非線性微分方程的動力學(xué)特性研究

馮建霞

摘 要：本文對幾類非線性系統(tǒng)的非線性動力學(xué)特性進行了深入研究，對系統(tǒng)發(fā)生霍普夫分岔的參數(shù)條件進行了詳細的分析，給出了系統(tǒng)產(chǎn)生霍普夫分岔的參數(shù)范圍，隨后應(yīng)用中心流行定理對系統(tǒng)進行降維約化，得到了系統(tǒng)平衡點的穩(wěn)定性。最后，對一類食餌-捕食者系統(tǒng)的非線性動力學(xué)特性進行了詳細分析和研究。

關(guān)鍵詞：非線性動力學(xué) 微分方程 霍普夫分岔 中心流形

0.引言

隨著科學(xué)的發(fā)展和進步，在自然科學(xué)與社會科學(xué)的研究領(lǐng)域內(nèi)出現(xiàn)了很多新的具有挑戰(zhàn)性的數(shù)學(xué)問題，其中動力系統(tǒng)解的性態(tài)分析是近年來研究的熱點之一。對非線性動力系統(tǒng)的研究和發(fā)展已有一個多世紀， 20世紀70年代至今，非線性動力學(xué)的分岔理論及混沌現(xiàn)象的研究成為了非線性微分方程新的研究熱點。

如今，幾乎每個學(xué)科領(lǐng)域都出現(xiàn)了動力系統(tǒng)現(xiàn)象，從化學(xué)中的振蕩Belousov-Zhabotinsky反應(yīng)到電子工程中的蔡氏電路，從天體力學(xué)中的復(fù)雜運動到生態(tài)學(xué)中的分岔。尤其在生物數(shù)學(xué)領(lǐng)域，動力系統(tǒng)被廣泛的用來研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性及分岔。劉翠桃對具有密度制約情況下的HollingⅣ類功能反應(yīng)的系統(tǒng)，徐勝林和肖東梅對一類擴展的捕食者-食餌系統(tǒng)進行了討論，討論了系統(tǒng)的平衡點的性態(tài)，并證明了極限環(huán)的存在性與唯一性及其全局穩(wěn)定性。Canan Celik研究了對比率依賴性，系統(tǒng)地分析了時滯對模型穩(wěn)定性的影響，選取時滯作為參數(shù)，利用分岔定理得出Hopf分岔，得到了系統(tǒng)周期解的穩(wěn)定性，并進行了數(shù)值模擬。

本文通過對幾類不同非線性系統(tǒng)的非線性現(xiàn)象進行研究，特別是幾類系統(tǒng)霍普夫分岔進行詳細分析，應(yīng)用中心流形定理對部分系統(tǒng)進行了降維處理，部分系統(tǒng)應(yīng)用形式級數(shù)法對細焦點進行分析。

1.二維非線性系統(tǒng)的霍普夫分岔分析

對式（1.1）所示的二維非線性系統(tǒng)，當

f（x，μ）=ax-y+bx（x2+y2）+cx（x+y2）sinπx2+y3

x+ay+by（x2+y2）+cy（x2+y2）2sinπx2+y2

（1.1）

時的情況，進行定性與分岔分析.

此時，n=2，m=3，X=x

y，μ=a

b

c.顯然， O（0，0）為系統(tǒng)的奇點.

為了對參數(shù)變化時平衡點處的情況進行分析，做極坐標變換x=rcocθ

y=rsinθ，對時間t求導(dǎo)，

dxdt=drdtcosθ-rdθdtsinθ=arcosθ-rsinθ+br3cosθ+cr5cosθsinπr

（1.2）

dydt=drdtsinθ+rdθdtcosθ=rcosθ+arsinθ+br3sinθ+cr5sinθsinπr

（1.3）

分別進行（1.2）×cosθ+（1.3）×sinθ，（1.2）×（-sinθ）+（1.3）×cosθ可以得到

drdt=ar+br3+cr5sinπr，

dθdt=1.

（1.4）

對參數(shù)c分兩種情況進行討論.

（1） 當c=0時，

若a=0，b=0，有drdt=0，此時平衡點O（0，0）為系統(tǒng)的中心，系統(tǒng)零解穩(wěn)定但不漸近穩(wěn)定；

若a=0，b≠0，有drdt=br3，

當b>0，有drdt>0，平衡點O（0，0）為不穩(wěn)定細焦點，系統(tǒng)零解不穩(wěn)定；

當b<0，有drdt<0，平衡點O（0，0）為穩(wěn)定細焦點，系統(tǒng)零解穩(wěn)定.

若a≠0，b=0，有drdt=ar，

當a>0，有drdt>0，平衡點O（0，0）為不穩(wěn)定焦點，系統(tǒng)零解不穩(wěn)定；

當a<0，有drdt<0，平衡點O（0，0）為穩(wěn)定焦點，系統(tǒng)零解穩(wěn)定.

若a>0，b>0，有drdt>0，此時drdt>0，系統(tǒng)零解不穩(wěn)定；

若a>0，b<0，此時系統(tǒng)有閉軌r=r0=-ab，又

當r>r0時，drrt<0，t→+∞時，系統(tǒng)的軌線趨向于r=r0；

當0

因此，系統(tǒng)有唯一的閉軌，即極限環(huán)，且極限環(huán)穩(wěn)定.

若a<0，b<0，有drdt<0，所有的解都趨于平衡點O（0，0），平衡點O（0，0）為穩(wěn)定焦點，系統(tǒng)零解穩(wěn)定；

若a<0，b>0，此時系統(tǒng)有閉軌r=r0=-ab，

當r>r0時，drdt>0，t→+∞時，r→+∞；

當0

因此，系統(tǒng)有唯一的閉軌，即極限環(huán)，且極限環(huán)不穩(wěn)定.

圖1給出了c=0時的雙參數(shù)分岔圖.

（2） 當c≠0時，

若a=0，b=0，有drdt=cr5sinπr，當r=1n，（n=1，2，3，…），drdt=0，有一系列的閉軌出現(xiàn)；

若a=0，b≠0，有drdt=br3+o（r3），當b>0時，平衡點為不穩(wěn)定細焦點，零解不穩(wěn)定；當b<0時，平衡點為穩(wěn)定的細焦點，零解穩(wěn)定；

若a≠0，b=0，有drdt=ar+o（r），當a>0時，平衡點為不穩(wěn)定焦點，零解不穩(wěn)定；當a<0時，平衡點為穩(wěn)定的焦點，零解穩(wěn)定.

-z+x2+y2-2xyz，

（2.1）

時的情況，進行定性與分岔分析.

此時，n=3，m=2，X=x

y

z，μ=λ

a.分離非線性項，系統(tǒng)變?yōu)?/p>

dXdt=λ-1-10

1λ-10

00-1X+f1

f2

f3，

（2.2）

其中，f1=-axz，f2=-ayz，f3=x2+y2-2xyz為非線性項.

顯然，非線性項滿足定理的條件，則對于雙曲奇點非線性系統(tǒng)與線性系統(tǒng)奇點類型相同.且O（0，0，0）為系統(tǒng)的平衡點，對于線性化系統(tǒng)矩陣為

A=λ-1-10

1λ-10

00-1，

且A的特征值λ1=-1.λ2，3=λ-1±i.當λ<1時，特征值實部都小于零，平衡點為穩(wěn)定的焦點；當λ>1時，存在特征值實部大于零，平衡點為鞍點，不穩(wěn)定.則非線性系統(tǒng)的平衡點O（0，0，0）也分別為穩(wěn)定的焦點和不穩(wěn)定的鞍點.

當λ=1時顯然滿足中心流形存在條件，故設(shè)存在中心流形

z=h（x，y）=h20x2+h11xy+h02y2+O（r3）

（2.3）

其中r=x2+y2.

將（2.3）代入hx·dxdt+hy·dydt=-hx2+y2-2xyh，有

（2h20x+h11y）（-y+ah20x3+ah11x2+ah02xy2）

+（h11x+2h02y）（x-ah20x2y-ah11xy2-ah02y3）+O（r5）

=-h20x2-h11xy-h02y2+x2+y2-2xy（h20x2+h11xy+h02y2）.

比較x2、y2及xy的系數(shù)，得到h11=-h20+1

-h11=-h02+1

-2h20+2h02=h11，解得h02=h20=1，h11=0.故有中心流形z=h（x，y）=x2+y2+O（r3），將其代入系統(tǒng)（2.1）的第一、二式，有

dxdt=-y-ax（x2+y2）-aO（r4），

dydt=x-ay（x2+y2）-aO（r4），

（2.4）

由于系統(tǒng)（2.1）與系統(tǒng)（2.4）的零解穩(wěn)定性相同，故對（2.4）的零解進行穩(wěn)定性分析即可.

在零點處的線性化矩陣=0 -1

1 0，特征值為λ=±i.

當a=0時，平衡點O（0，0）為中心，（2.4）零解為穩(wěn)定但非漸近穩(wěn)定的.

當a≠0時，取Liapunov函數(shù)V（x，y）=12（x2+y2），顯然V（x，y）是正定函數(shù)，沿系統(tǒng)（2.4）的解求全導(dǎo)數(shù)得到

dVdt=x（-y-ax（x2+y2））+y（x-ay（x2+y2））=-a（x2+y2）2.

故根據(jù)Liapunov穩(wěn)定性判定定理，可以知道，當a>0時dVdt<0，零解漸近穩(wěn)定，O（0，0）為穩(wěn)定的細焦點；當a<0時dVdt>0，零解不穩(wěn)定，O（0，0）為不穩(wěn)定的細焦點.

故對于系統(tǒng)（2.1）的平衡點O（0，0，0），在λ=0時，當a=0時為中心，零解為穩(wěn)定但非漸近穩(wěn)定的.由定理知，在原點鄰域內(nèi)的某一曲面上全是閉軌. 當a>0時，零解漸近穩(wěn)定，O（0，0）為穩(wěn)定的細焦點，當a<0時，零解不穩(wěn)定，O（0，0）為不穩(wěn)定的細焦點.由定理知，λ在小范圍內(nèi)變化時，存在極限環(huán).

3.食餌-捕食者系統(tǒng)的零解穩(wěn)定性及霍普夫分岔分析

這一部分將對一類正平衡點平移到原點后的兩種群非線性食餌-捕食者系統(tǒng)的零解穩(wěn)定性及霍普夫分岔情況進行討論.平移后，系統(tǒng)有

f（X，μ）=-y+λx+αxy1+x+y

x+λy+y2+αxy1+x+y，

（3.1）

此時，n=2，m=2，X=x

y，μ=λ

α.分離非線性項，系統(tǒng)變?yōu)?/p>

dXdt=λ -1

1 λX+f1

f2，

（3.2）

其中，f1=αxy1+x+y，f2=y2+αxy1+x+y為非線性項.

顯然，非線性項滿足定理的條件，則對于雙曲奇點非線性系統(tǒng)與線性系統(tǒng)奇點類型相同.O（0，0）為系統(tǒng)的平衡點.

對系統(tǒng)（3.1）的線性化系統(tǒng)進行分析，則A=λ -1

1-λ，得到A的特征值λ1，2=λ±i.當λ<0時，特征值實部都小于零，平衡點為穩(wěn)定的焦點；當λ>0時，特征值實部都大于零，平衡點為不穩(wěn)定焦點；

當λ=0時，做變換dτ=dt1+x+y，則系統(tǒng)變?yōu)?/p>

dxdτ=（-y）（1+x+y）+αxy=-y-y2+（α-1）xy，

dydτ=（x+y2）（1+x+y）+αxy=x+x2+y2

+（a+1）xy+xy2+y3.

（3.3）

用形式級數(shù)法對O（0，0）進行判斷.令

F（x，y）=x2+y2+F3（x，y）+F4（x，y）+…，

沿系統(tǒng)（3.1）的解求全導(dǎo)數(shù)得到

dFdt=（2x+F3x+F4x+…）[-y-y2+（α-1）xy]+（2y+F3y+F4y+…）[x+x2+y2+（α+1）xy+xy2+y3]

令dFdt=0，對三次項進行考察，有

-yFx+xF3y=-2y3-2αxy2-2αx2y，

（3.4）

進行極坐標變換，令F3（x，y）=r3Φ3（θ），對θ進行求導(dǎo)，

r3dΦ3（θ）dθ=F3θ=-rsinθF3x+rcosθF3y=-yF3x+xF3y，

（3.5）

由（3.4）和（3.5）式可以知道dΦ3（θ）dθ=-2sin3θ-2αcosθsin2θ-2αcos2θsinθ，積分有

Φ3（θ）=-23αsin3θ+23（α-1）cos3θ+2cosθ，

變回直角坐標系，故有

F3（x，y）=-23αy3+23（α-1）x3+2x（x2+y2）=-23αy3+2xy2+23（α+2）x3.

（3.6）

對四次項進行考察，有

-yF3x+xF4y

=F3x[y2-（α-1）xy]-F3y[x2+y2+（α+1）xy]-2y（xy2+y3）

2αy4+（2α2-4）xy3-2αx2y2-2α（α+1）x3y.

（3.7）

進行極坐標變換可以得到

dΦ4（θ）dθ

=4αsin4θ-2αsin2θ+（2α2-4）sin3θcosθ-2α（α+1）sinθcos3θ，

=α（cos22θ-cos2θ）+（2α2-4）sin3θcosθ-2α（α+1）sinθcos3θ，

=α1-cos4θ2-αcos2θ+（2α2-4）sin3θcosθ-2α（α+1）sinθcos3θ，

=12α+ψ*（θ）.

（3.8）

其中，ψ*（θ）以2π為周期，且∫2π0ψ*（θ）dθ=0.記ψ（θ）=12α+ψ*（θ）..

由于12α≠0，則（3.8）不存在以2π為周期的解.令

d（θ）dθ=ψ（θ）-12α，

（3.9）

則（3.9）不存在以2π為周期的解.故

f4（x，y）=r4（θ），

（3.10）

為4次齊次多項式，且

r4（θ）θ=r4ψ（θ）-12αr4，

（3.11）

將（3.11）式返回直角坐標系，得到

-yf4x+xf4y

=2αy4+（2α2-4）xy3-2αx2y2-2α（α+1）x3y-12α（x2+y2）2.

（3.12）

取

F*（x，y）=x2+y2+F3（x，y）+f4（x，y），

（3.13）

則有，

dF*dt=12α（x2+y2）2+o（r4），

（3.14）

所以，由（3.14）知，O（0，0）在的鄰域內(nèi)找到了一正定函數(shù)F*（x，y），系統(tǒng)（3.4）對t的導(dǎo)數(shù)為（3.14）.

故，由Liapunov穩(wěn)定性定理知，當λ=0時，若α>0時，零解不穩(wěn)定，O為一階不穩(wěn)定細焦點；當α<0時，零解漸近穩(wěn)定，O為一階穩(wěn)定細焦點.

由定理知，在α>0（α<0）時，對充分小的λ<0（λ>0），在O（0，0）的鄰域內(nèi)有漸近穩(wěn)定的極限環(huán).

由于原系統(tǒng)正平衡點的穩(wěn)定性與平移后原點的穩(wěn)定性相同，故當λ<0時，平衡點是穩(wěn)定的，故當兩種群數(shù)量在平衡點附近時，兩個種群的數(shù)量都將趨于這一點.又在α>0時，對充分小的λ<0，在平衡點的鄰域內(nèi)有漸近穩(wěn)定的極限環(huán)，則此時兩種群的數(shù)量可能會產(chǎn)生周期性的變化.

4.結(jié)論

本文對幾類非線性系統(tǒng)的非線性動力學(xué)特性進行了深入研究，對兩類二維和三維系統(tǒng)發(fā)生霍普夫分岔的參數(shù)條件進行了詳細的分析，應(yīng)用中心流行定理對系統(tǒng)進行降維約化，給出了系統(tǒng)產(chǎn)生霍普夫分岔的參數(shù)范圍。隨后對食餌-捕食者系統(tǒng)進行分析，得到了系統(tǒng)平衡點的穩(wěn)定性。

參考文獻：

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