2-維Ablow itz-Ladik方程的調(diào)制不穩(wěn)定性

王紅縣，張金良

（河南科技大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，河南 洛陽 471023）

2-維Ablow itz-Ladik方程的調(diào)制不穩(wěn)定性

王紅縣，張金良

（河南科技大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，河南 洛陽 471023）

對2-維Ablowitz-Ladik方程的調(diào)制不穩(wěn)定性進行了分析，導(dǎo)出了色散關(guān)系；通過理論分析和數(shù)值模擬，得到了調(diào)制不穩(wěn)定性區(qū)域隨耦合系數(shù)的增大而減小；對調(diào)制不穩(wěn)定性區(qū)域內(nèi)平面波的演化進行了模擬，驗證了譜增益對平面波穩(wěn)定性的影響。

2-維Ablowitz-Ladik方程；平面波；調(diào)制不穩(wěn)定性；數(shù)值模擬

0 引言

由于孤立子在物理、生物、化學(xué)、通訊、交通規(guī)劃等學(xué)科中有著廣泛應(yīng)用，所以有關(guān)孤立子的研究一直為國內(nèi)外科學(xué)家們所關(guān)注。調(diào)制不穩(wěn)定性（MI）與孤立子的形成密切相關(guān)，因為孤子被觀測到的參數(shù)區(qū)域總是與調(diào)制不穩(wěn)定性區(qū)域相同，因此調(diào)制不穩(wěn)定性往往被認(rèn)為是孤子形成的一個先兆。在調(diào)制不穩(wěn)定性條件下，光脈沖在傳播過程中往往會破裂成碎片［1］。

近年來，眾多學(xué)者對調(diào)制不穩(wěn)定性現(xiàn)象的研究做出了杰出的工作［2－4］。文獻［5］利用離散多尺度方法，導(dǎo)出了Ablowitz-Ladik（AL）方程調(diào)制不穩(wěn)定判據(jù)，數(shù)值模擬與理論分析結(jié)果是一致的；文獻［6］對修正復(fù)Ablowitz-Ladik方程（MCAL）的線性穩(wěn)定性做了理論分析，得到調(diào)制不穩(wěn)定判據(jù)；文獻［7］討論了用來描述α螺旋蛋白質(zhì)的攝動非可積Ablowitz-Ladik方程，分析了其平面波的調(diào)制不穩(wěn)定性；文獻［8］討論了兩組分三次－五次DNLS的調(diào)制不穩(wěn)定性，研究了三次非線性項和五次非線性項對調(diào)制不穩(wěn)定性的影響；文獻［9－10］研究了Ablowitz-Ladik方程的調(diào)制不穩(wěn)定性，導(dǎo)出了調(diào)制不穩(wěn)定性判別條件，用數(shù)值模擬方法對理論分析進行了驗證。以上主要是對一維方程的調(diào)制不穩(wěn)定進行的研究，對于高維方程調(diào)制不穩(wěn)定性分析的文獻還很少見，因此，本文將對2-維離散Ablowitz-Ladik方程的調(diào)制不穩(wěn)定性進行了研究，以期對二維波導(dǎo)中孤子的實驗研究做出理論支撐。

本文首先導(dǎo)出2-維Ablowitz-Ladik方程的色散關(guān)系，分析耦合系數(shù)ε對調(diào)制不穩(wěn)定性區(qū)域的影響；其次，利用數(shù)值方法，研究增益譜g（Ω）隨平面波數(shù)d1和d2的變化情況；最后，對調(diào)制不穩(wěn)定性的演化進行模擬，分析增益譜對平面波穩(wěn)定性的影響。

1 耦合系數(shù)對調(diào)制不穩(wěn)定性的影響

考慮2-維Ablowitz-Ladik（AL-NLS）方程：

式中，un，m為二維格子空間中的復(fù)函數(shù)為耦合系數(shù)；σ＝±1（當(dāng)σ＝1時，方程具有散焦效應(yīng)，當(dāng)

2 波數(shù)對調(diào)制不穩(wěn)定性的影響

當(dāng)Q1≠Q(mào)2時，利用數(shù)值模擬來探究波數(shù)d1、d2對平面波調(diào)制不穩(wěn)定性的影響。

圖1 M I的增益譜隨平面波數(shù)的變化

取定σ＝－1，Q1、Q2、A的取值如圖1，圖2為ε變化時，M I的增益譜g（Ω）隨平面波數(shù)d1和d2的變化。

圖1和圖2分別表示在散焦和聚焦情形下，對于不同的耦合系數(shù)ε，M I的增益譜g（Ω）隨平面波數(shù)d1和d2的變化。

在聚焦情形下（σ＝－1），調(diào)制不穩(wěn)定性的增益譜g（Ω）隨平面波數(shù)d1和d2的變化。當(dāng)ε＜1時，增益譜g（Ω）隨著ε的增大而增大。當(dāng)ε＞1時，增益譜g（Ω）隨著ε的增大而減小，并且每個波峰逐漸演化為兩個波峰。當(dāng)ε＞10時，調(diào)制不穩(wěn)定性區(qū)域與散焦情形相同。

圖2 M I的增益譜隨平面波數(shù)的變化

3 調(diào)制不穩(wěn)定性演化的數(shù)值模擬

為了對2-維AL方程的調(diào)制不穩(wěn)定性有直觀的了解，利用四階龍格－庫塔法，對AL方程下所描述的運動進行了數(shù)值模擬。假設(shè)調(diào)制波的形式為：

其中，A ei（d1n＋d2m）為方程（1）的平面波精確解的初始形態(tài)；B為調(diào)制振幅；Q1和Q2為調(diào)制的波數(shù)。

圖3表示圖1a取定d1＝3，d2＝3時，un，m隨時間t的演化。在演化過程中取定調(diào)制振幅B＝0.01。由圖3可以看出：當(dāng)t＝3時，平面波已出現(xiàn)調(diào)制不穩(wěn)定性；當(dāng)t＝10時，平面波顯示較強的調(diào)制不穩(wěn)定性。

圖3 un，m隨時間t的演化

4 結(jié)論

當(dāng)擾動波數(shù)Q1＝Q2時，在散焦情形下，當(dāng)時，平面波具有調(diào)制不穩(wěn)定性；當(dāng)時，平面波不會出現(xiàn)調(diào)制不穩(wěn)定性；在聚焦效應(yīng)下，當(dāng)時，平面波具有調(diào)制不穩(wěn)定性，反之，平面波不會出現(xiàn)調(diào)制不穩(wěn)定性。在散焦情形下，當(dāng)cos d1cos d2＞0時，若有，平面波始終具有調(diào)制不穩(wěn)定性；若有平面波不具有調(diào)制不穩(wěn)定性。

在其他情形下，隨著耦合系數(shù)ε的增大，平面波在波數(shù)d1和d2上調(diào)制不穩(wěn)定區(qū)域逐漸縮小。

［1］ Dianov E M，Mamyshev P V，Prokhorov A M，et al.Generation of a Train of Fundamental Solitons at a High Repetition Rate in Optical Fibers［J］.Optics Letters，1989，14（18）：1008－1010.

［2］Alcaraz-Pelegrina J M，Rodríguez-García P.Modulational Instability in Two Cubic-quintic Ginzburg-Landau Equations Coup led with a Cross Phase Modulation Term［J］.Physics Letters A，2010，374（13）：1591－1599.

［3］ 鐘先瓊，向安平.高階色散和指數(shù)飽和非線性光纖的調(diào)制不穩(wěn)定性［J］.光學(xué)技術(shù)，2010（2）：274－278.

［4］ Chow K W，Wong K K Y，Lam K.Modulation Instabilities in a System of Four Coup led Nonlinear Schrodinger Equations［J］.Physics Letters A，2008，372（25）：4596－4600.

［5］ Mohamadou A，F(xiàn)opa F，Kofane T C.Modulational Instability and Spatial Structures of the Ablowitz-Ladik Equation［J］. Optics Communications，2006，266：648－655.

［6］ Tabi C B，Mohamadou A，KofaneT C.Modulation Instability and Pattern Formation in Damped Molecular Systems［J］. Journal of Computional and Theoretical Nanoscinese，2009，6：583－592.

［7］ Ondoua R Y，Tabi C B，F(xiàn)ouda H P E，et al.Discrete Energy Transport in the Perturbed Ablowitz-Ladik Equation for Davydov Model ofα-helix Proteins［J］.The European Physical Journal B，2012，85：318.

［8］ Baizakov B B，Bouketir A，Messikh A，et al.Modulational Instability in Two-component Discrete Media with Cubic-quintic Nonlinearity［J］.Phys Rev E，2009，79：046605.

［9］ Mohamadou A，Tiofack C G L，KofanéT C.Stability Analysis of Plane Wave Solutions of the Generalized Ablowitz-Ladik System［J］.Physica Scripta，2006，74（6）：718.

［10］ Mohamadou A，F(xiàn)opa F，KofanéT C.Modulational Instability and Spatial Structures of the Ablowitz-Ladik Equation［J］. Optics Communications，2006，266（2）：648－655.

O411.1；O175.7

A

1672－6871（2014）02－0086－05

河南省基礎(chǔ)與前沿技術(shù)研究基金項目（092300410179，122102210427）；河南科技大學(xué)科研創(chuàng)新能力培育基金項目（2011CX011）；河南科技大學(xué)博士啟動基金項目（09001204）

王紅縣（1989－），男，河南濮陽人，碩士生；張金良（1966－），男，河南唐河人，教授，博士，碩士生導(dǎo)師，研究方向為非線性數(shù)學(xué)物理問題.

2013－05－26