“幾何直觀”在一次函數實際問題中應用的探究

潘天平

摘 要：幾何直觀就是依托、利用圖形進行思考和想象.這里所指的直觀不僅僅是直接看到的幾何圖象，更重要的是依托現在看到的和以前看到的圖象進行思考、想象.一次函數是學生所認識的第一類函數，它的實際問題的應用也是學習重點和難點，本文所闡述的內容就是如何應用“幾何直觀”來解決相關問題.

關鍵詞：幾何直觀；解決；一次函數；實際問題

一次函數是學生所認識的第一類函數，它的實際問題的應用是學習的重點和難點，從課標中相應內容的四維目標來看，對學生提出了較高的要求，而且如果學生掌握了函數圖形進行分析的能力和技巧，必將對今后學好其他類型的函數知識提供經驗和幫助.從一次函數的實際問題的課堂教學情況來看，學生在分析問題時顯得較為吃力，特別是在數學建模時，往往著重于從“數”的角度入手而忽視于“形”.20世紀偉大的數學家希爾伯特在其巨著《直觀幾何》一書中談到：圖形可以幫助我們尋求解決問題的思路；可以幫助我們理解和記憶得到的結果.幾何直觀就是依托、利用圖形進行思考和想象.這里所指的直觀不僅僅是直接看到的幾何圖象，更重要的是依托現在看到的和以前看到的圖象進行思考、想象 [1 ].借助幾何直觀可以使復雜的數學問題簡明、形象，也有助于探索解決問題的思路，預測結果.而圖象是函數的一種重要的呈現方式，很多圖象內在隱含的本質也已直觀呈現，引導學生學會分析已呈現的函數本質特征，可為解決一次函數的實際應用的問題提供很大幫助.在一次函數實際問題的教學中，幾何直觀可以應用在以下幾種常見的題型中.

一、關于當運動的速度為勻速時，路程與時間的函數關系的實際應用的題型

在一次函數的圖象信息題中，路程問題是比較常見的題型，其圖象的直觀性尤為明顯：自變量時間為0時其對應的圖象的點即為出發點，時間終止時其對應的圖象的點即為終點.當運動的速度為勻速時，其圖象為直線，兩條直線的交點能明晰地體現運動者相遇的時間和地點.正是因為有這些鮮明的直觀性，很多路程的問題都可借助函數圖象來解決.

案例1：甲、乙兩輛摩托車從相距20公里的A，B兩地相向而行，如圖1，l1，l2分別表示甲、乙兩輛摩托車離開A地的距離s（km）與行駛時間t（h）之間的函數關系.

（1）哪輛摩托車的速度較快？

（2）經過多長時間，甲車行駛到A，B兩地的中點？

（3）經過多長時間，兩車相距5 km？

分析：在思考第（3）小題的解題思路時，可以從“數”的角度去解決：這是一個路程方面的相遇問題，乙車速度=20/0.5=40 km/h，兩車第一次相距5km時，兩車共走了20-5=15km，則經過的時間為15/（40+100/3）=9/44 小時；兩車第二次相距5km時，兩車共走了20+5=25km，則經過的時間為25/（40+100/3）=15/44 小時.

上述解法是數學邏輯思維在實際問題中的一個很好的應用，但是學會用圖形思考、想象問題來研究數學，也是學習數學的基本能力.此題還可以引導學生觀察直觀的函數圖形想到：可以把直線l1，l2的函數解析式分別求出來：y1=-40x+20，y2=（100/3）x，設時間為a小時時兩車相距5 km，把a分別代入這兩個函數關系式，求得對應函數值即縱坐標為：-40a+20和（100/3）a，根據兩車相距5 km可列出|（-40a+20）-（100/3）a|=5，從而求得a的值，即時間值也就相應求出了.雖然學生剛開始學習函數的內容，還不太習慣這種解法，但在評析這個問題時，通過展示和比較這兩種解法，學生可以感受到后一種解法的直觀和簡便.在平時的教學中，學生邏輯推理能力和幾何直觀能力應共同培養，讓學生體驗解決問題方法的多樣性，這樣才能更好地培養學生的創新意識.

二、物體的存儲或積蓄總量隨時間的變化而變化的函數關系的實際應用的題型

這種題型的函數圖像呈現的直觀性是：在函數圖像中可明晰的看出在某一時刻物體的存儲或積蓄總量.學生如果能利用好圖形，則可以從整體上把握或求出物體存儲或積蓄總量高于或低于某個量時的相應時間段，對完善學生的數學思維提供極大的幫助.

案例2：一個有進水管與出水管的容器，從某時刻開始的3分鐘內只進水不出水，在隨后的9分鐘內既進水又出水，每分鐘的進水量和出水量都是常數.容器內的水量y（單位：升）與時間x（單位：分）之間的關系如圖2所示.當容器內的水量大于5升時，求時間x的取值范圍.

這一題從“形”的角度看，y=5時有兩個不同的一次函數組成的分段函數的圖象中的相同函數值，把此值代入相應的兩個函數解析式中，求出對應的自變量的值，即橫坐標的值，再求出這兩個橫坐標的差值即可.從圖（2）可以直觀的看出，當y等于5時，對應的x的值有兩個，即當容器內的水量大于5升時，時間x的取值范圍就介于這兩個值之間.借助于恰當的圖形幾何模型進行解釋，能夠啟迪思路，幫助學生理解和接受抽象的內容和方法 [2 ].

三、在不同的分段函數中，針對某一個自變量的值或范圍，比較相對應的各函數值的大小的題型

在《一次函數與方程、不等式》這節教學內容中，求解方程（組）或不等式就是通過 “形”來解決的，讓學生感受到用“形”解決“數”的問題的直觀性，但是在教學中也有不少學生在抱怨，他們認為：用七年級所學的方法去解方程（組）或不等式就可以了，為什么偏偏要繞到“形”中去解決，不是把簡單的問題復雜化了？事實上，在實際應用的問題中，特別是分段函數的實際應用的問題，如果能用這種直觀思想，則復雜的問題可以得到很好地解決.

案例3：人教版一次函數這一章中的第3節《課題學習 選擇方案》的問題1是關于對上網收費的不同方案進行合理選擇的問題，在建模時共列出了三個一次函數，其中列出的兩個函數是分段函數，如果是從“數”的角度去判斷的話，要比較yA、yB、yC的大小則要求解多個方程和不等式才能解決，其思路和運算步驟都非常繁瑣，這無形中會給學生在學習上帶來巨大的思想壓力，但如果將這三個函數圖像在同一直角坐標系中畫出，如圖3，根據《一次函數與方程、不等式》所學的知識，以交點為分界，在交點的兩側，利用結論：誰的圖象比較高，誰的函數值就比較大，即相對應方案的收費就比較貴，反之即較便宜，就非常輕松地把問題解決了.幾何直觀有助于將抽象的數學對象直觀化、顯性化，因而尋找數學對象的直觀模型是有效發揮幾何直觀的重要環節之一，這種解法正是利用了直觀模型，真正把握了學生的“最近發展區”，找準真實的數學起點，為學生提升解決問題的能力，正確理解數學本質奠定了基礎.

四、利用題目所給的條件，為已有的圖形補充完善其直觀性，從而為解決實際問題提供更直觀幫助的題型

案例4：如圖4，點p（x，y）在第一象限，且x+y=8，點A的坐標為（6，0），設△OPA的面積為S.

（1）用含x的解析式表示S，寫出x的取值范圍，畫出函數S的圖象；

（2）當點P的橫坐標為5時，△OPA的面積為多少？

（3）△OPA的面積能大于24嗎？為什么？

這一題如果僅僅從數的角度去分析題目，會給學生造成很茫然的感覺：點P只是在第一象限上的任意一點，除了這個之外，它還有什么其它特性？就題目所給的圖（圖4），對列函數關系式及求自變量的取值范圍作用不大.隨著幾何直觀在平面直角坐標系中的應用的能力的提升，如果能把題目所給的條件與以前學到的知識結合起來，通過思考想象猜想出一些可能的結論和論證思路，這是在平時的教學中應不斷培養的數學解題能力和思維，這一題由x+y=8想到函數y=-x+8，即意味著點P不僅在第一象限，而且它還是直線y=-x+8的圖象上的一個動點，補充完善該圖形，如圖5，從動態的角度去看點P的運動軌跡，則很清晰地知道自變量的取值范圍應是什么，當x=5時，點P應在什么位置也一目了然，此時△OPA的面積顯然不可能大于24.這題正是因為利用了題目的條件給原有的圖形增加了直觀性，讓要解決的問題在圖中直觀呈現和清晰易懂了.在平時的教學中應該建立和培養對數學的感悟、觀念、意識、思想、能力，它們是學生在義務教育階段數學課程最應培養的數學素養，這對學生的發展起著重要的作用.

總之，幾何直觀從不同程度上直接體現了數學的抽象、推理和模型的基本思想的要求，而圖象是一次函數的一種主要表現形式，在解決實際應用的問題中，通過一次函數的圖象思考到了什么？想到了什么？這是數學非常重要而有價值的思維方式.當然，幾何直觀僅僅是在一次函數的實際應用這個舞臺中的一個亮點，我們在解決一次函數的實際問題中，不能只關注一方而忽視另一方，只有從這兩個角度去認識數學，培養對這兩者之間的化歸和轉化意識，培養學生的空間觀念與推理能力，促進合情推理能力與邏輯推理能力協調發展 [3 ]，才能促進學生的全面發展.

參考文獻：

[1]教育部基礎教育課程教材專家工作委員會.義務教育數學課程標準（2011年版）解讀 [M].北京：北京師范大學出版社，2012：93.

[2]孔凡哲，史寧中.關于幾何直觀的含義與表現形式 [J].課程·教材·教法，2012（7）：92～97.

[3]張和平，朱燦梅.新課程背景下初中幾何直觀性水平探析 [J].貴州教育學院學報（自然科學），2007，4（2）：23～27.