三角數(shù)字在規(guī)律題中的應(yīng)用

郭小蔚

摘 要：當(dāng)今的初中數(shù)學(xué)考試，經(jīng)常會出現(xiàn)數(shù)列的找規(guī)律題，本文主要結(jié)合教學(xué)實踐從利用三角數(shù)字及其倍數(shù)在規(guī)律題中的應(yīng)用進(jìn)行了探索.

關(guān)健詞：三角數(shù)字倍數(shù)；規(guī)律

一、認(rèn)識三角數(shù)字

古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來研究數(shù).如圖1所示的1， 3， 6， 10， 15， 21， 28， 36， 45， 55， 66， 78…由于這些數(shù)能夠表示成三角形，于是將其稱為三角形數(shù)，這列數(shù)字是由1，1+2，1+2+3，1+2+3+4，…組成的.它們是畢達(dá)哥拉斯青年兄弟會發(fā)誓保守的秘密之一：1，3，6，10 ， ….畢達(dá)哥拉斯和門徒們發(fā)現(xiàn)了三角數(shù)的一個性質(zhì)：任意兩個連續(xù)三角數(shù)的和是一個平方數(shù).無獨(dú)有偶，宋朝數(shù)學(xué)家楊輝的：“今有圭垛草一堆，頂上一束，底闊八束.問共幾束？答：36束.”也是用這方法找出Sn的值.打過保齡球嗎？ 保齡球球瓶排列方式就是一個三角數(shù)喔！這組數(shù)據(jù)在初中數(shù)學(xué)中還是挺經(jīng)常出現(xiàn)的.

（一）三角數(shù)字在實際問題中的應(yīng)用

應(yīng)用1：用三角數(shù)字可以解決初中數(shù)學(xué)中的握手問題：2個人握手共握1次，3個人握手共握3次，4個人握手共握6次，n個人共握 次手.

1，3，6，10 ， …，.

應(yīng)用2：一次羽毛球賽中，有8個隊伍，如果進(jìn)行循環(huán)賽需比賽幾場？如果進(jìn)行淘汰賽需比賽幾場？

解：進(jìn)行循環(huán)賽需比賽：8×7÷2=28場，

進(jìn)行淘汰賽需比賽：8-1=7場.

（二）三角數(shù)字在幾何中應(yīng)用

應(yīng)用3：如圖2，兩個點(diǎn)之間有一條線段，不在同一直線上的3個點(diǎn)之間有3條線段，用n表示點(diǎn)數(shù)，用s表示線段的條數(shù)，根據(jù)下列各圖的排列規(guī)律，猜一猜，s與n之間的關(guān)系是

n=2， n=3， n=4， n=5， n=6，…

s=1， s=3， s=6， s=10， s=15，…

S=.

應(yīng)用4：（《頂尖課課練》七年級上冊P115）找規(guī)律：

（1）若直線l上有1個點(diǎn)，則該圖形中有 線段.

（2）若直線l上有2個點(diǎn)，則該圖形中有 線段.

（3）若直線l上有3個點(diǎn)，則該圖形中有 線段.

（4）若直線l上有4個點(diǎn)，則該圖形中有 線段.

（5）若直線l上有n個點(diǎn)，則該圖形中有 線段.

解：（1）若直線l上有1個點(diǎn)，則該圖形中有 0 線段.

（2）若直線l上有2個點(diǎn)，則該圖形中有 1 線段.

（3）若直線l上有3個點(diǎn)，則該圖形中有 3 線段.

（4）若直線l上有4個點(diǎn)，則該圖形中有 6 線段.

（5）若直線l上有n個點(diǎn)，則該圖形中有 線段.

應(yīng)用5：（《頂尖課課練》七年級上冊P115第10題）

如圖3，在同一平面內(nèi)，3條直線兩兩相交，最多有3個交點(diǎn)，那么4條直線兩兩相交，最多有 條交點(diǎn)，8條直線兩兩相交，最多有 個交點(diǎn).

答：4條直線兩兩相交，最多有 6 條交點(diǎn)，8條直線兩兩相交，最多有 28 個交點(diǎn).

應(yīng)用6：（《頂尖課課練》七年級上冊P120第9題）

（1）在∠AOB的內(nèi)部，以點(diǎn)O為端點(diǎn)引1條射線，所得的圖形共有 個角；

（2）在∠AOB的內(nèi)部，以點(diǎn)O為端點(diǎn)引2條射線，所得的圖形共有 個角；

（3）在∠AOB的內(nèi)部，以點(diǎn)O為端點(diǎn)引3條射線，所得的圖形共有 個角；

（4）在∠AOB的內(nèi)部，以點(diǎn)O為端點(diǎn)引4條射線，所得的圖形共有 個角；

（5）在∠AOB的內(nèi)部，以點(diǎn)O為端點(diǎn)引n條射線，所得的圖形共有 個角.

解析：（1）3；（2）6；（3）10；（4）15；（5）.

二、利用三角數(shù)字的倍數(shù)關(guān)系解題

（一）三角數(shù)字的2倍

把三角數(shù)字1，3，6，10 ， …中每個數(shù)字?jǐn)U大一倍就得到：

1×2，2×3，3×4，5×6，… n（n+1）.

即：2，6， 12， 30， … n（n+1）.

應(yīng)用1：觀察下面一列數(shù)：，-，，-，…請找出其中的規(guī)律，并按此規(guī)律填空：第9個數(shù)是 ，第14個數(shù)是 ，若n是大于0的整數(shù)，按上面排列的規(guī)律，則第n個數(shù)為 .

解析：把這組數(shù)據(jù)中的-變成-就可以得到這組數(shù)列：

，-，，-…

就可以用三角數(shù)字的兩倍解題了，第9個數(shù)是，第14個數(shù)是-.若n是大于0的整數(shù)，按上面排列的規(guī)律，則第n個數(shù)為（-1）n+1

應(yīng)用2：（互贈禮物問題）2個人互贈禮物共需2件禮物，3個人互贈禮物共需6件禮物，n個人互贈禮物共需 n（n+1） 件禮物.

（二）三角數(shù)字的3倍

三角數(shù)字1，3，6，10 ， …中每個數(shù)字都乘以3就得到：

3，9，18， 30， 45，…

應(yīng)用3：（八上《一課三練單元達(dá)標(biāo)測試》P59第7（3））

如圖4是用火柴棍擺出的一列三角形圖案，按這種方式擺下去火柴棍數(shù)y與所擺圖案的層數(shù)x之間的關(guān)系可通過表1來探究.

表1

由此可得到y(tǒng)與x的函數(shù)關(guān)系式是：y=.

應(yīng)用4：（《頂尖課課練》七年級上冊P107）平面內(nèi)不重合的兩點(diǎn)確定一條直線，不同三點(diǎn)最多可以確定3條直線，若平面上不同的n個點(diǎn)最多可確定21條直線，則n的值為（ ）.

A. 5 B. 6 C. 7 D. 8

（三）三角數(shù)字的4倍

4，12，24，40，60 …是按什么規(guī)律排的？

應(yīng)用5：如圖5是用火柴棍擺成的邊長分別是1，2，3根火柴棍時的正方形.當(dāng)邊長為n根火柴棍時，設(shè)擺出的正方形所用的火柴棍的根數(shù)為s，則s=

解析：

規(guī)律1：1×4，2×6，3×8，4×10，5×12…

所以：第n項是n×（n+1）×2=2n（n+1）.

規(guī)律2：1×4，3×4，6×4，10×4，15×4…

所以：第n項是 =2n（n+1）.

數(shù)學(xué)記憶與數(shù)學(xué)理解在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要性隨著新課程改革悄然發(fā)生著變化，記住三角數(shù)字規(guī)律及其倍數(shù)，對于類似習(xí)題就可一目了然，提高解題速度，節(jié)約大量的解題時間，快捷求解！

參考文獻(xiàn)：

[1]鄭煒，陳曉紅.頂尖課課練（七年級）上冊[M].福州：福建人民出版社，2012.

[2]嚴(yán)軍.一課三練單元達(dá)標(biāo)測試（八年級）上冊[M].北京：中國少年兒童出版社，2012.