解析法巧解向量有關(guān)問(wèn)題

陳靜

有關(guān)向量數(shù)量關(guān)系的問(wèn)題，是一類重要的數(shù)學(xué)題型，也是歷年高考考查的重點(diǎn)和熱點(diǎn).其中有些題目，如按常規(guī)的向量運(yùn)算，處理起來(lái)會(huì)比較抽象、困難，不容易得出正確結(jié)果.為了解決這個(gè)問(wèn)題，筆者借助思維轉(zhuǎn)化的角度，通過(guò)建立坐標(biāo)系，把復(fù)雜的向量運(yùn)算轉(zhuǎn)化為便于操作的向量的代數(shù)運(yùn)算，使得問(wèn)題化繁為簡(jiǎn).

一、向量數(shù)量積

例1如圖在△ABC中，AB=AC，BC=2，AD=DC，AE=112EB.若BD·AC=-112，求CE·AB的值.

解以BC中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線BC為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則B（-1，0），C（1，0）.設(shè)A（0，a）（a>0），由AD=DC，AE=112EB得D（112，a12），E（-113，2a13），BD=（312，a12），AC=（1，-a）.因?yàn)锽D·AC=312-a212=-112，所以a=2（負(fù)值舍去）.從而CE=（-413，413），AB=（-1，-2），CE·AB=-413.

例2在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓：（x-1）2+（y-1）2=4，C為圓心，P為圓上任意一點(diǎn)，求OP·CP的最大值.

解設(shè)P（2cosθ+1，2sinθ+1），則OP=（2cosθ+1，2sinθ+1），CP=（2cosθ，2sinθ），所以O(shè)P·CP=4cos2θ+2cosθ+4sin2θ+2sinθ=4+22cos（θ-π14）.當(dāng)θ=2kπ+π14（k∈Z）時(shí)，OP·CP取得最大值，最大值為4+22.

點(diǎn)評(píng)在向量數(shù)量積的問(wèn)題中，若很難求出相關(guān)向量的模及它們之間的夾角，那么這時(shí)如果能夠通過(guò)建立直角坐標(biāo)系，把相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)表示出來(lái)，用坐標(biāo)來(lái)研究向量的數(shù)量積，則易于求解.

二、向量最值問(wèn)題

例3如圖，在等腰三角形ABC中，已知AB=AC=1，A=120°，E，F(xiàn)分別是邊AB，AC上的點(diǎn)，且AE=mAB，AF=nAC，其中m，n∈（0，1），若EF，BC的中點(diǎn)分別為M，N且m+4n=1，求|MN|的最小值.

解以N點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線BC為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，由AB=AC=1，A=120°得N（0，0），A（0，112），B（-312，0），C（312，0），故AF=nAC=（312n，-112n），AE=mAB=（-312m，-112m）.因?yàn)閙+4n=1，所以AE=（23n-312，2n-112），從而得點(diǎn)E（23n-312，2n），點(diǎn)F（312n，-112n+112），線段EF的中點(diǎn)M（5314n-312，314n+114）.所以|MN|=（5312n-312）2+（3n14+114）2=11221n2-6n+1.當(dāng)n=3121時(shí)，|MN|取最小值717.

點(diǎn)評(píng)遇到向量最值問(wèn)題時(shí)，可以通過(guò)建立坐標(biāo)系，將向量最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值求解.

三、向量含參數(shù)問(wèn)題

例4已知|OA|=1，|OB|=3，OA·OB=0，點(diǎn)C在線段AB上，且∠AOC=30°，設(shè)OC=mOA+nOB（m，n∈R），則m1n= .

解因?yàn)镺A·OB=0，所以O(shè)A⊥OB.以O(shè)為原點(diǎn)，直線OA為x軸，直線OB為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系.由|OA|=1，|OB|=3，∠AOC=30°得A（1，0），B（0，3），C（314，314）.因?yàn)镺C=mOA+nOB（m，n∈R），所以（314， 314）=m（1，0）+n（0，3），所以m=314，n=114，所以m1n=3.

點(diǎn)評(píng)如果條件中給出的向量式含有參數(shù)，那么一個(gè)有效的解法就是建立關(guān)于參數(shù)的方程，把幾何問(wèn)題代數(shù)化，向量問(wèn)題坐標(biāo)化.

四、平面幾何中的向量問(wèn)題

例5若△ABC內(nèi)接于以O(shè)為圓心，以1為半徑的圓，且3OA+4OB+5OC=0，則該△ABC的面積為 .

因?yàn)?OA+4OB+5OC=0，所以（3OA+4OB）2=（-5OC）2，所以9+16+24OA·OB=25，所以O(shè)A·OB=0，

所以O(shè)A⊥OB.以O(shè)為原點(diǎn)，OA為x軸，OB為y軸，建立直角坐標(biāo)系，則A（1，0），B（0，1）.設(shè)C（x，y），因?yàn)?OA+4OB+5OC=0，所以3（1，0）+4（0，1）+5（x，y）=0，所以x=-315，y=-415.所以S=S△OAB+SOBC+SOAC=112+112×315+112×415=615.

點(diǎn)評(píng)向量在平面幾何中有很多的應(yīng)用，如利用向量法去證明正弦定理和余弦定理.平面幾何中的向量問(wèn)題，若用解析法求解，往往可化復(fù)雜的向量運(yùn)算為簡(jiǎn)單的代數(shù)運(yùn)算.

五、圓錐曲線中的向量問(wèn)題

例6設(shè)F1，F(xiàn)2分別為橢圓C：x21a2+y21b2=1（a>b>0）

合并同類 構(gòu)建體系

有關(guān)向量數(shù)量關(guān)系的問(wèn)題，是一類重要的數(shù)學(xué)題型，也是歷年高考考查的重點(diǎn)和熱點(diǎn).其中有些題目，如按常規(guī)的向量運(yùn)算，處理起來(lái)會(huì)比較抽象、困難，不容易得出正確結(jié)果.為了解決這個(gè)問(wèn)題，筆者借助思維轉(zhuǎn)化的角度，通過(guò)建立坐標(biāo)系，把復(fù)雜的向量運(yùn)算轉(zhuǎn)化為便于操作的向量的代數(shù)運(yùn)算，使得問(wèn)題化繁為簡(jiǎn).

一、向量數(shù)量積

例1如圖在△ABC中，AB=AC，BC=2，AD=DC，AE=112EB.若BD·AC=-112，求CE·AB的值.

解以BC中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線BC為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則B（-1，0），C（1，0）.設(shè)A（0，a）（a>0），由AD=DC，AE=112EB得D（112，a12），E（-113，2a13），BD=（312，a12），AC=（1，-a）.因?yàn)锽D·AC=312-a212=-112，所以a=2（負(fù)值舍去）.從而CE=（-413，413），AB=（-1，-2），CE·AB=-413.

例2在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓：（x-1）2+（y-1）2=4，C為圓心，P為圓上任意一點(diǎn)，求OP·CP的最大值.

解設(shè)P（2cosθ+1，2sinθ+1），則OP=（2cosθ+1，2sinθ+1），CP=（2cosθ，2sinθ），所以O(shè)P·CP=4cos2θ+2cosθ+4sin2θ+2sinθ=4+22cos（θ-π14）.當(dāng)θ=2kπ+π14（k∈Z）時(shí)，OP·CP取得最大值，最大值為4+22.

點(diǎn)評(píng)在向量數(shù)量積的問(wèn)題中，若很難求出相關(guān)向量的模及它們之間的夾角，那么這時(shí)如果能夠通過(guò)建立直角坐標(biāo)系，把相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)表示出來(lái)，用坐標(biāo)來(lái)研究向量的數(shù)量積，則易于求解.

二、向量最值問(wèn)題

例3如圖，在等腰三角形ABC中，已知AB=AC=1，A=120°，E，F(xiàn)分別是邊AB，AC上的點(diǎn)，且AE=mAB，AF=nAC，其中m，n∈（0，1），若EF，BC的中點(diǎn)分別為M，N且m+4n=1，求|MN|的最小值.

解以N點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線BC為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，由AB=AC=1，A=120°得N（0，0），A（0，112），B（-312，0），C（312，0），故AF=nAC=（312n，-112n），AE=mAB=（-312m，-112m）.因?yàn)閙+4n=1，所以AE=（23n-312，2n-112），從而得點(diǎn)E（23n-312，2n），點(diǎn)F（312n，-112n+112），線段EF的中點(diǎn)M（5314n-312，314n+114）.所以|MN|=（5312n-312）2+（3n14+114）2=11221n2-6n+1.當(dāng)n=3121時(shí)，|MN|取最小值717.

點(diǎn)評(píng)遇到向量最值問(wèn)題時(shí)，可以通過(guò)建立坐標(biāo)系，將向量最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值求解.

三、向量含參數(shù)問(wèn)題

例4已知|OA|=1，|OB|=3，OA·OB=0，點(diǎn)C在線段AB上，且∠AOC=30°，設(shè)OC=mOA+nOB（m，n∈R），則m1n= .

解因?yàn)镺A·OB=0，所以O(shè)A⊥OB.以O(shè)為原點(diǎn)，直線OA為x軸，直線OB為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系.由|OA|=1，|OB|=3，∠AOC=30°得A（1，0），B（0，3），C（314，314）.因?yàn)镺C=mOA+nOB（m，n∈R），所以（314， 314）=m（1，0）+n（0，3），所以m=314，n=114，所以m1n=3.

點(diǎn)評(píng)如果條件中給出的向量式含有參數(shù)，那么一個(gè)有效的解法就是建立關(guān)于參數(shù)的方程，把幾何問(wèn)題代數(shù)化，向量問(wèn)題坐標(biāo)化.

四、平面幾何中的向量問(wèn)題

例5若△ABC內(nèi)接于以O(shè)為圓心，以1為半徑的圓，且3OA+4OB+5OC=0，則該△ABC的面積為 .

因?yàn)?OA+4OB+5OC=0，所以（3OA+4OB）2=（-5OC）2，所以9+16+24OA·OB=25，所以O(shè)A·OB=0，

所以O(shè)A⊥OB.以O(shè)為原點(diǎn)，OA為x軸，OB為y軸，建立直角坐標(biāo)系，則A（1，0），B（0，1）.設(shè)C（x，y），因?yàn)?OA+4OB+5OC=0，所以3（1，0）+4（0，1）+5（x，y）=0，所以x=-315，y=-415.所以S=S△OAB+SOBC+SOAC=112+112×315+112×415=615.

點(diǎn)評(píng)向量在平面幾何中有很多的應(yīng)用，如利用向量法去證明正弦定理和余弦定理.平面幾何中的向量問(wèn)題，若用解析法求解，往往可化復(fù)雜的向量運(yùn)算為簡(jiǎn)單的代數(shù)運(yùn)算.

五、圓錐曲線中的向量問(wèn)題

例6設(shè)F1，F(xiàn)2分別為橢圓C：x21a2+y21b2=1（a>b>0）

合并同類 構(gòu)建體系

有關(guān)向量數(shù)量關(guān)系的問(wèn)題，是一類重要的數(shù)學(xué)題型，也是歷年高考考查的重點(diǎn)和熱點(diǎn).其中有些題目，如按常規(guī)的向量運(yùn)算，處理起來(lái)會(huì)比較抽象、困難，不容易得出正確結(jié)果.為了解決這個(gè)問(wèn)題，筆者借助思維轉(zhuǎn)化的角度，通過(guò)建立坐標(biāo)系，把復(fù)雜的向量運(yùn)算轉(zhuǎn)化為便于操作的向量的代數(shù)運(yùn)算，使得問(wèn)題化繁為簡(jiǎn).

一、向量數(shù)量積

例1如圖在△ABC中，AB=AC，BC=2，AD=DC，AE=112EB.若BD·AC=-112，求CE·AB的值.

解以BC中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線BC為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則B（-1，0），C（1，0）.設(shè)A（0，a）（a>0），由AD=DC，AE=112EB得D（112，a12），E（-113，2a13），BD=（312，a12），AC=（1，-a）.因?yàn)锽D·AC=312-a212=-112，所以a=2（負(fù)值舍去）.從而CE=（-413，413），AB=（-1，-2），CE·AB=-413.

例2在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓：（x-1）2+（y-1）2=4，C為圓心，P為圓上任意一點(diǎn)，求OP·CP的最大值.

解設(shè)P（2cosθ+1，2sinθ+1），則OP=（2cosθ+1，2sinθ+1），CP=（2cosθ，2sinθ），所以O(shè)P·CP=4cos2θ+2cosθ+4sin2θ+2sinθ=4+22cos（θ-π14）.當(dāng)θ=2kπ+π14（k∈Z）時(shí)，OP·CP取得最大值，最大值為4+22.

點(diǎn)評(píng)在向量數(shù)量積的問(wèn)題中，若很難求出相關(guān)向量的模及它們之間的夾角，那么這時(shí)如果能夠通過(guò)建立直角坐標(biāo)系，把相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)表示出來(lái)，用坐標(biāo)來(lái)研究向量的數(shù)量積，則易于求解.

二、向量最值問(wèn)題

例3如圖，在等腰三角形ABC中，已知AB=AC=1，A=120°，E，F(xiàn)分別是邊AB，AC上的點(diǎn)，且AE=mAB，AF=nAC，其中m，n∈（0，1），若EF，BC的中點(diǎn)分別為M，N且m+4n=1，求|MN|的最小值.

解以N點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線BC為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，由AB=AC=1，A=120°得N（0，0），A（0，112），B（-312，0），C（312，0），故AF=nAC=（312n，-112n），AE=mAB=（-312m，-112m）.因?yàn)閙+4n=1，所以AE=（23n-312，2n-112），從而得點(diǎn)E（23n-312，2n），點(diǎn)F（312n，-112n+112），線段EF的中點(diǎn)M（5314n-312，314n+114）.所以|MN|=（5312n-312）2+（3n14+114）2=11221n2-6n+1.當(dāng)n=3121時(shí)，|MN|取最小值717.

點(diǎn)評(píng)遇到向量最值問(wèn)題時(shí)，可以通過(guò)建立坐標(biāo)系，將向量最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值求解.

三、向量含參數(shù)問(wèn)題

例4已知|OA|=1，|OB|=3，OA·OB=0，點(diǎn)C在線段AB上，且∠AOC=30°，設(shè)OC=mOA+nOB（m，n∈R），則m1n= .

解因?yàn)镺A·OB=0，所以O(shè)A⊥OB.以O(shè)為原點(diǎn)，直線OA為x軸，直線OB為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系.由|OA|=1，|OB|=3，∠AOC=30°得A（1，0），B（0，3），C（314，314）.因?yàn)镺C=mOA+nOB（m，n∈R），所以（314， 314）=m（1，0）+n（0，3），所以m=314，n=114，所以m1n=3.

點(diǎn)評(píng)如果條件中給出的向量式含有參數(shù)，那么一個(gè)有效的解法就是建立關(guān)于參數(shù)的方程，把幾何問(wèn)題代數(shù)化，向量問(wèn)題坐標(biāo)化.

四、平面幾何中的向量問(wèn)題

例5若△ABC內(nèi)接于以O(shè)為圓心，以1為半徑的圓，且3OA+4OB+5OC=0，則該△ABC的面積為 .

因?yàn)?OA+4OB+5OC=0，所以（3OA+4OB）2=（-5OC）2，所以9+16+24OA·OB=25，所以O(shè)A·OB=0，

所以O(shè)A⊥OB.以O(shè)為原點(diǎn)，OA為x軸，OB為y軸，建立直角坐標(biāo)系，則A（1，0），B（0，1）.設(shè)C（x，y），因?yàn)?OA+4OB+5OC=0，所以3（1，0）+4（0，1）+5（x，y）=0，所以x=-315，y=-415.所以S=S△OAB+SOBC+SOAC=112+112×315+112×415=615.

點(diǎn)評(píng)向量在平面幾何中有很多的應(yīng)用，如利用向量法去證明正弦定理和余弦定理.平面幾何中的向量問(wèn)題，若用解析法求解，往往可化復(fù)雜的向量運(yùn)算為簡(jiǎn)單的代數(shù)運(yùn)算.

五、圓錐曲線中的向量問(wèn)題

例6設(shè)F1，F(xiàn)2分別為橢圓C：x21a2+y21b2=1（a>b>0）

合并同類 構(gòu)建體系