一道習題的拓展與延伸

黃愛國

摘 要：數學學習整體是比較抽象與枯燥的，不少學生缺乏學習興趣。在學習中，如何把枯燥的變成有趣的，是擺在每個教師眼前的重要課題，通過引領學生對課本中一道習題的變化，讓學生經歷題目從簡單到復雜一步一步地延伸，及對條件的不斷前移、植入，產生新的題目，引導學生的思維逐步深入，拉長了學生的思維鏈，既摒棄了傳統的題海戰術，也促進了學生數學思維向深層發展，讓學生在變化中體會到數學內在美的魅力，從內心激發學生的興趣。

關鍵詞：一題多變；思維深度；類比；聯想；配方法；內在美

在數學學習中，我們經常用一題多變、一題多解來訓練學生的解題思路，如果能經常讓學生體會一題多變，可以讓學生更深入地掌握數學方法，拓寬學生的思維。下面僅以初一一道練習題為例給予說明。

原題：已知a-2b=4，ab=8，求a2+4b2的值。

解：a2+4b2

=（a-2b）2+4ab

=42+32

=48

分析：原題就是直接利用配方法求代數式的值。

變式1：條件不變，求（a+2b）2的值。

解：（a+2b）2

=a2+4b2+4ab

=（a-2b）2+8ab

=80

分析：此題的結論是在前一個基礎上增加一個先展開，然后再配方，有一個公式的正逆運用，比原題更進一步。

變式2：條件不變，求a4+16b4的值。

解：a4+16b4

=（a2+4b2）2-8a2b2

=［（a-2b）2+4ab］2-8a2b2

=1792

分析：此題是在原題的基礎上增加了二次配方，顯然離條件更遠，引導學生思維進一步深入。

變式3：若把條件前移，結論不變，則此題可變為：

已知│ab-8│+（a-2b-4）2=0，求a2+4b2的值。

解：根據題意得：a-2b=4，ab=8

（其余做法同原題）

分析：此題與原題相比，是把條件隱含了，需自己創造求值的條件。

變式4：已知│ab-8│+（a-2b-4）2=0，求a4+16b4的值。

解：（是變式2與變式3的結合）

分析：不難發現，此題的變化實際是條件與結論向兩邊延伸，把思維鏈拉長，拓寬了思維空間，考驗學生的思維深度，是我們數學題變化的主要方法。

變式5：已知│ab-8│+（a-2b-4）2=0，求（a2-4b2）（a2b+2ab2）的值。

解：根據題意得：a-2b=4，ab=8

（a2-4b2）（a2b+2ab2）

=（a-2b）（a+2b）·ab（a+2b）

=ab（a-2b）［（a-2b）2+8ab］

=2560

分析：此題實際是在條件不變的情況下，在結論中植入了乘法分配律和平方差公式兩個知識點，使整個題上升到一個新的層次。

通過以上幾例可以看出，變式1、2都是結論的不斷深入，變式3是條件前移，變式4是把以上二者相結合，而變式5是在原題的基礎上植入新的知識點，他們無論怎樣變化，歸根結底都需要配方法來解決問題。

以上幾個小題通過把條件前移與結論延伸相結合，由淺入深，開闊了學生的視野，讓學生在做題中體會到數學內在的變化美，提升了學生的學習興趣；也教給學生在學習過程中注意類比、聯想，找出題目之間內在的聯系，從深層去理解問題，學會思考。

編輯 孫玲娟