例說數(shù)學(xué)概念教學(xué)與思維品質(zhì)培養(yǎng)

樂高軍

本文以《異面直線所成的角》為例，從關(guān)鍵環(huán)節(jié)人手，分析認(rèn)知概念的心理特點(diǎn)，探討科學(xué)地進(jìn)行概念教學(xué)的方法和途徑.

一、展示概念背景，培養(yǎng)思維的主動(dòng)性

思維的主動(dòng)性，表現(xiàn)為學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)充滿熱情，以學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)為樂趣，在獲得知識(shí)時(shí)有一種愜意的滿足感.

導(dǎo)引階段：教師與學(xué)生一起以熟悉的正方體為例，復(fù)習(xí)空間兩條直線的位置關(guān)系后，請(qǐng)學(xué)生觀察圖中的幾對(duì)異面直線.教師指出：從位置關(guān)系說，同為異面直線，但它們的相對(duì)位置，是否就沒有區(qū)別？學(xué)生回答：有區(qū)別.教師緊接著說：既然有區(qū)別，說明僅用“異面”來描述異面直線間的相對(duì)位置顯然是不夠的.在生產(chǎn)實(shí)際與數(shù)學(xué)問題中，有時(shí)還需要進(jìn)一步考慮它們的相對(duì)位置.這就給數(shù)學(xué)提出了一個(gè)新任務(wù)：怎樣刻劃異面直線間的這種相對(duì)位置，或者說，引進(jìn)一個(gè)什么數(shù)學(xué)量來刻劃這種相對(duì)位置.

這樣引入新課，揭示了異面直線所成的角出現(xiàn)的背景，將數(shù)學(xué)家的思維活動(dòng)暴露給學(xué)生，使學(xué)生沉浸于對(duì)新知識(shí)的期盼、探求的情境之中，積極的思維活動(dòng)得以觸發(fā).

二、創(chuàng)設(shè)求知情境，培養(yǎng)思維的敏捷性

思維的敏捷性表現(xiàn)在思考問題時(shí)，以敏銳地感知，迅速提取有效信息，進(jìn)行“由此思彼”的聯(lián)想，果斷、簡捷地解決問題.

情境設(shè)計(jì)階段：我們知道平面幾何中用數(shù)學(xué)量“距離”來刻劃兩平行直線間的相對(duì)位置，用數(shù)學(xué)量“角”來刻劃兩相交直線間的相對(duì)位置，（教師用棒針比劃追問）那么用什么來刻劃兩異面直線的相對(duì)位置呢？揭示課題.

我們還知道兩異面直線不相交，它們又確實(shí)存在角度關(guān)系，這就需要我們找到一個(gè)角以它的大小來度量異面直線所成的角的大小.為了解決這個(gè)問題，我們看一道題：

一張紙上畫有兩條能相交的直線a，b（但交點(diǎn)在紙外）.現(xiàn)給你一副三角板和量角器，限定不許拼接紙片，不許延長紙上的線段，問如何能量出a，b所成的角的大小？

通過舊知識(shí)的遷移探測問題，為新知識(shí)的形成開辟通道，進(jìn)而使新舊知識(shí)得到完美的銜接.這對(duì)提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，優(yōu)化認(rèn)知結(jié)構(gòu)是非常有益的.

三、精確表述概念，培養(yǎng)思維的準(zhǔn)確性

思維的準(zhǔn)確性是指思維符合邏輯，判斷準(zhǔn)確，概念清晰啟迪。

發(fā)現(xiàn)階段：引導(dǎo)學(xué)生分析本課開始部分幾對(duì)異面直線所成的角，分別可用哪兩條相交直線的角（銳角或直角）來度量.至此，教師讓學(xué)生自己來概括得出新概念異面直線所成角的定義，其間，對(duì)學(xué)生表述上的任何微小缺陷與不當(dāng)之處，老師應(yīng)誘導(dǎo)啟發(fā).在正式給出定義時(shí)要求語言簡練、準(zhǔn)確，符合邏輯性和科學(xué)性.

新概念的引進(jìn)解決了導(dǎo)引中提出的問題.學(xué)生自己參與形成和表述概念的過程培養(yǎng)了抽象概括能力.因此，概念教學(xué)亦蘊(yùn)含了豐富的培養(yǎng)能力、訓(xùn)練思維的素材，教學(xué)過程中應(yīng)充分重視.

四、解剖新概念，培養(yǎng)思維的縝密性

思維的縝密性表現(xiàn)在抓住概念的本質(zhì)特征，對(duì)概念的內(nèi)涵與外延的關(guān)系全面深刻地理解，對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)的嚴(yán)密性和科學(xué)性能夠充分認(rèn)識(shí).

解剖概念階段：教師提問，這角（或平行線）一定可以作出來嗎？角的大小與作法有什么關(guān)系？這里提出的就是定義的合理性（即存在性和確定性問題）.

通過解決以上兩個(gè)問題得到：兩異面直線所成角的范圍規(guī)定在（0，π12]內(nèi)，那么它的大小，由異面直線本身決定，而與點(diǎn)O（一線的平行線與另一線的平行線的交點(diǎn)）的選取無關(guān)，點(diǎn)O可任選.一般總是將點(diǎn)O選在特殊位置.

這樣引導(dǎo)學(xué)生“解剖”定義，使學(xué)生看到抽象的數(shù)學(xué)術(shù)語和符號(hào)與現(xiàn)實(shí)存在的具體事物和現(xiàn)象之間的聯(lián)系，了解整個(gè)定義的結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)了學(xué)生思維的縝密性.

至此，兩異面直線所成角的概念完全建立了，在這個(gè)過程中滲透了把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題這一化歸的數(shù)學(xué)思想方法.

五、運(yùn)用新概念，培養(yǎng)思維的深刻性

思維的深刻性主要表現(xiàn)在理解能力強(qiáng)，能抓住概念、定理的核心及知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，準(zhǔn)確地掌握概念的內(nèi)涵及使用的條件和范圍.在用概念判別命題的真?zhèn)螘r(shí)，能抓住問題的實(shí)質(zhì)；在用概念解題時(shí)，能抓住問題的關(guān)鍵.

鞏固深化階段：在學(xué)生深刻理解數(shù)學(xué)概念之后，應(yīng)立即引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)概念解決“引入概念”時(shí)提出的問題（或其他問題），在運(yùn)用中鞏固概念.使學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)概念，既是進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的理論基礎(chǔ)，又是進(jìn)行再認(rèn)識(shí)的工具.如此往復(fù)，使學(xué)生的學(xué)習(xí)過程，成為實(shí)踐——認(rèn)識(shí)——再實(shí)踐——再認(rèn)識(shí)的過程，達(dá)到培養(yǎng)思維深刻性的目的.

當(dāng)然，應(yīng)用的設(shè)計(jì)應(yīng)由易到難，循序漸進(jìn)，形成梯度，拾級(jí)而上，以促進(jìn)學(xué)生思維的合理過渡.

例1求本課開始時(shí)的幾對(duì)異面直線所成的角及距離.

啟發(fā)學(xué)生尋求一題多解，不僅可以使所學(xué)知識(shí)融會(huì)貫通，還可使學(xué)生掌握多種解題方法，并學(xué)會(huì)從眾多解法中，優(yōu)選最佳方法.從而培養(yǎng)思維的靈活性和廣闊性.

例2M，N分別是正方體ABCD-A1B1C1D1中BB1，CC1的中點(diǎn)，求MN與AD所成的角.

思路1：過M點(diǎn)作MG∥BC交CC1于G，MG，MN所成的銳角（或直角）為所求.

思路2：連BC1，則BC與BC1所成的角（銳角或直角）為所求.

思路3：連BC1，AD1，則AD與AD1所成的角（銳角或直角）為所求.

這樣設(shè)計(jì)至少有兩個(gè)好處：其一，加深了學(xué)生對(duì)概念的理解；其二，再一次激起了學(xué)生思維的浪花.

六、分析錯(cuò)解成因，培養(yǎng)思維的批判性

思維的批判是指思維嚴(yán)謹(jǐn)而不疏漏，能準(zhǔn)確地辨別和判斷，善于覓錯(cuò)、糾錯(cuò)，以批判的眼光觀察事物和審視思維的活動(dòng).

深化階段：對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解要防止片面性.除在運(yùn)用概念時(shí)，用典型的例子從正面加深對(duì)概念的理解、鞏固概念之外，還應(yīng)針對(duì)某些概念的定義中有些關(guān)鍵性的字眼不易被學(xué)生所理解，容易被忽視；某些概念的條件比較多，學(xué)生常顧此失彼，不易全面掌握；某些概念與它的鄰近概念相似，不易區(qū)別等等.采用舉反例，從反面來加深學(xué)生對(duì)概念的內(nèi)涵與外延的理解，培養(yǎng)思維的批判性.