淺議數學歸納法中的第一步

劉春玲

數學歸納法是初等數學中重要的數學方法，它是一種證明與正整數的關的命題的一種重要方法，是一種完全歸納法。大家都知道它的證明過程有二步，總結起來就是“遞推基礎不可少，歸納假設要用到，結論寫明莫忘掉”（n=k+1，及n∈N+時）。在證明過程中老師過多的強調第二步中利用歸納假設證明是關鍵，給學生造成一種錯覺，認為第一步“證明n取n0，命題成立”容易完成。其實，第一步的證明除了起到遞推基礎的作用之外，還有完整數學歸納法及點化第二步證明的作用，下面從四個方面加以說明：

一、n取n0時，n0必須是正整數

例1：求證對于整數n≥0，An=11n+2+122n+1能被133整除。

證明：（1）當時n=0，A0=112+121能被133整除，當n=1時，A1=113+123能被133整除。

（2）假設當n=K（K≥1）時，Ak=11k+2+122k+1能被133整除，那么證明n=k+1時，Ak+1=11（k+1）+2+122（k+1）+1也能被133整除……

此題用數學歸納法證明時，一定要注意歸納基礎是n0=1而不是n0=0。如果在（1）中不繼續驗證n=1命題成立，則在第二步遞推時會不自覺地增加一個隱含條件n≥1，這樣歸納基礎與歸納遞推就不是協同合作，違背數學歸納原則。

二、在證明不等式“≥”或“≤”命題中，必須考慮等號與不等號各自成立的n

例2：用數學歸納證明不等式2n+1≥n2+n+2（n∈N）

證明：（1）當n=1時，左邊=22=4，右邊=12+1+2=4，等號成立；當n=2時，左邊=22+1=8，右邊=22+2+2=8，等號成立；當n=3時，左邊=23+1=16，右邊=32+3+2=14，大于等號成立。

由此可知n=1或n=2時等號成立，猜想在n≥3時，2n+1﹥n2+n+2成立。則下面歸納假設n=k命題成立時，應有n=k（k≥3），即n0為n0=3而不是k≥1，n0=1。

=5/4，右邊=2-1/2=3/2

而當錯誤地寫為n=n0=2時左邊=1，右邊=2-1/2=3/2時，此時仍然有左<右，但這時n取n0命題成立已不是原命題成立的基礎，則下面的證明其正確性就得不到保證。

四、四適當變換n0值會給第二步證明提供思路

例8：試對任意n個復數都有r1（co sθ1+i si nθ1） r2（cosθ2+isinθ2）……rn（cosθn+isinθn）=r1r2…rn[（cos（θ1+θ2+…θn）+isin（θ1+θ2+…θn））]

證明：（1）當n=1時，等式顯然成立。

當n=2時有

r1（cosθ1+isinθ1）×r2（cosθ2+isinθ2）

=r1 r2 （cosθ1 cosθ2）-sinθ1sinθ2+isinθ1cosθ2+icosθ1sinθ2）

=r1r2[（cos（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）]

（2）假設當n=k（k≥2，k∈N）時等號成立，

即：r1（ c o sθ1+ i s i nθ1） r2（ c o sθ2+ i s i nθ2）…rk（cosθk+isinθk）

=r1r2…rk[cos（θ1+θ2+…θk）+isin（θ1+θ2+…θk）]

則當n=k+1時，r1（cosθ1+isinθ1）r2（cosθ2+isinθ2）… rk（cosθk+isinθk）rk+1（cosθk+1+isinθk+1）

=r1r2…rk[cos（θ1+θ2+…θk）+isin（θ1+θ2+…θk）] rk+1（cosθk+1+isinθk+1）

=r1r2…rkrk+1[cos（θ1+θ2+…θk+θk+1）+isin（θ1+θ2+…θk+θk+1）]

即當n=k+1時，命題也成立，由（1）（2）可知對任意n∈N+命題都成立。

本題在證明了n=1后，又繼續證明了n=2等式成立，這種起點后移簡化了第二步的證明。

由以上四種情況我們可以看到對n初始值的證明，不僅僅是起遞推基礎的作用，它還完整數學歸納法和為第二步驟證明提供思路和方法的作用。故第一步驟的證明不但不能忽略，而更應重視第一步的證明。