一類模糊合作博弈及其核心

王鋒葉，黃志勇，尚有林，陳 鵬

（河南科技大學數學與統計學院，河南洛陽 471023）

一類模糊合作博弈及其核心

王鋒葉，黃志勇，尚有林，陳 鵬

（河南科技大學數學與統計學院，河南洛陽 471023）

基于經典的具有無限多局中人的合作博弈，定義了具有Choquet積分形式的模糊合作博弈，討論了所定義模糊合作博弈的單調性、超可加性及缺原子性等性質，證明了這類模糊合作博弈的核心的存在性及其表示形式。

模糊合作博弈；Choquet積分；核心

0 引言

由參與合作博弈的局中人的多少，合作博弈可分為n人合作博弈（局中人有限）與局中人無限的合作博弈。在利用n人合作博弈進行經濟分析時，有限局中人的合作博弈不能很好的解決自由市場中的很多博弈問題，如微觀經濟學中的安全經濟市場，這就需要一種大量局中人參與的博弈，稱為局中人無限的合作博弈，其局中人的集合用無窮集合表示，博弈用定義在無窮集合上的集函數來表示。

當合作博弈中的局中人以一定程度參與某個聯盟，且可參與多個聯盟時，這種合作博弈就是模糊合作博弈。目前，對模糊合作博弈的研究主要是n人合作博弈。文獻［1］提出了一個模糊環境下的Shapley函數，并證明了這個Shapley函數是一個模糊總體單調分配函數。文獻［2］基于Hukuhara差，給出了特征函數模糊及聯盟模糊的n人博弈的Shapley函數形式。文獻［3－4］從改進聯盟結構的角度研究博弈問題，得到了聯盟模糊的合作博弈的Shapley函數的簡單表示。文獻［5］定義了一類特殊的n人模糊聯盟，并對其模糊核心的存在性問題進行了研究。文獻［6］給出了具有多線性拓展形式的模糊合作博弈的Shapley函數，并對其唯一性及性質進行詳細的研究。文獻［7］討論了支付是模糊數情形的合作博弈的Shapley值，構造了模糊Shapley值隸屬函數。目前，對局中人無限的模糊合作博弈的研究則很少。文獻［8］基于三角模測度對局中人無限的模糊合作博弈的Aumann-Shapley值的存在性及表示形式進行了詳細的研究。文獻［9－10］也對局中人無限的模糊合作博弈的性質進行了研究。

本文利用經典的合作博弈定義了一類特殊的局中人無限的模糊合作博弈，并對其具有的一些性質進行了證明，最后，研究了這類特殊模糊合作博弈的核心存在性及表示形式。

1 基本概念

設可測空間（X，C），其中，X表示局中人的集合，C是X的所有子集組成的σ-代數，表示由局中人組成的所有可能聯盟的全體。可測空間（I，β）是與（X，C）同構的可測空間，其中，I為區間［0，1］，β是由［0，1］的子集構成的Borel集族。一個具有無限局中人的合作博弈（或具有連續統局中人的合作博弈）v是定義在可測空間（X，C）上的實值集函數，即v：C→?，滿足v（?）＝0。

定義1［11］設v為具有無限多局中人的合作博弈，若對任意的A∈C，v（A）≠0，總存在A的子集B∈C，使得v（B）?｛0，v（A）｝，則稱v是缺原子的。

所有缺原子博弈的集合記為NA，所有單調缺原子博弈的集合記為NA＋，所有單調缺原子博弈的冪生成的空間記為pNA。

定義2［11］設v為具有無限多局中人的合作博弈，若對任意A、B∈C，且A∩B＝?，有v（A∪B）≥v（A）＋v（B），則稱v是超可加的。

定義3［11］設v*是由v擴張而成的博弈，滿足v*（χA）＝v（A），這里，A∈C，χA是A的特征函數。若對所有的α∈［0，1］，A∈C，有v*（αχA）＝αv（A），則稱博弈v是一階齊次的。

定義4［11］設v為具有無限多局中人的合作博弈，如果存在有限可加函數m：C→?，使得m（X）＝v（X），m（A）≥v（A），A∈C，則稱函數m為博弈v的一個核心。

博弈v的所有核心的集合記為Core（v）。

引理1［11］設v∈pNA，且具有超可加性與一階齊次性，則博弈v存在唯一的核心。

對于具有無限多局中人的合作博弈，當局中人以一定程度參與某個聯盟，這種博弈稱為模糊博弈，聯盟稱為模糊聯盟，利用將（X，C）映射到（I，β）的可測函數A表示。對任意的x∈X，A（x）表示局中人x參與模糊聯盟A的程度，也是x對模糊集A的隸屬度。對任意的α∈［0，1］，模糊集A的水平集為Aα＝，X的所有在［0，1］上可積的模糊集的全體記為F（X）。

一個具有無限局中人的模糊合作博弈v定義為將F（X）映射到?且滿足v（φ）＝0的集函數，G（X）表示所有模糊博弈的集合。

本文中，兩個模糊集的交與并定義為：

定義5設v∈G（X），若對任意的A∈F（X），v（A）≠0，總存在A的子集B∈F（X），使得v（B）?｛0，v（A）｝，則稱v是缺原子的。

定義6設v∈G（X），若對任意的A、B∈F（X），且A∩B＝?，有v（A∪B）≥v（A）＋v（B），則稱v是超可加的。

2 具有Choquet積分形式的模糊合作博弈

定義7 設X為局中人的集合（相互作用組成模糊聯盟A），A是X的模糊子集且其水平集為Aα＝那么一個博弈v∈G（X）稱為具有Choquet積分形式的模糊合作博弈，如果滿足

其中，等式右端的積分是Lebesgue積分；v0是定義在X上經典單調博弈，記v0的全體集合為G0（X），具有Choquet積分形式的模糊合作博弈的全體為GC（X）。

由Choquet積分的定義知，式（1）的右端積分是函數A在X上關于v0的Choquet積分［12－13］，即

特別地，當A為經典集合時，v（A）＝v0（A），即經典博弈v0是具有Choquet積分形式的模糊博弈的特殊情形，它們之間的關系是一一對應的。從而稱v0為相應于v的經典博弈。

當v0為經典測度即可列可加測度且A在［0，1］上可積，那么式（2）中的Choquet積分就為A在［0，1］上關于測度v0的Lebesgue積分，記這類具有Choquet積分形式的模糊合作博弈的全體為GL（X）。顯然，GL（X）?GC（X）。

性質1若v0∈G0（X）是超可加的，則模糊博弈v∈GC（X）也是超可加的。

證明對任意的模糊集A、B∈F（X），A∩B＝?，α∈［0，1］有：（A∪B）α＝Aα∪Bα。從而，

所以，模糊博弈v∈GC（X）是超可加的。

性質2若v0∈G0（X）是單調的，則v∈GC（X）也是單調的。

3 具有Choquet積分形式的模糊博弈的核心

定義8設有限可加函數m：F（X）→?，若

則稱m為模糊博弈v的一個核心，v的所有核心的集合記為Core（v）。

定理1設v∈GL（X）是具有Choquet積分形式的模糊博弈，定義有限可加函數m：F（X）→?為

其中，m0是經典博弈v0∈G0（X）的一個的核心，v0是相應于v∈GL（X）的經典博弈，則m是博弈v∈GL（X）的一個核心。

證明先證m是有限可加的。設模糊集A、B∈F（X），且A∩B＝?，則對任意的α∈［0，1］，Aα∩Bα＝?。因為m0是有限可加的，所以，對任意的α∈［0，1］，有

即m是有限可加的。

下證m是v的核心。

因為m0是博弈v0∈G0（X）的一個核心，則由核心的定義知m0（X）≤v0（X），又因為對任意的α∈［0，1］，有

定理1表明：若經典博弈是可列可加的，且核心存在，則對應的具有Choquet積分形式的模糊合作博弈的核心也存在，且可用經典博弈的核心的Lebesgue積分形式表示。

定理2設v∈GL（X），與v相應的經典博弈v0∈pNA且具有超可加性與一階齊次性，則v∈GL（X）存在唯一的核心。

證明由引理1知，博弈v0存在唯一的核心m0。又由定理1及v與v0的一一對應性知，與v0對應的模糊博弈v∈GL（X）也存在核心m，且

4 結論

本文定義了具有Choquet積分形式的具有無限多局中人的模糊合作博弈，討論了這類博弈的超可加性、單調性及缺原子性，證明了基于經典測度的具有Choquet積分形式的模糊合作博弈的核心存在性及其積分表示形式。對本文所定義的模糊合作博弈，還可進一步研究其值的存在性及其與核心之間的關系等問題。

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O225

A

1672－6871（2014）01－0075－04

國家自然科學基金項目（10971053）；河南省教育廳自然基金項目（12B110007）

王鋒葉（1979－），女，山西運城人，講師，博士，研究方向為模糊決策，博弈論.

2012－12－04