伯努利方程及其應(yīng)用

趙昌友

（亳州職業(yè)技術(shù)學(xué)院 電子與電氣工程系，安徽 亳州236800）

1 伯努利方程的推導(dǎo)

伯努利方程實質(zhì)為理想流體機(jī)械能守恒方程，是在有勢體積力作用下，作定常運動時，運動方程沿流線積分而得到的。在理想條件下，同一流管的任何一個截面處，單位體積流體的動能、勢能和壓強(qiáng)能之和是一個常量。該方程是著名的瑞士科學(xué)家伯努利（Bernoulli）提出而得名[1]，下面根據(jù)牛頓第二定律對其方程進(jìn)行簡單推導(dǎo)。

圖1 體積受力分析示意

圖2 風(fēng)機(jī)在網(wǎng)格中示意圖

如圖1所示取一微體積，作用在微體上的力有壓力和體積力，對于x方向

（1）式中，第一、二項為壓力，第三項為體積力，化簡

把（2）、（3）、（4）三式相加化簡可得，

這就是伯努利方程數(shù)學(xué)表達(dá)形式，遵守理想流體作定常流動能量守恒，其勢能、壓強(qiáng)能及動能可相互轉(zhuǎn)換[2]。

2 伯努利方程的應(yīng)用

2.1 礦山通風(fēng)機(jī)工況點確定

如圖2所示，在通風(fēng)網(wǎng)絡(luò)上有三個斷面A、B、C，分別為進(jìn)風(fēng)斷面、通風(fēng)機(jī)入口、出口斷面，進(jìn)風(fēng)面的壓力大氣壓為P0，風(fēng)速約為0，風(fēng)機(jī)入口面壓力為 P2，風(fēng)速為V2，出口面壓力大氣壓為P0，風(fēng)速為V3，根據(jù)伯努利方程可得，

h為通風(fēng)網(wǎng)絡(luò)阻力損失，H為通風(fēng)機(jī)風(fēng)壓。風(fēng)機(jī)產(chǎn)生的壓力一部分用于風(fēng)力阻力，一部分以速度能形式消耗于空氣中，通風(fēng)阻力消耗分為沿程阻力損失和局部阻力損失，其中通風(fēng)阻力損失

S為通風(fēng)過流斷面積，L為巷道長度，di為直徑，為阻力系統(tǒng)， 局部阻力系統(tǒng)和，Q為流量。通風(fēng)網(wǎng)絡(luò)全阻力特性方程為

通過（11）可得全阻力上升的特性曲線，通風(fēng)機(jī)的風(fēng)壓特性曲線是單調(diào)下降的。在同一坐標(biāo)下，通風(fēng)機(jī)風(fēng)壓特性曲線與網(wǎng)絡(luò)特性曲線有個交點為工況點，圖3所示，M為軸流式通風(fēng)機(jī)工況點，M'為離心式通風(fēng)工況點，通過工況點查相應(yīng)工況參數(shù)，如風(fēng)量，靜壓、軸功率等。

圖3 通風(fēng)機(jī)工況點

圖4 空吸作用示意圖

2.2 .氣流管道中的冷卻

常溫下空氣的密度為ρ=1.29千克/米3，n=2.44×1025/m3，k=1.38×10-23，假設(shè) V1=1m/s，

對于不同的氣體，上式中的常數(shù)是不一樣的，水平管道中橫截面的不同，定常流動的流體經(jīng)過兩點的溫差列表如表1：

表1 速度與溫差關(guān)系

從表1中可以看出，當(dāng)氣體的流速非常大時，速度大的位置溫度會下降較大，從而可實現(xiàn)局部空間的冷卻作用[5]。

2.3 管道中液體流動時空吸作用

如圖4所示，E容器的液體由于壓力作用會流到D容器中，在水平管位置A地方設(shè)有一個細(xì)小分支，下方連著容器C。根據(jù)伯努利方程對流體的運行狀況展開分析，以出口F為零勢能參考面，則水槽E具有一定高度，相對于參考面其高度為h，設(shè)從F出口流出液體速度為VF，經(jīng)過細(xì)管A處的流速為 VA，F(xiàn)、A、B 點的壓強(qiáng)分別為 PF、PA、PB，

由于B、F處與大氣相通，PB=PF=P0，假定E容器的流體比較多，短時間內(nèi)液體幾乎不下降，流體在流管里作穩(wěn)定流動，管道中各處的流量是相等的，Q=VS，在F、A兩個地點，得出表達(dá)式，

根據(jù)伯努利方程表達(dá)式，化簡可得，

A處低于大氣壓，處于負(fù)壓狀態(tài)，所以液體不會從A處流入到C容器，反而是C中的液體會被吸入到水平管道中，再流入到D容器中，這就是所謂的空吸現(xiàn)象。在實際生產(chǎn)中噴霧器、內(nèi)燃機(jī)里的汽化器、水流抽氣機(jī)就是根據(jù)這個原理設(shè)計生產(chǎn)的[6]。

3 小結(jié)

利用伯努利方程原理生產(chǎn)的設(shè)備，為我們的生活和生產(chǎn)帶來了方便和快捷，其應(yīng)用涉及到各個領(lǐng)域，農(nóng)業(yè)中一些地區(qū)可用虹吸管引高位河中水進(jìn)行灌溉；醫(yī)學(xué)上根據(jù)其原理生產(chǎn)的洗胃器方便對中毒者進(jìn)行搶救；尿素工業(yè)生產(chǎn)中應(yīng)用原理裝置提高尿合成液分離效果；對污水處理單位，首先建立數(shù)學(xué)模型，分析處理的影響因素，確定改造思路，提高處理的效果和速度，減少污水重復(fù)處理量，節(jié)約經(jīng)費。如果遇到粘性較大的流體，必須考慮其粘性對方程能量的影響加以修正[7]。

[1]潘百年.物理學(xué)[M].北京:中國醫(yī)藥科技出版社,2001.

[2]陳燕黎.伯努利方程的原理及運用淺析[J].漯河職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報 ,2012（2）：86-88.

[3]王志甫.礦山機(jī)械[M].徐州:中國礦業(yè)大學(xué)出版社.2009.

[4]董剛.劉勇.伯努利方程在塔三聯(lián)污水處理系統(tǒng)系統(tǒng)改造中應(yīng)用[J].化學(xué)工程與設(shè)備,2012（12）:213-215.

[5]郭嘉泰.伯努利方程的應(yīng)用冷涼作用[J].數(shù)理醫(yī)學(xué)雜志,2008，（3）：373-374.

[6]王世斌.伯努利方程在機(jī)房制冷中的應(yīng)用[J].金融科技時代,2011（3）：98-100.

[7]陳群挺.生活中伯努利定律的應(yīng)用[J].網(wǎng)友世界,2012（11）：61-62.