基于WTLS的井筒變形監(jiān)測(cè)算法及方案設(shè)計(jì)

譚興龍,王 琰,王 堅(jiān),韓厚增,王 彬

(1．中國(guó)礦業(yè)大學(xué) 環(huán)境與測(cè)繪學(xué)院,江蘇 徐州 221116;2．中國(guó)礦業(yè)大學(xué) 化工學(xué)院,江蘇 徐州 221116;3．武漢大學(xué) 測(cè)繪學(xué)院,湖北 武漢430072)

基于WTLS的井筒變形監(jiān)測(cè)算法及方案設(shè)計(jì)

譚興龍1,王 琰2,王 堅(jiān)1,韓厚增1,王 彬3

(1．中國(guó)礦業(yè)大學(xué) 環(huán)境與測(cè)繪學(xué)院,江蘇 徐州 221116;2．中國(guó)礦業(yè)大學(xué) 化工學(xué)院,江蘇 徐州 221116;3．武漢大學(xué) 測(cè)繪學(xué)院,湖北 武漢430072)

針對(duì)基于最小二乘的常規(guī)井筒變形監(jiān)測(cè)算法中,系數(shù)矩陣往往包含觀測(cè)值誤差影響,難以解算出井筒變形最優(yōu)解,提出一種抗差加權(quán)整體最小二乘算法。該算法通過(guò)同時(shí)對(duì)待求參數(shù)和系數(shù)矩陣進(jìn)行估計(jì),克服常規(guī)最小二乘系數(shù)矩陣受觀測(cè)值隨機(jī)誤差影響;同時(shí)結(jié)合IGGⅢ三段權(quán)函數(shù)抗差因子,調(diào)整各觀測(cè)值權(quán)函數(shù),消除觀測(cè)值粗差對(duì)最終變形估計(jì)值的影響,得到最優(yōu)的井筒變形值。最后分別采用模擬和實(shí)測(cè)井筒數(shù)據(jù)對(duì)算法進(jìn)行了驗(yàn)證,結(jié)果表明:當(dāng)觀測(cè)值含有隨機(jī)誤差時(shí),整體最小二乘算法優(yōu)于最小二乘,但都無(wú)法抵御觀測(cè)粗差影響;抗差加權(quán)整體最小二乘算法可以有效抵御觀測(cè)粗差,修正觀測(cè)隨機(jī)誤差影響,且精度優(yōu)于抗差最小二乘;采用抗差加權(quán)整體最小二乘算法對(duì)實(shí)測(cè)井筒變形數(shù)據(jù)進(jìn)行解算結(jié)果與實(shí)際相符,可以增強(qiáng)變形監(jiān)測(cè)結(jié)果的可靠性,提高井筒變形量精度。

井筒變形;監(jiān)測(cè)方案;抗差估計(jì);加權(quán)整體最小二乘

井筒是一個(gè)礦井的最重要的咽喉部分,作為煤炭生產(chǎn)的主要通道,其正常運(yùn)行是保證礦井安全生產(chǎn)的重要環(huán)節(jié)之一[1]。許多煤系地層上部覆蓋著由砂土、黏土、砂礫和含水砂層組成的表土沖積層[2],地層復(fù)雜,含水豐富,但由于地下水位下降引起地層不斷下沉[3-4],產(chǎn)生連續(xù)或非連續(xù)的運(yùn)動(dòng)給井壁造成壓力,形成井筒變形[5-6]。此外,采動(dòng)影響、地應(yīng)力變化或地震同樣會(huì)導(dǎo)致井筒破壞[7-8]。井筒變形對(duì)提升系統(tǒng)產(chǎn)生不利影響,會(huì)嚴(yán)重威脅煤礦安全生產(chǎn)。

對(duì)井筒變形進(jìn)行合理監(jiān)測(cè),精確確定井筒變形的幅度方向及位置信息,是制定綜合治理井筒方案的重要前提。很多學(xué)者采用不同方案研究井筒變形規(guī)律。H．克拉茨對(duì)立井周圍巖體移動(dòng)進(jìn)行了研究,分析了考慮巖體和井筒間摩擦力傳遞的井筒變形機(jī)理[9]。高井祥等[10-11]采用GPS技術(shù)設(shè)計(jì)礦區(qū)井筒變形監(jiān)測(cè)網(wǎng)和實(shí)測(cè)方案;張安兵等[12]基于井筒變形實(shí)際監(jiān)測(cè)沉降數(shù)據(jù),提出了利用混沌理論相空間重構(gòu)技術(shù)研究井筒變形特征的新思路。基于最小二乘原理分析井筒變形時(shí),忽略了系數(shù)矩陣中受到觀測(cè)值誤差的影響,難以解算出井筒變形最優(yōu)解。為此,Adcock[13]通過(guò)將最小二乘估計(jì)準(zhǔn)則進(jìn)行一般化的擴(kuò)展,首次提出了所有觀測(cè)數(shù)據(jù)(包括觀測(cè)向量和系數(shù)矩陣)殘差的平方和最小化的整體最小二乘平差準(zhǔn)則。劉經(jīng)南等[14-15]將整體最小二乘引入測(cè)量領(lǐng)域。 Schaffrin等[16-18]陸續(xù)提出了帶有等式約束的整體最小二乘估計(jì)方法,加權(quán)整體最小二乘估計(jì)和多元整體最小二乘估計(jì)等研究成果。Shen等[19]提出了基于牛頓高斯迭代法的加權(quán)整體最小二乘算法。此后,整體最小二乘廣泛應(yīng)用于測(cè)量領(lǐng)域,成為一種實(shí)用的數(shù)據(jù)誤差處理算法。本文針對(duì)井筒內(nèi)部復(fù)雜的監(jiān)測(cè)環(huán)境,測(cè)量值包含隨機(jī)誤差甚至粗差,采用加權(quán)整體最小二乘融合抗差估計(jì)算法,設(shè)計(jì)一種四垂線變形監(jiān)測(cè)方案,分別利用模擬數(shù)據(jù)和實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)解算井筒變形。

1 整體最小二乘原理

1.1 經(jīng)典最小二乘原理

在測(cè)量數(shù)據(jù)處理中,最常用的是高斯-馬爾科夫模型,其函數(shù)模型和隨機(jī)模型[20]分別為

式中,L為觀測(cè)向量;X為待求參數(shù)向量;A為系數(shù)矩陣,且滿足rank(A)=n＜m;Δ為L(zhǎng)的隨機(jī)誤差向量; Σ為Δ的協(xié)方差陣;Q為協(xié)因數(shù)陣;P為權(quán)陣;σ0為單位權(quán)。

若僅考慮觀測(cè)向量誤差,則其誤差方程式為

其中,V為殘差向量(或改正數(shù)向量),其最小二乘平差準(zhǔn)則為

則待求參數(shù)X的最小二乘估計(jì)為

1.2 EIV模型

最小二乘估計(jì)的一個(gè)基本前提是僅觀測(cè)向量存在誤差。當(dāng)系數(shù)矩陣A也存在誤差時(shí)(如A由觀測(cè)向量構(gòu)成),基于殘差加權(quán)平方和最小的平差準(zhǔn)則的最小二乘求解不出最優(yōu)解,高斯-馬爾科夫模型不適用。此時(shí)可以采用變量誤差模型(error-in-variables, EIV),其函數(shù)模型和隨機(jī)模型[14]分別為

式中,ΔL為L(zhǎng)的隨機(jī)誤差向量;ΔA為A的隨機(jī)誤差向量;vec(·)為矩陣列向量化算子;QL和QA分別為ΔL和ΔA的協(xié)因數(shù)陣。

EIV模型求解待求參數(shù)X的優(yōu)估值的可以表示為約束優(yōu)化問(wèn)題:

式中,‖·‖F(xiàn)為矩陣的Fronenius范數(shù)。

若QL和QA為單位陣,則稱為等權(quán)整體最小二乘,此時(shí)可采用基于奇異值分解和最小奇異值兩種直接解法。

1.3 基于SVD的整體最小二乘算法

將式(6)改寫(xiě)為

其中,B=[A,L];E=[ΔA,ΔL]。約束條件為‖E‖F(xiàn)=min。

對(duì)式(9)模型的解算,數(shù)學(xué)上通常采用矩陣奇異值分解來(lái)求解整體最小二乘最優(yōu)解。解算過(guò)程如下,首先對(duì)增廣矩陣B進(jìn)行奇異值分解[21]:

根據(jù)Eckart-Young-Mirsky矩陣逼近定理[22],矩陣B的最佳逼近矩陣B^必然滿足:

2 加權(quán)整體最小二乘抗差算法

當(dāng)觀測(cè)向量含有粗差時(shí),選取適當(dāng)?shù)目共钏惴ㄕ{(diào)整對(duì)應(yīng)的權(quán)大小,利用觀測(cè)向量中的有效信息,剔除不利信息,使待求參數(shù)避免受到粗差的污染。此時(shí)觀測(cè)向量和系數(shù)矩陣為不等精度,基于非線性拉格朗日函數(shù),采用迭代算法求出加權(quán)整體最小二乘最優(yōu)解。

2.1 加權(quán)整體最小二乘迭代算法

2.2 抗差算法

抗差因子起著調(diào)節(jié)觀測(cè)信息對(duì)最優(yōu)解貢獻(xiàn)大小的功能。采用殘差向量構(gòu)建抗差因子,抗差因子ri類似IGGⅢ函數(shù)表達(dá)式[24-25]:

3 井筒變形監(jiān)測(cè)方案及算法

3.1 井筒變形監(jiān)測(cè)方案設(shè)計(jì)

設(shè)計(jì)一種基于四基準(zhǔn)垂線法的井筒變形監(jiān)測(cè)方案,即采用重錘投放4條鋼絲,如圖1所示,其中A點(diǎn)和B點(diǎn)為已知坐標(biāo)點(diǎn),P1～P4為4根鋼絲垂線,d1～d8為量測(cè)值,Q1～Q8為井筒壁上的8個(gè)觀測(cè)點(diǎn)。

方案具體實(shí)施步驟如下:

圖1 監(jiān)測(cè)示意Fig．1 Monitoring diagram

(1)投放鋼絲:先大概確定P1和P2方向(使與罐籠長(zhǎng)邊平行),并在P1,P2處投放兩條鋼絲。根據(jù)地面控制點(diǎn)確定P1,P2的位置(可以采用局部坐標(biāo)系)。根據(jù)矩形約束,大概確定P3,P4坐標(biāo),并放樣出相應(yīng)位置,根據(jù)位置再投放另外兩根鋼絲。采用全圓觀測(cè)法,精確測(cè)量P1,P2,P3,P4的平面坐標(biāo)。

(2)高程控制:通過(guò)不斷下降或上升罐籠并停穩(wěn),測(cè)量每個(gè)斷面,平均每5 m測(cè)量一個(gè)斷面變形,在絞車房控制下降距離及記錄高程數(shù)據(jù)。

(3)斷面變形測(cè)量:每個(gè)斷面上,基于兩根鋼絲的位置進(jìn)行定向,測(cè)量d1～d8的具體數(shù)值。以測(cè)量d1為例,P2～P1用于定向,量取P1至點(diǎn)Q2的距離。

(4)數(shù)據(jù)分析:基于加權(quán)整體最小二乘抗差算法,對(duì)采集的數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合,精確計(jì)算出井筒中心偏移,分析井筒變形情況。

3.2 模擬井筒數(shù)據(jù)分析

設(shè)井筒某一截面井壁觀測(cè)點(diǎn)Q1～Q8的坐標(biāo)為(xi,yi),其中i=1,2,…,8,截面中心坐標(biāo)為(x,y),截面半徑為R,則存在如下方程:

模擬圓心為(0,0)、半徑為5的井筒截面上的8個(gè)井壁觀測(cè)點(diǎn)坐標(biāo)Q1～Q8見(jiàn)表1。

表1 模擬井壁觀測(cè)點(diǎn)坐標(biāo)Table 1 Observation coordinates of simulating shaft lining

設(shè)計(jì)3種方案:

方案1,不添加任何誤差。方案2,分別在Q1點(diǎn)的x坐標(biāo)、Q2點(diǎn)的y坐標(biāo)加入0．5和0．3的模擬粗差。方案3,所有點(diǎn)的坐標(biāo)均加入均值為0,方差為0．05的隨機(jī)誤差。

分別采用最小二乘算法(LS)、抗差最小二乘算法(RLS)、整體最小二乘算法(TLS)、抗差加權(quán)整體最小二乘算法(RWTLS)對(duì)上述方案求模擬圓心坐標(biāo)及半徑的最優(yōu)解。基于以上4種算法分別對(duì)3種方案重復(fù)計(jì)算1 000次取均值,得到圓心坐標(biāo)(x,y)、半徑(R)及驗(yàn)后單位權(quán)中誤差(σ′),結(jié)果見(jiàn)表2。

表2 4種算法對(duì)3種方案的計(jì)算結(jié)果Table 2 Results of three schemes with four algorithms

分析上述結(jié)果,可以看出:

(1)方案1中4種算法都可以計(jì)算出真值,說(shuō)明當(dāng)觀測(cè)值不含任何誤差時(shí),4種算法等價(jià)。

(2)方案2最小二乘算法、整體最小二乘算法不具有抵抗粗差的能力,計(jì)算出的圓心坐標(biāo)和半徑都受到粗差影響,結(jié)果與真值出現(xiàn)明顯偏差;抗差最小二乘算法、抗差加權(quán)整體最小二乘算法通過(guò)迭代算法將含有粗差的觀測(cè)值權(quán)陣調(diào)整到最小,使其對(duì)計(jì)算結(jié)果無(wú)貢獻(xiàn),計(jì)算出的圓心坐標(biāo)和半徑與真值相當(dāng)。

(3)方案3加入隨機(jī)誤差后,最小二乘算法、抗差最小二乘算法沒(méi)有考慮系數(shù)陣誤差從而導(dǎo)致計(jì)算出的圓心坐標(biāo)和半徑與真值誤差較大,而整體最小二乘算法、抗差加權(quán)整體最小二乘算法通過(guò)改正系數(shù)陣,使計(jì)算出的待求參數(shù)與真值誤差較小。

(4)方案3加入隨機(jī)誤差循環(huán)1 000次后,最小二乘算法、整體最小二乘算法驗(yàn)后中誤差與所加隨機(jī)誤差方差相當(dāng),說(shuō)明算法的準(zhǔn)確性。因?yàn)榭共钭钚《怂惴ā⒖共罴訖?quán)整體最小二乘算法將隨機(jī)誤差中較大值作為粗差剔除,導(dǎo)致驗(yàn)后中誤差較小,精度可靠,且抗差加權(quán)整體最小二乘算法優(yōu)于抗差最小二乘。

3.3 實(shí)測(cè)井筒數(shù)據(jù)分析

華東某礦主井深約600 m,主井井筒半徑5．5 m,該主井在近期運(yùn)營(yíng)中出現(xiàn)不平穩(wěn)現(xiàn)象,主要表現(xiàn)為井筒變形(包括井筒傾斜和井壁凸出)。為消除安全隱患,確保煤礦安全生產(chǎn),采用文中所提監(jiān)測(cè)方案及加權(quán)整體最小二乘抗差算法進(jìn)行計(jì)算,對(duì)實(shí)測(cè)井筒變形數(shù)據(jù)進(jìn)行分析。其中井筒-300 m以下為基巖穩(wěn)定區(qū),重點(diǎn)監(jiān)測(cè)-300 m以上為表土沖積層部分。

3.3.1 井壁特征點(diǎn)坐標(biāo)序列

基于地面控制測(cè)量確定的鋼絲坐標(biāo)的平面坐標(biāo),結(jié)合所測(cè)特征點(diǎn)與鋼絲的距離及定向結(jié)果得到8個(gè)特征點(diǎn)的坐標(biāo),同時(shí)根據(jù)絞車房的高程控制(每?jī)蓚€(gè)觀測(cè)截面間隔約為5 m)得到特征點(diǎn)坐標(biāo)序列(圖2)。

圖2 特征點(diǎn)坐標(biāo)序列Fig．2 Feature points coordinate sequence

從圖2(a)和圖3可以看出,-50～-200 m間井壁特征點(diǎn)序列較為平穩(wěn),-200～-300 m向內(nèi)不規(guī)則突出,這是由于-200～-300 m處新增的加固段導(dǎo)致;若無(wú)加固段,圖2(b)俯視圖中的井壁特征點(diǎn)坐標(biāo)序列應(yīng)為緊密點(diǎn)狀,而圖2(b)相對(duì)井壁坐標(biāo)點(diǎn)(如Q1～Q3,Q2～Q6)近似共線分布,既說(shuō)明了測(cè)量時(shí)準(zhǔn)確定向又驗(yàn)證了井壁存在不規(guī)則加固段。

圖3 Q1和Q3井壁特征點(diǎn)坐標(biāo)分布Fig．3 Feature points distribution of Q1and Q3

3.3.2 井筒變形結(jié)果

積食且腹脹便秘選四磨湯 積食且伴有明顯腹脹、腹痛、便秘，喝四磨湯口服液能順氣降逆，消積止痛。孕婦、腸梗阻、腸道腫瘤、消化道術(shù)后者禁用。

由于井筒內(nèi)陰暗多水等復(fù)雜的觀測(cè)條件,井壁特征點(diǎn)坐標(biāo)難以避免含有大小不等的隨機(jī)誤差,甚至包含粗差。采用8個(gè)井壁特征點(diǎn)既可以有效抵御粗差,又兼顧了井壁內(nèi)復(fù)雜條件下的監(jiān)測(cè)難度。考慮觀測(cè)值含有隨機(jī)誤差和粗差的可能性,采用抗差加權(quán)整體最小二乘算法解算每個(gè)井筒截面的中心坐標(biāo)及截面半徑,部分結(jié)果見(jiàn)表3。

表3 實(shí)測(cè)井筒中心坐標(biāo)及半徑結(jié)果Table 3 Center and radius results of the shaft m

從表3可以看出:①-300 m以下基巖區(qū)域解算出的井筒半徑與設(shè)計(jì)半徑真值誤差為毫米級(jí),該區(qū)域各截面中心坐標(biāo)存在毫米級(jí)的變化,認(rèn)為該區(qū)域變形情況微小,為穩(wěn)定區(qū);② -300 m以上解算的井筒半徑與設(shè)計(jì)半徑真值、各截面中心坐標(biāo)存在厘米級(jí)誤差,說(shuō)明該區(qū)域?yàn)榉欠€(wěn)定變形區(qū)。鑒于-300 m以下為穩(wěn)定的基巖區(qū),將該區(qū)域解算結(jié)果的均值作為真值,分析-300 m以上非穩(wěn)定區(qū)井筒形變情況。分別采用抗差最小二乘和抗差加權(quán)整體最小二乘算法,解算出的每個(gè)井筒截?cái)嗟闹行淖鴺?biāo)及截面半徑,其后驗(yàn)中誤差分別為0．045 6 m和0．034 9 m,說(shuō)明抗差加權(quán)整體最小二乘算法精度優(yōu)于抗差最小二乘。圖4為兩種算法解算結(jié)果相對(duì)于假定基巖區(qū)結(jié)果為真值的變形。從圖4可以看出,① -300 m以下基巖區(qū)中心坐標(biāo)和圓心半徑變化平緩,穩(wěn)定性較好;②-300 m以中心點(diǎn)坐標(biāo)存在厘米級(jí)的變形,其中-100 m, -150 m分別向東和南方向出現(xiàn)較明顯變形,圖中箭頭為井筒受外力變形方向;③ -200～-300 m為20 cm厚的加固段,井筒半徑較為穩(wěn)定,解算井筒半徑與實(shí)際情況相符,進(jìn)一步驗(yàn)證了算法的可靠性。

圖4 井筒中心坐標(biāo)及半徑偏差Fig．4 Center coordinates and radius deviation of the shaft

基于抗差加權(quán)整體最小二乘算法解算出的基巖區(qū)井筒中心坐標(biāo)及半徑均值作為真值,可以得到每個(gè)井筒截面的變形值,同時(shí)可以擬合出整個(gè)井筒的變形情況。圖5是以高程為-49．7 m的井筒截面為例,其中心坐標(biāo)偏移,顯示該截面相對(duì)于基巖區(qū)中心坐標(biāo)向南偏8．13 cm,向東偏4．63 cm。圖6為擬合的整個(gè)井筒的三維變形。從圖6中可以監(jiān)測(cè)任意高度井筒變形情況。

4 結(jié) 論

(1)基于整體最小二乘和IGGⅢ三段權(quán)函數(shù)抗差因子,提出一種抗差加權(quán)整體最小二乘迭代算法。

(2)通過(guò)迭代計(jì)算,分別估計(jì)出待求參數(shù)和系數(shù)矩陣的改正數(shù),同時(shí)基于標(biāo)準(zhǔn)殘差向量調(diào)整各觀測(cè)值權(quán)函數(shù),既克服了系數(shù)矩陣受觀測(cè)值隨機(jī)誤差影響,又消除了觀測(cè)值粗差對(duì)最終變形估計(jì)值的影響。

圖5 井筒截面(-49．7 m)中心坐標(biāo)偏移Fig．5 Center displacement of the shaft section(-49．7 m)

(3)基于模擬的井筒變形數(shù)據(jù),分別加入隨機(jī)誤差和粗差,通過(guò)對(duì)比各種算法解算精度,驗(yàn)證了所提算法的可靠性和穩(wěn)定性。

圖6 井筒變形三維擬合結(jié)果Fig．6 Shaft deformation three-dimensional fitting results

(4)設(shè)計(jì)了一種簡(jiǎn)單可行的井筒變形監(jiān)測(cè)方案進(jìn)行實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)采集,以基巖穩(wěn)定區(qū)為真值,計(jì)算出各井筒截面的變形值,結(jié)果符合井筒實(shí)際情況,最后擬合出整個(gè)井筒變形三維圖,為井筒變形監(jiān)測(cè)方案設(shè)計(jì)及數(shù)據(jù)解算提供了一種新的思路。

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Shaft deformation monitoring scheme design and algorithm based on WTLS

TAN Xing-long1,WANG Yan2,WANG Jian1,HAN Hou-zeng1,WANG Bin3
(1.School of Environment and Spatial Informatics,China University of Mining and Technology,Xuzhou 221116,China;2.School of Chemical Engineering and Technology,China University of Mining and Technology,Xuzhou 221116,China;3.School of Geodesy and Geomatics,Wuhan University,Wuhan
430072,China)

Since the coefficient matrix affected by the observation errors in the traditional least squares(LS)algorithm,it is hard to calculate the optimal solution of shaft deformation．A weighted total least squares(WTLS)algorithm was proposed．The algorithm can mitigate the influence of stochastic observation errors on coefficient matrix．With IGGIII weight function and robust factors,the influence of observation gross errors on the final estimated deformation can be greatly eliminated．Finally both the simulating data and the field data on shaft deformation were used to verify the algorithm．It shows that WTLS algorithm is better than the LS in terms of the condition of observation with stochastic errors,but both algorithms fail to deal with the gross error．Robust WTLS algorithm can eliminate the gross error and weaken the influence of stochastic observation errors,and the deformation of robust WTLS is more accuracy than that of robust LS．The deformation results of field data solved with robust WTLS agree with the real situation,which improve the reliability and accuracy of shaft deformation．

shaft deformation;monitoring scheme;robust estimation;weighted total least squares

TD26

A

0253-9993(2014)11-2206-07

2014-01-26 責(zé)任編輯:王婉潔

新世紀(jì)優(yōu)秀人才支持計(jì)劃資助項(xiàng)目(NCET-13-1019);國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(41404004);江蘇高校優(yōu)勢(shì)學(xué)科建設(shè)工程資助項(xiàng)目(SZBF2011-6-B35)

譚興龍(1987—),男,江蘇邳州人,博士研究生。Tel:0516-83591306,E-mail:tanxinglong3@126．com

譚興龍,王 琰,王 堅(jiān),等．基于WTLS的井筒變形監(jiān)測(cè)算法及方案設(shè)計(jì)[J]．煤炭學(xué)報(bào),2014,39(11):2206-2212．

10．13225/ j．cnki．jccs．2014．0121

Tan Xinglong,Wang Yan,Wang Jian,et al．Shaft deformation monitoring scheme design and algorithm based on WTLS[J]．Journal of China Coal Society,2014,39(11):2206-2212．doi:10．13225/j．cnki．jccs．2014．0121