形等），實現了線段或角的位置的轉化和重組，把原本分散的條件集中到一條線段或一個三角形中，而旋轉是搬動圖形最常用的方法之一，特別是當圖形中有等腰三角形，正三角形或正方形時，更為旋轉提供了方便的條件.例如，對于等腰三角形，把一腰繞頂點旋轉頂角這么大的角度，就可與另一腰重合；對于正三角形，把一邊繞該邊的一個端點旋轉60°，就可與它的鄰邊重合；對于正方形，則需旋轉90°.在上述這些旋轉下，與被旋轉的線段相連的有關圖形，例如某個三角形，也跟隨一起旋轉，即可得到一個與之全等的三角形，可見運用旋轉可以幫助我們構造出合適的全等三角形.

2通過圖形變換，引導學生發現“變中不變”規律

“變中不變”是幾何變換的基本思想之一，這里的“變”通常是指圖形的位置有規則的發生“變”化，“不變”是指（圖形）經過變換后不改變的性質和量，也稱為不變量思想.“變中不變”是動態幾何的精髓.

教學中，我們通常結合圖形運動變換的定義和性質的教學，讓學生在經歷各種圖形運動的過程中，理解圖形的形狀和大小的不變性.進而體會圖形變換的基本性質，如圖形旋轉過程中，圖形中每一個點都繞著旋轉中心旋轉了同樣大小的角度，對應點到旋轉中心的距離相等，對應線段、對應角都相等，圖形的形狀、大小都不發生變化.

上述證明過程不僅適用于特殊情況的證明，而且可以適用于一般情況的證明（如圖5），△CEM是等腰直角三角形，揭示了規律背后的本質.

上述例子告訴我們，通過圖形的運動變換，不僅可以引導學生發現“變中不變”的結論，而且可以發現“變中不變”的解題方法，進而提高學生動態思維的能力，學會用運動的觀點去觀察、分析、猜想、驗證圖形的位置關系和數量關系.讓學生在經歷各種圖形運動的過程中，能夠形成動態研究圖形的意識.在教學中，教師與其尋找、編造不同花樣的題目，不如深入研究例習題特征，有目的引導學生進行變式、拓展、探究，深入挖掘其中潛在的數學思想方法，揭示其內在的本質和規律.

3通過圖形變換，引導學生用運動的觀點認識圖形的對稱性

對稱是一種重要的數學思想方法.“對稱”狹義理解通常指圖形或物體對某個點、直線或平面而言，在大小、形狀和排列上具有一一對應關系.自然界中有許許多多的事物都具有絢麗多彩的對稱性，它是自然美的直接展示.在幾何圖形中，大量幾何圖形也都有鮮明的對稱性，如軸自對稱圖形、中心自對稱圖形、旋轉自對稱圖形等，同樣給人以美的直觀的享受.而作為一種數學思想，“對稱”的內涵要豐富得多.在幾何“識圖”中，知道圖形“一半”的性質，就能知道圖形“另一半”的性質.在數學解題中，平等的條件及元素在思考過程中應當平等對待，并且由此及彼，已知條件中“對稱”的元素在結果的表達式中也應當對稱.也即數學對稱常常給我們帶來事半功倍的愉悅，事半功倍才是數學上對稱美的本質[4].

對稱思想在數學里運用非常廣泛.在初中幾何學習中，我們常常會遇到一些對稱問題，如幾何里的中心對稱、軸對稱等，教學中，引導學生用對稱的觀點去觀察，有助于從整體上把握圖形對稱的結構，認識圖形的性質.

例如，平行四邊形的性質教學，教材給出的性質有（1）平行四邊形的對邊相等；（2）平行四邊形的對角相等；（3）平行四邊形的對角線相互平分；（4）平行四邊形是中心對稱圖形，對稱中心是對角線的交點.性質（1）（2）（3）反映的是圖形“局部”特征，靜態特征，性質（4）反應的是圖形的“整體”特征，“動態”特征，它“統領”其他性質，有了中心對稱的思想，對邊相等、對角相等、對角線相互平分就成了對稱圖形對應線段、對應角相等的具體體現.而且在此基礎上，還可以發現更為一般的性質，經過對稱中心的任意直線EF將圖形分為關于“O”點對稱的兩個部分（如圖7），對角線是其特殊情況.這樣，通過旋轉對稱（中心對稱），可以對平行四邊形的性質有更深刻的認識.

對稱思想在函數的學習中，同樣有重要的地位和作用.研究函數的形態，往往要研究圖象的形狀、大小和對稱性.同一函數圖象，根據對稱性（軸對稱或旋轉對稱），往往會事半功倍，只要知道一半的性質，就能知道另一半的性質；而形狀、大小完全相同、只有位置不同的兩個函數圖象，由于可通過平移、旋轉等運動達到重合，因而可由一個函數的解析式確定另一個函數的解析式.

由此可見，這種運動變化的思想體現在幾何教學中，不僅可以把原來靜止的圖形能看成運動變化的結果，而且，用對稱的思想認識圖形，為學習帶來事半功倍的效果.

值得注意的是，教學中，教師要善于選擇典型的“例子”說明旋轉變換的教學意義，使學生真正認識到圖形運動變換是認識圖形、探索規律、解決問題的有力工具，而不是絞盡腦汁制造繁、難、偏、怪的問題，徒然增加學生的負擔.

參考文獻

[1]上海市教育委員會.上海市中小學數學課程標準（試行稿）[M].上海：上海教育出版社，2004.12.

[2]王敬庚.幾何變換漫談[M].長沙：湖南教育出版社長沙，2000.06.

[3]吳華，周玉霄.變易理論驅動下的動態幾何“變中不變”[J].數學教育學報，2010（12）.

[4]潘勇.教學反思重在過程，貴在深刻[J].數學通報，2012（07）.

《上海市中小學數學課程標準（試行稿）》明確規定了“圖形的運動”的教學內容和要求.教材中“圖形運動”的本質是幾何變換，例如，翻折運動、旋轉運動、中心對稱運動和平移運動，在本質上分別是軸對稱變換、旋轉變換、中心對稱變換和平移變換.教學要求是“在豐富實例的背景下，在觀察、操作的活動中，發現和歸納圖形的平移、翻轉、旋轉等運動各自的基本特征和它們保持圖形的形狀大小不變的共性，學習和總結平行線、軸對稱圖形、旋轉對稱圖形的有關知識.充分利用計算機和多媒體技術，展示圖形的運動和變化.初步體會圖形變換的思想，初步形成動態地研究圖形的意識.”[1]課改以來，這部分內容受到普遍重視，已成為中考中的熱點、難點.但教學實踐中，教師們普遍關注通過變換進行解題研究，且在解題教學中，存在“為變而變”、人為制造難點的傾向.忽略或淡化了蘊含在圖形運動背后的數學思想，如轉化思想、不變量思想、對稱思想等.本文以圖形旋轉變換為例，闡述對這部分內容的認識和實踐.

1通過圖形變換，引導學生體驗轉化的解題思想

“轉化”是幾何變換一個重要思想.這里的“轉化”是指將圖形進行變換，實現圖形位置的轉化，把一般情形轉化為特殊情形，使問題化難為易.它是一種以變化的、運動的觀點來處理孤立的、離散問題的思想.

例如，我們常常通過三角形全等來證明線段和角相等，然而在圖形中并不剛好總有合適的全等三角形，因此構造合適的全等三角形，常常成為添加輔助線的考慮目標.怎樣才能構造出圖1合適的全等三角形呢？我們可以用運動的觀點來考慮[2].

所以，P是到三個頂點距離之和最小的點.

這個例子告訴我們，通過圖形的旋轉，可以幫助我們構造出合適的全等三角形.那么為什么借助圖形旋轉能有效求解？從教學的角度來看，這才是教學的核心和根本.所以問題解決之后，教師要善于引導學生把題目所隱含的數學內容的實質揭示出來.

本題欲證PA+PB+PC為最小值，而這三條線段位于三個不同的三角形中，一個自然的想法就是能否將這三條線段首位相接.上述方法，將“將△APC繞點C順時針方向旋轉60°”就可以將“PA”搬到“P1E”的位置，將“PC”搬到“PP1”位置.由此可見，使用圖形旋轉的方法，不僅實現了線段的位置轉化，而且同時實現了線段的位置重組，把原本分散的條件集中到一條線段，然后運用極端原理找出問題解決的辦法.

上述問題說明，在幾何問題解決中，常常需要搬動圖形（角、線段、三角形等），實現了線段或角的位置的轉化和重組，把原本分散的條件集中到一條線段或一個三角形中，而旋轉是搬動圖形最常用的方法之一，特別是當圖形中有等腰三角形，正三角形或正方形時，更為旋轉提供了方便的條件.例如，對于等腰三角形，把一腰繞頂點旋轉頂角這么大的角度，就可與另一腰重合；對于正三角形，把一邊繞該邊的一個端點旋轉60°，就可與它的鄰邊重合；對于正方形，則需旋轉90°.在上述這些旋轉下，與被旋轉的線段相連的有關圖形，例如某個三角形，也跟隨一起旋轉，即可得到一個與之全等的三角形，可見運用旋轉可以幫助我們構造出合適的全等三角形.

2通過圖形變換，引導學生發現“變中不變”規律

“變中不變”是幾何變換的基本思想之一，這里的“變”通常是指圖形的位置有規則的發生“變”化，“不變”是指（圖形）經過變換后不改變的性質和量，也稱為不變量思想.“變中不變”是動態幾何的精髓.

教學中，我們通常結合圖形運動變換的定義和性質的教學，讓學生在經歷各種圖形運動的過程中，理解圖形的形狀和大小的不變性.進而體會圖形變換的基本性質，如圖形旋轉過程中，圖形中每一個點都繞著旋轉中心旋轉了同樣大小的角度，對應點到旋轉中心的距離相等，對應線段、對應角都相等，圖形的形狀、大小都不發生變化.

上述證明過程不僅適用于特殊情況的證明，而且可以適用于一般情況的證明（如圖5），△CEM是等腰直角三角形，揭示了規律背后的本質.

上述例子告訴我們，通過圖形的運動變換，不僅可以引導學生發現“變中不變”的結論，而且可以發現“變中不變”的解題方法，進而提高學生動態思維的能力，學會用運動的觀點去觀察、分析、猜想、驗證圖形的位置關系和數量關系.讓學生在經歷各種圖形運動的過程中，能夠形成動態研究圖形的意識.在教學中，教師與其尋找、編造不同花樣的題目，不如深入研究例習題特征，有目的引導學生進行變式、拓展、探究，深入挖掘其中潛在的數學思想方法，揭示其內在的本質和規律.

3通過圖形變換，引導學生用運動的觀點認識圖形的對稱性

對稱是一種重要的數學思想方法.“對稱”狹義理解通常指圖形或物體對某個點、直線或平面而言，在大小、形狀和排列上具有一一對應關系.自然界中有許許多多的事物都具有絢麗多彩的對稱性，它是自然美的直接展示.在幾何圖形中，大量幾何圖形也都有鮮明的對稱性，如軸自對稱圖形、中心自對稱圖形、旋轉自對稱圖形等，同樣給人以美的直觀的享受.而作為一種數學思想，“對稱”的內涵要豐富得多.在幾何“識圖”中，知道圖形“一半”的性質，就能知道圖形“另一半”的性質.在數學解題中，平等的條件及元素在思考過程中應當平等對待，并且由此及彼，已知條件中“對稱”的元素在結果的表達式中也應當對稱.也即數學對稱常常給我們帶來事半功倍的愉悅，事半功倍才是數學上對稱美的本質[4].

對稱思想在數學里運用非常廣泛.在初中幾何學習中，我們常常會遇到一些對稱問題，如幾何里的中心對稱、軸對稱等，教學中，引導學生用對稱的觀點去觀察，有助于從整體上把握圖形對稱的結構，認識圖形的性質.

例如，平行四邊形的性質教學，教材給出的性質有（1）平行四邊形的對邊相等；（2）平行四邊形的對角相等；（3）平行四邊形的對角線相互平分；（4）平行四邊形是中心對稱圖形，對稱中心是對角線的交點.性質（1）（2）（3）反映的是圖形“局部”特征，靜態特征，性質（4）反應的是圖形的“整體”特征，“動態”特征，它“統領”其他性質，有了中心對稱的思想，對邊相等、對角相等、對角線相互平分就成了對稱圖形對應線段、對應角相等的具體體現.而且在此基礎上，還可以發現更為一般的性質，經過對稱中心的任意直線EF將圖形分為關于“O”點對稱的兩個部分（如圖7），對角線是其特殊情況.這樣，通過旋轉對稱（中心對稱），可以對平行四邊形的性質有更深刻的認識.

對稱思想在函數的學習中，同樣有重要的地位和作用.研究函數的形態，往往要研究圖象的形狀、大小和對稱性.同一函數圖象，根據對稱性（軸對稱或旋轉對稱），往往會事半功倍，只要知道一半的性質，就能知道另一半的性質；而形狀、大小完全相同、只有位置不同的兩個函數圖象，由于可通過平移、旋轉等運動達到重合，因而可由一個函數的解析式確定另一個函數的解析式.

由此可見，這種運動變化的思想體現在幾何教學中，不僅可以把原來靜止的圖形能看成運動變化的結果，而且，用對稱的思想認識圖形，為學習帶來事半功倍的效果.

值得注意的是，教學中，教師要善于選擇典型的“例子”說明旋轉變換的教學意義，使學生真正認識到圖形運動變換是認識圖形、探索規律、解決問題的有力工具，而不是絞盡腦汁制造繁、難、偏、怪的問題，徒然增加學生的負擔.

參考文獻

[1]上海市教育委員會.上海市中小學數學課程標準（試行稿）[M].上海：上海教育出版社，2004.12.

[2]王敬庚.幾何變換漫談[M].長沙：湖南教育出版社長沙，2000.06.

[3]吳華，周玉霄.變易理論驅動下的動態幾何“變中不變”[J].數學教育學報，2010（12）.

[4]潘勇.教學反思重在過程，貴在深刻[J].數學通報，2012（07）.

《上海市中小學數學課程標準（試行稿）》明確規定了“圖形的運動”的教學內容和要求.教材中“圖形運動”的本質是幾何變換，例如，翻折運動、旋轉運動、中心對稱運動和平移運動，在本質上分別是軸對稱變換、旋轉變換、中心對稱變換和平移變換.教學要求是“在豐富實例的背景下，在觀察、操作的活動中，發現和歸納圖形的平移、翻轉、旋轉等運動各自的基本特征和它們保持圖形的形狀大小不變的共性，學習和總結平行線、軸對稱圖形、旋轉對稱圖形的有關知識.充分利用計算機和多媒體技術，展示圖形的運動和變化.初步體會圖形變換的思想，初步形成動態地研究圖形的意識.”[1]課改以來，這部分內容受到普遍重視，已成為中考中的熱點、難點.但教學實踐中，教師們普遍關注通過變換進行解題研究，且在解題教學中，存在“為變而變”、人為制造難點的傾向.忽略或淡化了蘊含在圖形運動背后的數學思想，如轉化思想、不變量思想、對稱思想等.本文以圖形旋轉變換為例，闡述對這部分內容的認識和實踐.

1通過圖形變換，引導學生體驗轉化的解題思想

“轉化”是幾何變換一個重要思想.這里的“轉化”是指將圖形進行變換，實現圖形位置的轉化，把一般情形轉化為特殊情形，使問題化難為易.它是一種以變化的、運動的觀點來處理孤立的、離散問題的思想.

例如，我們常常通過三角形全等來證明線段和角相等，然而在圖形中并不剛好總有合適的全等三角形，因此構造合適的全等三角形，常常成為添加輔助線的考慮目標.怎樣才能構造出圖1合適的全等三角形呢？我們可以用運動的觀點來考慮[2].

所以，P是到三個頂點距離之和最小的點.

這個例子告訴我們，通過圖形的旋轉，可以幫助我們構造出合適的全等三角形.那么為什么借助圖形旋轉能有效求解？從教學的角度來看，這才是教學的核心和根本.所以問題解決之后，教師要善于引導學生把題目所隱含的數學內容的實質揭示出來.

本題欲證PA+PB+PC為最小值，而這三條線段位于三個不同的三角形中，一個自然的想法就是能否將這三條線段首位相接.上述方法，將“將△APC繞點C順時針方向旋轉60°”就可以將“PA”搬到“P1E”的位置，將“PC”搬到“PP1”位置.由此可見，使用圖形旋轉的方法，不僅實現了線段的位置轉化，而且同時實現了線段的位置重組，把原本分散的條件集中到一條線段，然后運用極端原理找出問題解決的辦法.

上述問題說明，在幾何問題解決中，常常需要搬動圖形（角、線段、三角形等），實現了線段或角的位置的轉化和重組，把原本分散的條件集中到一條線段或一個三角形中，而旋轉是搬動圖形最常用的方法之一，特別是當圖形中有等腰三角形，正三角形或正方形時，更為旋轉提供了方便的條件.例如，對于等腰三角形，把一腰繞頂點旋轉頂角這么大的角度，就可與另一腰重合；對于正三角形，把一邊繞該邊的一個端點旋轉60°，就可與它的鄰邊重合；對于正方形，則需旋轉90°.在上述這些旋轉下，與被旋轉的線段相連的有關圖形，例如某個三角形，也跟隨一起旋轉，即可得到一個與之全等的三角形，可見運用旋轉可以幫助我們構造出合適的全等三角形.

2通過圖形變換，引導學生發現“變中不變”規律

“變中不變”是幾何變換的基本思想之一，這里的“變”通常是指圖形的位置有規則的發生“變”化，“不變”是指（圖形）經過變換后不改變的性質和量，也稱為不變量思想.“變中不變”是動態幾何的精髓.

教學中，我們通常結合圖形運動變換的定義和性質的教學，讓學生在經歷各種圖形運動的過程中，理解圖形的形狀和大小的不變性.進而體會圖形變換的基本性質，如圖形旋轉過程中，圖形中每一個點都繞著旋轉中心旋轉了同樣大小的角度，對應點到旋轉中心的距離相等，對應線段、對應角都相等，圖形的形狀、大小都不發生變化.

上述證明過程不僅適用于特殊情況的證明，而且可以適用于一般情況的證明（如圖5），△CEM是等腰直角三角形，揭示了規律背后的本質.

上述例子告訴我們，通過圖形的運動變換，不僅可以引導學生發現“變中不變”的結論，而且可以發現“變中不變”的解題方法，進而提高學生動態思維的能力，學會用運動的觀點去觀察、分析、猜想、驗證圖形的位置關系和數量關系.讓學生在經歷各種圖形運動的過程中，能夠形成動態研究圖形的意識.在教學中，教師與其尋找、編造不同花樣的題目，不如深入研究例習題特征，有目的引導學生進行變式、拓展、探究，深入挖掘其中潛在的數學思想方法，揭示其內在的本質和規律.

3通過圖形變換，引導學生用運動的觀點認識圖形的對稱性

對稱是一種重要的數學思想方法.“對稱”狹義理解通常指圖形或物體對某個點、直線或平面而言，在大小、形狀和排列上具有一一對應關系.自然界中有許許多多的事物都具有絢麗多彩的對稱性，它是自然美的直接展示.在幾何圖形中，大量幾何圖形也都有鮮明的對稱性，如軸自對稱圖形、中心自對稱圖形、旋轉自對稱圖形等，同樣給人以美的直觀的享受.而作為一種數學思想，“對稱”的內涵要豐富得多.在幾何“識圖”中，知道圖形“一半”的性質，就能知道圖形“另一半”的性質.在數學解題中，平等的條件及元素在思考過程中應當平等對待，并且由此及彼，已知條件中“對稱”的元素在結果的表達式中也應當對稱.也即數學對稱常常給我們帶來事半功倍的愉悅，事半功倍才是數學上對稱美的本質[4].

對稱思想在數學里運用非常廣泛.在初中幾何學習中，我們常常會遇到一些對稱問題，如幾何里的中心對稱、軸對稱等，教學中，引導學生用對稱的觀點去觀察，有助于從整體上把握圖形對稱的結構，認識圖形的性質.

例如，平行四邊形的性質教學，教材給出的性質有（1）平行四邊形的對邊相等；（2）平行四邊形的對角相等；（3）平行四邊形的對角線相互平分；（4）平行四邊形是中心對稱圖形，對稱中心是對角線的交點.性質（1）（2）（3）反映的是圖形“局部”特征，靜態特征，性質（4）反應的是圖形的“整體”特征，“動態”特征，它“統領”其他性質，有了中心對稱的思想，對邊相等、對角相等、對角線相互平分就成了對稱圖形對應線段、對應角相等的具體體現.而且在此基礎上，還可以發現更為一般的性質，經過對稱中心的任意直線EF將圖形分為關于“O”點對稱的兩個部分（如圖7），對角線是其特殊情況.這樣，通過旋轉對稱（中心對稱），可以對平行四邊形的性質有更深刻的認識.

對稱思想在函數的學習中，同樣有重要的地位和作用.研究函數的形態，往往要研究圖象的形狀、大小和對稱性.同一函數圖象，根據對稱性（軸對稱或旋轉對稱），往往會事半功倍，只要知道一半的性質，就能知道另一半的性質；而形狀、大小完全相同、只有位置不同的兩個函數圖象，由于可通過平移、旋轉等運動達到重合，因而可由一個函數的解析式確定另一個函數的解析式.

由此可見，這種運動變化的思想體現在幾何教學中，不僅可以把原來靜止的圖形能看成運動變化的結果，而且，用對稱的思想認識圖形，為學習帶來事半功倍的效果.

值得注意的是，教學中，教師要善于選擇典型的“例子”說明旋轉變換的教學意義，使學生真正認識到圖形運動變換是認識圖形、探索規律、解決問題的有力工具，而不是絞盡腦汁制造繁、難、偏、怪的問題，徒然增加學生的負擔.

參考文獻

[1]上海市教育委員會.上海市中小學數學課程標準（試行稿）[M].上海：上海教育出版社，2004.12.

[2]王敬庚.幾何變換漫談[M].長沙：湖南教育出版社長沙，2000.06.

[3]吳華，周玉霄.變易理論驅動下的動態幾何“變中不變”[J].數學教育學報，2010（12）.

[4]潘勇.教學反思重在過程，貴在深刻[J].數學通報，2012（07）.