一種三階多項(xiàng)式相位信號(hào)去噪的字典學(xué)習(xí)算法

歐國(guó)建楊士中蔣清平曹海林

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一種三階多項(xiàng)式相位信號(hào)去噪的字典學(xué)習(xí)算法

歐國(guó)建*①②楊士中①蔣清平①曹海林①

①(重慶大學(xué)飛行器測(cè)控與通信教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 重慶 400044)②(重慶電子工程職業(yè)學(xué)院 重慶 401331)

三階多項(xiàng)式相位信號(hào)；遞歸最小二乘字典學(xué)習(xí)算法；字典學(xué)習(xí)；非線性最小二乘法；曲線擬合

1 引言

字典學(xué)習(xí)算法的研究有3個(gè)方向[7]：第1個(gè)是基于概率的字典學(xué)習(xí)方式，如最大后驗(yàn)(MAP)字典學(xué)習(xí)算法[8]；第2個(gè)是基于矢量量化的學(xué)習(xí)方式，如K-means Singular Value Decomposition (K-SVD)字典學(xué)習(xí)算法[9]；最后是基于具體結(jié)構(gòu)的學(xué)習(xí)方式，如參數(shù)字典設(shè)計(jì)[10]。在這3個(gè)研究方向內(nèi)，涌現(xiàn)出了許多的字典學(xué)習(xí)算法，其共同特征都是通過(guò)某種方式使得字典獲得更符合信號(hào)內(nèi)容，特征或者紋理特征。

為了實(shí)現(xiàn)對(duì)信號(hào)的有效去噪，本文提出的字典學(xué)習(xí)算法在RLS-DLA算法的基礎(chǔ)上，采用非線性最小二乘法修改了該算法對(duì)字典的更新部分，我們稱該算法為遞歸最小均方-非線性最小二乘(Recursive Least Squares- Non Linear Least Squares, RLS-NLLS)字典學(xué)習(xí)算法。實(shí)驗(yàn)表明，相比K-SVD, RLS-DLA和K-SVDD字典學(xué)習(xí)算法，該算法對(duì)CPS具有更好的去噪效果，并且運(yùn)算量遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于采用固定字典的形式。

2 問(wèn)題描述

可得到

通過(guò)對(duì)式(5)的求解，可得到

字典學(xué)習(xí)是從觀測(cè)信號(hào)數(shù)據(jù)中得到最優(yōu)的稀疏表示，使得字典中原子結(jié)構(gòu)更接近于觀測(cè)信號(hào)。對(duì)有噪聲的CPS，通過(guò)字典學(xué)習(xí)，字典中的原子結(jié)構(gòu)必然接近于有噪聲的CPS。對(duì)此，本文通過(guò)非線性最小二乘法對(duì)原子結(jié)構(gòu)進(jìn)行擬合，使其結(jié)構(gòu)接近于無(wú)噪聲的CPS，這樣訓(xùn)練出來(lái)的字典通過(guò)稀疏表示能有效去除CPS的噪聲。

3 算法描述

3.1 算法思想

分析RLS-DLA及K-SVD字典學(xué)習(xí)算法對(duì)多項(xiàng)式相位信號(hào)去噪效果不好的原因，是因?yàn)橥ㄟ^(guò)這些字典學(xué)習(xí)算法訓(xùn)練后得到的字典，其原子結(jié)構(gòu)接近于信號(hào)。因此，如果觀測(cè)信號(hào)是帶噪聲的信號(hào)，則通過(guò)字典學(xué)習(xí)，得到的原子結(jié)構(gòu)必然是帶噪的信號(hào)結(jié)構(gòu)。那么，如果對(duì)原子數(shù)據(jù)進(jìn)行修正，讓原子結(jié)構(gòu)接近與不帶噪的信號(hào)結(jié)構(gòu)，這樣得到的字典通過(guò)稀疏表示得到的重構(gòu)信號(hào)，其去噪效果就很明顯。于是本文引入了非線性最小二乘法，通過(guò)擬合原子數(shù)據(jù)，讓原來(lái)帶噪的原子結(jié)構(gòu)變?yōu)椴粠г氲脑咏Y(jié)構(gòu)。從圖1(a)可以看出，對(duì)有加性高斯白噪聲的CPS，用RLS-DLA字典學(xué)習(xí)算法訓(xùn)練字典后，訓(xùn)練后的字典原子是一個(gè)含加性高斯白噪聲的函數(shù)，而從圖1(b)中可以看出，通過(guò)非線性最小二乘法對(duì)原子的擬合，原子是一條光滑的曲線，這樣就有效去除了原子的噪聲。通過(guò)這樣的處理得到的字典，通過(guò)稀疏分解我們就能對(duì)信號(hào)有效的去噪。

對(duì)非線性最小二乘法擬合，其原理如下：

這就是非線性最小二乘法擬合的基本原理。

3.2 . RLS-NLLS算法

圖1 RLS-DLA字典學(xué)習(xí)算法得到的原子函數(shù)曲線及擬合曲線

表1RLS-NLLS算法步驟

任務(wù)：找到最好的字典，使得該字典通過(guò)稀疏表示能有效地去除CPS的噪聲。初始化：任取段觀測(cè)信號(hào)作為初始字典，并使之標(biāo)準(zhǔn)化。(1)取得第個(gè)受訓(xùn)信號(hào)；(2)通過(guò)用追蹤算法和，得到系數(shù)矢量；(3)求得；(4)運(yùn)用，計(jì)算矢量, ；(5)更新字典。(1)取得字典的第i個(gè)原子；(2)運(yùn)用非線性最小二乘法擬合原子，得到擬合后的原子；(3)把擬合后的原子代替原來(lái)的原子；最后得到的字典為。

4 實(shí)驗(yàn)

本節(jié)主要驗(yàn)證通過(guò)該算法對(duì)CPS的去噪效果。去噪效果采用信號(hào)的均方誤差(Mean Square Error, MSE)和信噪比(SNR)來(lái)衡量，定義如下：

圖2 RLS-NLLS, RLS-DLA, K-SVD及K-SVDD重構(gòu)信號(hào)對(duì)比圖

表2 4種算法重構(gòu)信號(hào)的MSE值

表3 4種算法重構(gòu)信號(hào)的SNR值

5 結(jié)論

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歐國(guó)建： 男，1975年生，博士生，研究方向?yàn)閴嚎s感知、擴(kuò)頻通信、非平穩(wěn)信號(hào)處理.

楊士中： 男，1937年生，教授，中國(guó)工程院院士，研究方向?yàn)樾畔⑴c通信工程、電子科學(xué)與技術(shù).

蔣清平： 男，1976年生，博士，講師，研究方向?yàn)閴嚎s感知、循環(huán)譜信號(hào)處理.

A Dictionary Learning Algorithm for Denoising Cubic Phase Signal

Ou Guo-jian①②Yang Shi-zhong①Jiang Qing-ping①Cao Hai-lin①

①(&,,400044,)②(,401331,)

Cubic Phase Signal (CPS); Recursive Least Squares Dictionary Learning Algorithm (RLS-DLA); Dictionary learning; Non-Linear Least Squares (NLLS); Curve fitting

TN911.7

A

1009-5896(2014)02-0255-05

10.3724/SP.J.1146.2013.00726

歐國(guó)建 ouguojia_2005@qq.com

2013-05-23收到，2013-10-25改回

國(guó)家自然科學(xué)基金(51377179)，中央高校基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)(CDJZR12160020)和重慶教委項(xiàng)目(KJ120510)資助課題