一題多變淺析導數的應用

姜銳軍

導數的主要作用是研究函數的單調性，利用導數可以判斷函數的單調性，求函數的單調區間，求函數的極值，最值以及解決恒成立問題中參數的范圍問題。下面通過一道常見的習題及其變形來探究導數的應用。

引例已知定義在R上的函數f（x）=x2-3x-m。討論函數f（x）的單調性，并求出其單調區間和極值。

解由f ′（x）=3x2-3=0 得x=±1，解F′（x）>0得x<-1或x>1，解F′（x）<0得-1

如下表所示

x1（-∞，-1）1-11（-1，1）111（1，+∞） y′1 + 101 ―1 01 + y1↗1極大值1↘1極小值1↗ 所以f（x）在（-∞，-1）和（1，+∞）上為增函數，在（-1，1）上為減函數。單調遞增區間為（-∞，-1）和（1，+∞），單調遞減區間為（-1，1）。所以f（x）最大值=f（-1）=2-m，f（x）最小極=f（1）= -2-m。

變式一（1）若方程x3-3x-m=0恰有兩個零點，求實數m的取值范圍。（2）若方程x3-3x-m=0恰有三個零點，求實數m的取值范圍。（3）若方程x3-3x-m=0恰有一個零點，求實數m的取值范圍。

分析首先要搞清楚函數f（x）=x3-3x-m的圖象的大致形狀，再由零點的個數確定圖象與x軸的位置關系，從而得到m的范圍。

解法一（1）由引例可知，f（x）的圖象的大致形狀如下圖（1）

若方程恰有兩個零點，即圖象與x軸恰有兩個交點，則x軸恰過其中的一個極值點，如圖（2），所以f（-1）=0或f（1）=0，解得m=±2，所以m的取值為m=-2或m=2。

（2） 若方程恰有三個零點，則兩極值點必在x軸的兩側，所以f（-1）>0，

f（1）<0，解得-2

（3）若方程恰有一個零點，兩極值點必在x軸的同一側，所以f（-1）<0或f（1）>0，解得m<-2或m>2，所以m的取值范圍為（-∞，-2）∪（2，+∞）。

解法二可以轉化為討論方程x3-3x=m 的解的個數，即討論曲線y=x3-3x與y=m的交點情況，利用數形結合的方法去解。但仍然要討論函數y=x3-3x的單調性和極值以及極值點與直線y=m的位置關系，同解法一。

變式二已知定義在R上的函數f（x）=x3-3x-m，當m=1時，求函數f（x）在[-2 ， 2]上的最大值和最小值。

分析因為兩極值點在定義域區間[-2 ， 2]內，故先要求出函數的極值和區間端點的函數值，再加以比較確定最值。

解當m=1時，由引例得，f（x）極大值=f（-1）=2-m=1，f（x）極小值=f（1）= -2-m=-3，f（-2）=-3×（-2）3-m=-2-m=-3，f（2）=23-3×2-m=2-m=1，所以函數f（x）最大值=3，f（x）最小值=-3。

變式三已知定義在R上的函數f（x）=x3-3x-m，若f（x）≥0或f（x）≤0在[-2 ， 2]上恒成立，求實數m的取值范圍。

分析可直接轉化為函數的最值問題，也可以先分離參數，再轉化為新的不含參數的函數的最值問題求解。

解法一若f（x）≥0恒成立，則f（x）最小值≥0，由變式二可得，f（x）最小值=f（-2）=-2-m≥0，解得m≤-2；若f（x）≤0恒成立，則f（x）最大值≤0，即f（x）最大值=f（2） =2-m≤0，解得m≥2。

解法二f（x）≥0恒成立，即x3-3x≥m恒成立，令g（x）=x3-3x， 則m≤g（x）最小值，f（x）≤0恒成立，即x3-3x≤m恒成立，則m≥g（x）最小值，而求函數g（x）的最值和求f（x）的最值解法完全一樣，略。

式，對零點不是點也就很好理解了。通過類似的擴展訓練，學生不僅能開拓思路、發散思維，還能將所學到的知識真正運用起來。

（五）優化教學模式，變直接概念灌輸為側面迂回的間接揭示

在進行數學概念教學時，可以不直接進行概念的灌輸，而是從側面來引導概念的學習，通過反例來幫助學生了解這一系列概念。例如，在橢圓概念學習的時候，學生常常記為：到兩定點的距離之和等于定長的點的軌跡，這個概念記起來容易，但是真正運用起來卻不是那么簡單。教師在教學時就可以設計以下的問題鏈，來引導學生學習：1。若平面內的動點P到兩定點（-4，0），（4，0）的距離之和為6，那么P的運動軌跡是什么？2。若P到兩定點的距離之和是8的話，那么P的運動軌跡是什么？3。P到兩定點的距離之和是10的時候，P的運動軌跡又有什么樣的表現？通過讓學生們繪制圖形可以很容易發現（1）2a<2c，軌跡不存在；（2）2a=2c，軌跡為一條線段；（3）2a>2c，軌跡為橢圓，也就加深了學生對橢圓概念中“a>c”這一附加條件的理解。學生只有真正了解概念的本質，才能正確運用概念，才能真正達到數學概念教學的目的。

“紙上學來終覺淺，絕知此事要躬行。”高中數學概念教學存在諸多亟待解決的問題。這就需要我們數學教育工作者潛心研究教學對象特點，努力運用更加科學、合理的教學方法，積極參與新課改并適時更新我們的教學模式，從而能夠真正引導學生更好地進行數學概念的學習，幫助他們建立更加完善的數學思維方式，以促進他們的學習能力得到快速、全面的提升。