高階混合非齊次邊值問題的多區(qū)域譜方法

張 超，顧東琴，謝銳敏

（江蘇師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，江蘇 徐州 221116）

高階混合非齊次邊值問題的多區(qū)域譜方法

張 超，顧東琴，謝銳敏

（江蘇師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，江蘇 徐州 221116）

對半直線上高階微分方程混合非齊次邊值問題，提出了多區(qū)域廣義Laguerre譜方法。通過選取合適基函數(shù)，數(shù)值解精確擬合非齊次邊界條件，并保持解的連續(xù)性。數(shù)值結(jié)果不僅表明新方法具有譜精度，而且表明算法恰當(dāng)處理了有限區(qū)間長度對于數(shù)值結(jié)果的影響。

無界區(qū)域；四階方程混合非齊次邊值問題；多區(qū)域譜方法

0 引言

無界區(qū)域問題的求解是數(shù)學(xué)物理學(xué)科的前沿和困難問題之一。譜方法用于求解流體力學(xué)、量子力學(xué)及地球物理等領(lǐng)域的各種問題［1－10］。文獻［11］用Fourier變換方法求解無限長梁及長弦的振動問題的解；文獻［12］用Laguerre譜配點方法數(shù)值求解半無界區(qū)域上非線性熱傳導(dǎo)問題。而對無界區(qū)域上高階混合非齊次邊值問題的相關(guān)文獻鮮見。文獻［13］通過引入一類新的廣義Laguerre函數(shù)，建立了新的廣義Laguerre擬正交投影逼近理論，并結(jié)合廣義Jacobi擬正交投影逼近理論，對于高階微分方程非齊次邊值問題提出了新的廣義Laguerre區(qū)域分解譜方法。本文將利用多區(qū)域譜方法研究高階微分方程混合非齊次邊值問題的數(shù)值求解。其處理方法是將整個無限區(qū)間分解成一個有限區(qū)間和一個無限區(qū)間，通過對固定長度的有限區(qū)間上問題的恰當(dāng)處理，消除有限區(qū)間部分對于數(shù)值結(jié)果的影響，從而達到提高整體精度的目的。

1 準備知識

2 四階微分方程非齊次邊值問題的多區(qū)域譜方法

3 數(shù)值結(jié)果

表1 算法（12）的誤差 U－uNN，ave

表2 算法（12）的誤差 U－uN N，m ax

表3為算法（12）的誤差。在表3中，分別給出當(dāng)N1＝10，N2＝4N1，β＝1、2時和的值。數(shù)值結(jié)果顯示：多區(qū)域算法中的有限區(qū)間的長度越小，數(shù)值結(jié)果越好。這和理論分析也是吻合的。

表3 算法（12）的誤差

4 結(jié)論

本文提出了一個高階微分方程混合非齊次邊值問題的多區(qū)域譜方法。數(shù)值結(jié)果驗證了這些新譜方法的高精度。雖然在本中僅考慮了一個模型問題，但是本文的主要思想和處理問題的方法也可用于其他高階問題的求解。

［1］ Boyd JP.Chebyshev and Fourier Spectral Methods［M］.2 ed.M ineda，New York：Dover Publication Inc，2001.

［2］ Canuto C，Hussaini M Y，Quarteroni A，et al.Spectral Methods in Fluid Dynam ics［M］.Berlin：Springer-Verlag，2006.

［3］ Gottlieb D，Orszag SA.Numerical Analysis of Spectral Methods：Theory and Applications［M］.Philadelphia：SIAM-CBMS，1977.

［4］ Guo B Y，Jiao Y J.Mixed Generalized Laguerre-Fourier Spectral Method for Exterior Problem of Navier-Stokes Equations［J］.Disc Cont Dyna Syst B，2009，11：315－345.

［5］ Guo B Y，Shen J，Xu C L.Generalized Laguerre Approximation and Its Applications to Exterior Problems［J］.J Comp Math，2005，23：113－130.

［6］ Guo B Y，Sun T，Zhang C.Jacobi and Laguerre Quasi-orthogonal Approximations and Related Interpolations［J］.Math Comp，2013，281：413－441.

［7］ Guo B Y，Wang T J.Composite Generalized Laguerre-Legendre Spectral Method with Domain Decomposition and Its Application to Fokker-Planck Equation in an Infinite Channel［J］.Math Comp，2009，78：129－151.

［8］ Guo BenY，Zhang X Y.A New Generalized Laguerre Spectral Approximation and Its Applications［J］.JComp Appl Math，2005，181：342－363.

［9］ Karniadakis G E，Sherwin S J.Spectral／hp Element Methods for CFD［M］.2 ed.Oxford：Oxford Univ Press，2005.

［10］ 劉曉亞.Banach空間脈沖微分方程周期邊值問題的正解［J］.鄭州大學(xué)學(xué)報：理學(xué)版，2012（1）：15－19，45.

［11］ 王天軍.一維線性非齊次波動方程解的一個注記［J］.河南科技大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2010，31（2）：86－89.

［12］ 王天軍.半無界非線性熱傳導(dǎo)方程Laguerre擬譜方法［J］.應(yīng)用數(shù)學(xué)與計算數(shù)學(xué)學(xué)報，2013，27（1）：9－15.

［13］ Zhang C，Guo B Y.Domain Decomposition Spectral Method for Mixed Inhomogeneous Boundary Value Problems of High Order Differential Equations on Unbounded Domains［J］.JSci Comp，2012，53：451－480.

O242

A

1672－6871（2014）02－0091－04

國家自然科學(xué)基金項目（11171227）；江蘇省高等學(xué)校大學(xué)生實踐創(chuàng)新項目（12ssjcxyb20）；江蘇師范大學(xué)博士學(xué)位教師基金項目（11XLR27）

張 超（1977－），男，江蘇徐州人，講師，博士，主要研究方向為偏微分方程數(shù)值解法.

2013－07－06