多孔瀝青混合料粘彈塑性損傷模型

易軍艷，SHEN Shihui，MUHUNTHAN Balasingam，馮德成

(1.哈爾濱工業大學交通科學與工程學院，150090 哈爾濱;2.華盛頓州立大學土木與環境工程學院，99164 美國華盛頓州)

多孔瀝青混合料粘彈塑性損傷模型

易軍艷1，SHEN Shihui2，MUHUNTHAN Balasingam2，馮德成1

(1.哈爾濱工業大學交通科學與工程學院，150090 哈爾濱;2.華盛頓州立大學土木與環境工程學院，99164 美國華盛頓州)

為合理描述多孔瀝青混合料在中低溫度外界荷載作用下的力學特性，基于增量型本構方程，采用Weibull損傷函數、廣義Maxwell粘彈模型與D-P塑性模型，構建了粘彈塑性損傷模型.以此模型為分析手段，對不同溫度和加載速率下的單軸壓縮應力-應變曲線進行擬合，并分析溫度與加載速率對模型參數的影響規律.分析結果表明:多孔瀝青混合料粘彈參數隨著溫度的降低逐步退化成彈性參數，塑性模型中的體積模量和剪切模量也隨溫度呈現出明顯的粘彈特性，塑性應變產生時對應的應變值與損傷應變闕值基本保持一致，溫度及加載速率對于混合料的損傷擴展也有顯著影響.構建的理論模型可以有效表征多孔瀝青混合料在常溫和低溫下受荷時的力學損傷特性.

道路工程;多孔瀝青混合料;粘彈性;塑性;損傷

由于抗滑、降噪、雨天行駛安全等優點，多孔瀝青混合料愈來愈得到國內外道路工作者的重視［1-3］.但是，由于空隙較大，容易堵塞，且由于結構組成與常規密級配瀝青混合料不同，強度僅靠內摩阻力與相對更弱的粘聚力提供，耐久性問題一直是制約多孔瀝青混合料進一步應用的瓶頸，尤其在季節性冰凍地區使用規模更小［4-8］.多孔瀝青混合料是一種典型的粘彈性材料，在常溫下受荷后瀝青或膠漿可以通過松弛作用消散掉部分應力.但當溫度降低時，瀝青類材料逐步開始顯示出彈脆性，一旦破壞就會導致嚴重的結構松散［9-10］.

鑒于多孔瀝青混合料的以上特點，在季凍區應用時首先需要明確其力學特性與損傷機制.目前對材料的損傷機理研究可通過宏微觀分析試驗手段得到，如圖像處理、工業 CT掃描技術等［11-12］.此外，理論模型也可用于損傷特性分析［13-14］.但是，以往的模型分析大多試驗溫度為中高溫，對于多孔瀝青混合料在較低溫度下的損傷特點，國內外研究仍較少涉及.

由此，本文基于粘彈塑性損傷模型，對多孔瀝青混合料在季節性冰凍地區最不利季節的溫度作用下力學行為進行分析，以期更好地理解其破壞特性，為進一步的應用提供參考.

1 粘彈塑性損傷本構方程

在構建本構方程之前，作如下假設:1)假設多孔瀝青混合料初始損傷為0;2)多孔瀝青混合料的損傷主軸與應力主軸和應變主軸重合.

1.1 損傷模型

瀝青混合料在成型后內部結構即存在不同程度的缺陷與裂紋，盡管這些缺陷與裂紋在混合料內部是離散分布的，但在連續損傷力學中，材料的這些缺陷可使用連續的內部損傷場變量表示.在巖土及路面領域的研究中，Weibull分布函數被一些學者用以描述材料內部的損傷過程，其表達式［13-14］為

其中:m，n為模型參數，γ為損傷時應變門檻值.

假設損傷因子D變化率滿足Weibull分布，即dD/dε=φ(ε)，則損傷因子可寫為

在本文中，引入損傷力學中的有效應力概念，即

1.2 粘彈性模型

國內外一般使用簡單的機械模型組合來描述瀝青混合料的粘彈特性，如 Burgers、Kelvin、Maxwell和廣義Maxwell模型等.本文對多孔瀝青混合料進行單軸壓縮試驗，采用的是位移控制模式，即保持應變速率不變，探討應力隨時間與應變的變化情況.已有研究表明，廣義Maxwell模型適用于描述恒應變率加載下的材料粘彈性為.為簡化模型參數，選擇2個Maxwell模型與1個彈簧并聯，模型如圖1所示.

圖1 廣義Maxwell模型

該模型的連續方程可使用積分形式表示［15］為

式中:t1、t2為松弛時間，t1=λ1/E1，t2=λ2/E2;˙ε為應變率;G 為松弛模量，MPa;E0、E1、E2為彈性模量分量;λ1、λ2為粘度分量.

積分型本構方程當進行數據擬合時，需對其離散化，即構建增量型本構方程，因此改寫式(4)為

其中:σ2為由λ1、E1組成的 Maxwell模型應力，σ3為由λ2、E2組成的Maxwell模型應力，σ為模型整體應力.

1.3 塑性模型

在選擇塑性模型時，現有常用的屈服函數包括 Tresca、Von Mises、Mohr-Coulomb 與 Drucker-Prager屈服準則等.其中Tresca屈服函數即為最大剪應力理論，其函數曲線存在尖角，不利于數值計算，這也是Mohr-Coulomb屈服函數的問題.因此最終屈服函數選擇應用廣泛的Drucker-Prager模型，該模型屈服函數在π平面的投影為光滑連續的圓形，且考慮了靜水壓力的影響.其屈服函數形式為［16］

其中:I1為第一主應力張量不變量，J2為第二偏應力張量不變量，k為各向同性硬化參數為累計塑性應變，a為模型參數.

在屈服面上，df=0，即上式可寫為

在選取塑性流動規則時，已有研究表明瀝青混合料的力學行為符合非關聯流動法則［17-19］，即塑性勢函數g并不等于屈服函數f.為了得到非關聯塑性模型，Drucker-Prager塑性勢函數采用與屈服函數類似的結構形式，僅將其中的參數a變為參數 b，有

因此，流動法則可表示為

式中:H為硬化模量，dλ為正比例標量，δij為克羅內克符號，Cijkl為彈性常數張量.

如前所述，為了更好地驗證模型，引入有效應力與有效應變的概念.對于本文的驗證試驗，加載模式為單軸壓縮.因此有效應力ˉσe可表示為

而有效塑性應變可用增量形式表達為

其中:G為剪切模量，MPa;K為體積彈性模量，MPa.

2 試 驗

2.1 試驗材料

試驗用集料為玄武巖，其粗集料技術指標為:針片狀含量10.1%，小于0.075 mm的顆粒的質量分數為 0.3%，壓碎值 10.0%，粘附性等級為4級.

瀝青為橡膠瀝青，其25℃針入度為62.3(0.1 mm)，軟化點 θR＆B為 63.6 ℃，RTFOT 后殘留針入度比為61.1%，180 ℃粘度為2.31 Pa·s，25℃彈性恢復86.3.

試驗多孔瀝青混合料參考公路行業規范推薦級配范圍，經過對比體積指標與性能要求確定級配［20］.其關鍵篩孔通過率如下:16 mm篩孔通過率為95%，4.75 mm篩孔通過率為 20%，2.36 mm篩孔通過率為15%，0.075 mm篩孔通過率為4%.瀝青用量為5.2%.

2.2 試驗方法

試驗用多孔瀝青混合料試樣高度與直徑均為100 mm，采用旋轉壓實儀直接成型，空隙率控制在18%±1%.加載采用單軸壓縮模式，試驗溫度分別為-10、0、10、20 ℃，在每種溫度下施加不同應變率荷載，直至試樣完全破壞.具體加載速率如下:-10 ℃下為 2、1、0.5 mm/min;0 ℃下為 5、2、1 mm/min;10 ℃下為12.5、5、2 mm/min;20 ℃下為 50、5、2 mm/min.

試驗過程中采集荷載與位移，并轉化為應力與應變.每種試驗條件下制備4或5個平行試樣，在加載之前，對試樣施加小應力預壓.試驗系統為MTS810型電液伺服試驗設備.在模型中，一共有12個模型參數需要確定，即損傷模型中的m、n、γ，粘彈性模型中的 E0、E1、E2、λ1、λ2，塑性模型中的K、G、a、b.由于粘彈性模型中松弛時間 t1=λ1/E1，因此粘彈性模型中的5個參數選用 E0、E1、E2、t1、t2.參數的確定過程包括首先根據經驗對其擬定初始值，然后采用最小平方法進行非線性擬合，擬合工具采用Excel中規劃求解功能，設置迭代次數與允許誤差，控制模型擬合與試驗結果誤差平方和最小，以確定模型參數.

3 試驗結果與模型分析

3.1 試驗結果與模型擬合

圖2為不同溫度下2 mm/min(0.000 3/s)加載速率時的試驗結果與模型擬合.可以看到對于不同溫度時的應力應變曲線，模型可很好地進行模擬.

圖2 不同溫度0.000 3/s加載速率下壓縮試驗結果與模型擬合

圖3、4分別為20℃與-10℃時的試驗結果與模型擬合.由于篇幅所限，本文并沒有給出10℃與0℃下的試驗數據.但從4種溫度下的試驗數據與模型擬合結果看，模型在0℃以上與試驗數據擬合較好，當溫度下降到-10℃時，由于瀝青混合料將顯示出更多的彈性，其力學性能對加載速率的依賴性減弱.因此，圖4中，無論是試驗結果還是模型擬合，多孔瀝青混合料的加載應力應變曲線都受加載速率影響較小.

圖3 20℃不同加載速率下單軸壓縮強度試驗結果與模型擬合

圖4 －10℃不同加載速率下單軸壓縮強度試驗結果與模型擬合

3.2 模型有效性分析

由圖2～4可知當溫度較高或加載速率不大時，模型擬合情況較好，但是模型在描述多孔瀝青混合料在低溫下力學行為的有效性方面還需進一步分析.模型參數的取值和變化是影響模型精度的重要因素.參數的變化意味著混合料某些力學特性的改變，對于判斷材料屬性的變化規律有較大的幫助.

在前文的粘彈性模型中，假設在固定溫度下的粘彈屬性不變，加載速率的影響可以通過模型反映.最終得到溫度與各項參數之間的關系如圖5所示.可以看到隨著溫度的降低，E0、E1、E2、t1與t2都有不同程度的上升.但其中E1和E2當溫度降低到0℃以下時變化趨勢減弱，表明粘彈性模型中粘彈構件作用降低，材料開始顯示出更多的彈性屬性，也因此彈性模量盡管有所波動，但維持在同一水平.t1與t2表征了材料松弛應力的能力，時間越短，表明材料具有更好松弛特性，也顯示出更明顯的粘彈特征.因此總的來看，材料參數的變化表明:溫度的下降使多孔瀝青混合料由粘彈性材料向彈性材料轉化，材料應力松弛能力減弱.

圖5 粘彈參數隨溫度變化

在塑性模型中，經典彈塑性理論假設剪切模量G和體積彈性模量K為常量，不隨溫度或加載速率的變化而改變.但是對于多孔瀝青混合料這種典型的粘彈性材料，其模量也應具有溫度或頻率敏感性.圖6、7分別為G與K在溫度與加載速率變化時的取值.盡管試驗結果為離散的數據點，但通過數據回歸可以繪出其變化規律.

圖6 剪切模量G隨溫度與加載速率變化

圖7 體積彈性模量K隨溫度與加載速率變化

粘彈性材料的一個重要特征就是時溫等效性，即溫度變化導致的性能改變也可以通過改變加載時間(或加載頻率)得到.同時，粘彈性材料的力學特性(動態模量等)隨溫度或頻率的變化呈“S”形狀，即在固定溫度下存在一個敏感頻率范圍，在這個范圍內材料屬性變化明顯，當頻率過低或過高時，材料屬性隨頻率變化的幅度減小.從圖6、7可以看到，多孔瀝青混合料的剪切模量G和體積彈性模量K隨溫度或加載速率呈明顯的S型變化，證明了模型中G和K取值的合理性.

損傷模型中的γ為損傷時應變門檻值，即當應變大于γ時，認為損傷開始發展.對于受荷變形的線粘彈性材料，一般認為只要時間足夠長其力學特性就可以恢復.在塑性模型中，每一應變增量后，通過屈服函數判斷是否出現塑性變形，并以此作為塑性應變產生.本文認為塑性應變的出現即意味著損傷的開始，而在初始線粘彈性階段，損傷等于0.為了驗證這個假設，對塑性應變產生時對應的總應變與損傷時應變門檻值γ進行分析，結果，見圖8.可以看到兩者之間有著很好的線性關系，圖中數據點包括不同溫度與不同加載速率下的結果，但是總的趨勢依然滿足所作的假設.

圖8 塑性應變產生γ時對應的總應變與損傷時應變門檻值比較

對于典型的粘彈性材料，溫度和加載速率的不同，將使材料呈現出不同的損傷行為.低溫和高加載速率下材料顯示出彈脆性，而高溫和低加載速率下材料更傾向于粘塑性.對上述不同溫度及加載速率下多孔瀝青混合料的損傷特性進行分析，結果如圖9、10所示.為更好地比較溫度的影響，圖中僅給出20℃與-10℃下的曲線.

圖9 20℃3種加載速率下混合料損傷曲線

圖10 －10℃3種加載速率下混合料損傷曲線

可以看到，當溫度為20℃時，0.000 33/s(即2 mm/min)的加載速率下多孔瀝青混合料顯示出更多的粘彈性，在這種情況下損傷從一開始加載就出現并緩慢增長，直到混合料不再能抵抗外荷載.而當加載速率增大時，混合料逐漸顯示出明顯的彈脆性，即在一定彈性范圍內變形可以恢復，損傷為0，但是一旦超過這個彈性范圍，損傷迅速發展，混合料很快出現脆性開裂破壞.

對于-10℃時的損傷曲線，由于溫度較低，瀝青混合料更趨向于顯示出彈性，此時混合料特性受加載速率的影響相對要小很多，因此，在不同加載速率下，損傷曲線基本相同.

對于彈脆性材料，直觀上看，材料越硬(即溫度越低，加載速率越大)，相對應的損傷起始時間就越大，并且損傷擴展的速率也越快.圖11為4種溫度時0.000 33/s(即2 mm/min)加載速率下混合料的損傷曲線，即單純考慮溫度對損傷特性的影響.由于本文假設塑性變形的出現即為損傷的初始，因此溫度越低，出現塑性變形的時間將越長，導致初始損傷發生時的應變也越大.此外，溫度的高低直接決定了損傷的擴展速率.低溫下的彈脆特性將帶來較快的損傷速率，而溫度較高時，材料的損失擴展行為更為緩慢.

圖11 4種溫度固定加載速率下混合料損傷曲線

4 結 論

1)不同溫度與加載速率下多孔瀝青混合料的應力-應變曲線顯示出明顯的粘彈效應.在高溫與低應變率下，多孔瀝青混合料呈現出粘彈塑性破壞;而當溫度較低或應變率高時，其表現為彈脆性破壞.

2)構建的粘彈塑性損傷模型可以有效反映多孔瀝青混合料在較低溫度下的力學行為.

3)由理論模型參數隨溫度及加載速率的變化規律可知，隨著溫度的降低，多孔瀝青混合料模量逐步增加，但是到一定值后升高幅度降低，同時材料應力松弛能力減弱.

4)隨著溫度及加載速率的變化，多孔瀝青混合料剪切模量和體積彈性模量也呈現出“S”型變化.損傷曲線的變化規律也證明了構建理論模型的合理性.

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Viscoelastic-plastic damage model of porous asphalt mixtures

YI Junyan1，SHEN Shihui2，MUHUNTHAN Balasingam2，FENG Decheng1
(1.School of Transportation Science and Engineering，Harbin Institute of Technology，150090 Harbin，China;2.Department of Civil and Environmental Engineering，Washington State University，99164 WA，USA)

To characterize the mechanical behaviors of porous asphalt mixtures under loading at normal and low temperatures，a viscoelastic-plastic damage model，which includes Weibull damage function，Generalized Maxwell and Drucker-Prager model，was presented based on incremental constitutive equation.Experimental data from uniaxial compressive strength tests conducted at different strain rate and different temperature were used to validate the efficacy of the model，and the change rules of model parameters in different temperatures and loading rates were investigated.The test and analysis results show that parameters in viscoelastic model begin to behave like the elastic materials.The volume modulus and shear modulus also show obvious viscoelastic properties along with the changes of temperature and load rate.Additionally the strain plastic strain initializes keep almost same to the critical damage strain，which accommodate to the presented hypothesis.The damage curves of porous asphalt mixtures can also reveal the effects of different temperature and load rate.This model can successfully characterize the damage and mechanical behaviors of porous asphalt mixtures at normal and low temperatures.

road engineering;porous asphalt mixture;viscoelasticity;plasticity;damage

U416.2

A

0367-6234(2014)02-0066-06

2013-02-25.

交通運輸建設科技項目(2011318 801670).

易軍艷(1983—)，男，博士，講師;

馮德成(1968—)，男，教授，博士生導師.

易軍艷，yijunyan@hit.edu.cn.

(編輯 魏希柱)