橢圓輪廓度誤差幾何遍歷搜索算法

雷賢卿，崔靜偉，王海洋

（1.河南科技大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，河南 洛陽(yáng) 471003；2.洛陽(yáng)軸研科技股份有限公司，河南 洛陽(yáng) 471003）

橢圓輪廓度誤差幾何遍歷搜索算法

雷賢卿1，崔靜偉2，王海洋1

（1.河南科技大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，河南 洛陽(yáng) 471003；2.洛陽(yáng)軸研科技股份有限公司，河南 洛陽(yáng) 471003）

結(jié)合橢圓幾何特性及其相關(guān)的評(píng)定問(wèn)題的研究現(xiàn)狀，提出了橢圓輪廓度誤差的遍歷搜索算法。該算法的原理是以最小二乘橢圓兩焦點(diǎn)為初始參考點(diǎn)，按一定的規(guī)則分別布置一系列的網(wǎng)格點(diǎn)構(gòu)造輔助焦點(diǎn)，依次以各輔助點(diǎn)為假定理想橢圓焦點(diǎn)，構(gòu)造一系列的輔助橢圓作為假定理想橢圓。計(jì)算測(cè)量點(diǎn)到這些假定理想橢圓的距離極差，最終實(shí)現(xiàn)橢圓輪廓度誤差的最小區(qū)域評(píng)定。實(shí)例驗(yàn)證表明：該算法可以有效、正確地評(píng)定橢圓輪廓度誤差。

誤差評(píng)定；橢圓度；遍歷搜索算法；最小區(qū)域

0 引言

橢圓輪廓度的公差帶是與理想橢圓等距的兩個(gè)橢圓等距線之間的區(qū)域。對(duì)于其輪廓的幾何參數(shù)和輪廓度誤差等的評(píng)定方法，國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)尚未做出明確的規(guī)定和說(shuō)明。但橢圓形零件在特殊場(chǎng)合的應(yīng)用，如發(fā)動(dòng)機(jī)活塞的裙部設(shè)計(jì)成中凸變橢圓形狀，以保證其吸能效果，這就使得橢圓線輪廓度精密測(cè)量及精確評(píng)定有著重要的價(jià)值。但關(guān)于橢圓輪廓度誤差的評(píng)定，國(guó)家和國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)都沒(méi)有給出一種特定的評(píng)定算法。近年來(lái)橢圓輪廓度誤差的評(píng)定方法主要是運(yùn)用最小二乘法，但最小二乘法的計(jì)算誤差較大，不能進(jìn)行精確評(píng)定，很難符合實(shí)際測(cè)量的要求。不少學(xué)者都進(jìn)行了橢圓輪廓度誤差評(píng)定的研究，比較有代表性的算法有：基于代數(shù)距離的最小二乘法［1－5］，正交最小二乘法［6］，矢函數(shù)法［7］，采用對(duì)應(yīng)特征點(diǎn)法、一維搜索法（DFP）及一維搜索法的自適應(yīng)調(diào)整的線輪廓誤差評(píng)定方法［8］，最小方差估計(jì)擬合算法［9］，橢圓直接擬合算法［10］，最大內(nèi)接橢圓法，最小外接橢圓法［11］。這些評(píng)定方法對(duì)于橢圓輪廓度誤差的評(píng)定都有一定的作用和效果。

本文結(jié)合橢圓輪廓度誤差幾何特性及其評(píng)定問(wèn)題，提出了幾何遍歷搜索的橢圓輪廓度誤差最小區(qū)域評(píng)定算法，該算法可以有效、準(zhǔn)確地評(píng)定橢圓度誤差。

1 幾何遍歷搜索算法的原理

首先通過(guò)橢圓輪廓上測(cè)量點(diǎn)的坐標(biāo)值，以一定方法（如最小二乘法）確定參考橢圓，計(jì)算所有測(cè)量點(diǎn)到參考橢圓的距離極差值（橢圓輪廓度誤差，記為 e0）。如圖 1所示，以參考橢圓的兩焦點(diǎn)F1（x01，y01）、F2（x02，y02）為初始參考點(diǎn)，在其周?chē)远ㄟ呴L(zhǎng)f（如最小二乘橢圓度誤差值或估計(jì)的橢圓度誤差值）分別布置一個(gè)正方形為搜索區(qū)域，將正方形區(qū)域的邊長(zhǎng)分別進(jìn)行n等分，并對(duì)搜索區(qū)域進(jìn)行網(wǎng)格劃分，可得兩組（n＋1）2網(wǎng)格點(diǎn)，（n＋1）4對(duì)輔助點(diǎn)（即新的焦點(diǎn)坐標(biāo)），計(jì)算測(cè)量點(diǎn)到輔助點(diǎn)所確定的假定理想橢圓的誤差值echa，可得到（n＋1）4個(gè)echa，其中這（n＋1）4個(gè)echa中的最小值記為e1。比較e0和e1的大小，根據(jù)橢圓度誤差的定義可知：e0和e1中較小值就是被測(cè)橢圓的最小區(qū)域橢圓度誤差。

2 幾何遍歷逼近算法的步驟

設(shè)橢圓輪廓上測(cè)量點(diǎn)的坐標(biāo)值為：pi（xi，yi）， （i＝1，2，…，N）。

2.1 構(gòu)造輔助點(diǎn)

以最小二乘橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)F01（x01，y01）、F02（x02，y02）為初始參考點(diǎn)（橢圓輪廓度誤差的最小二乘評(píng)定算法在許多參考文獻(xiàn)中均有詳細(xì)的介紹，本文不再重復(fù)）。以最小二乘橢圓輪廓度誤差或估計(jì)的橢圓輪廓度誤差值e0為定邊長(zhǎng)f（f＝e0）構(gòu)造正方形區(qū)域，對(duì)每個(gè)正方形區(qū)域的邊長(zhǎng)進(jìn)行n等分的網(wǎng)格劃分，得到兩組（n＋1）2個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)，將兩組網(wǎng)格點(diǎn)進(jìn)行組合可得（n＋1）4對(duì)輔助點(diǎn)。

輔助點(diǎn)坐標(biāo)按式（1）～式（4）進(jìn)行計(jì)算：首先，利用式（1）計(jì)算出正方形左上角的輔助點(diǎn)坐標(biāo)Fv1（xv1，yv1）、Fv2（xv2，yv2）作為計(jì)算基點(diǎn)：

圖1 橢圓度誤差幾何遍歷搜索評(píng)定原理

以計(jì)算基點(diǎn)為參考點(diǎn)，利用式（2）和式（3）計(jì)算輔助點(diǎn)坐標(biāo)Fv1（p，q）（xv1（p，q），yv1（p，q））、Fv2（p，q）（xv2（p，q），yv2（p，q）），（p，q＝1，2，…，n＋1）：

2.2 構(gòu)造輔助橢圓

以輔助點(diǎn)Fv1（p，q）（xv1（p，q），yv1（p，q））（p，q＝1，2，…，n＋1）依次與輔助點(diǎn)Fv2（p，q）（xv2（p，q），yv2（p，q））（p，q＝1，2，…，n＋1）組合可得到（n＋1）4對(duì)假定理想橢圓焦點(diǎn)坐標(biāo)，可構(gòu)造出（n＋1）4個(gè)輔助橢圓。由橢圓的幾何特性可知：橢圓可以用下列5個(gè)獨(dú)立參數(shù)來(lái)唯一確定，長(zhǎng)軸半徑、短軸半徑、中心坐標(biāo)及長(zhǎng)軸與x軸的夾角。

（Ⅰ）長(zhǎng)軸半徑aj（j＝1，2，…，16）的確定。僅由兩焦點(diǎn)坐標(biāo)無(wú)法確定一個(gè)橢圓，由橢圓定義可知：橢圓上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)坐標(biāo)的距離之和為長(zhǎng)軸半徑的2倍，本文利用測(cè)量點(diǎn)的坐標(biāo)值，用式（5）計(jì)算所有測(cè)量點(diǎn)pi（xi，yi）（i＝1，2，…，N）分別到這（n＋1）4對(duì)焦點(diǎn)的距離dij（j＝1，2，…，（n＋1）4），作為（n＋1）4個(gè)輔助橢圓的長(zhǎng)軸值。輔助橢圓長(zhǎng)軸半徑值aj（j＝1，2，…，（n＋1）4）利用式（6）取所有測(cè)量點(diǎn)所確定的長(zhǎng)軸半徑值的平均值。

（Ⅱ）短軸半徑bj（j＝1，2，…，（n＋1）4）的確定。利用式（7）根據(jù)兩焦點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算輔助橢圓的焦距。由橢圓長(zhǎng)、短半軸間的關(guān)系按式（8）確定短軸半徑。

（Ⅲ）中心坐標(biāo)x0j、y0j（j＝1，2，…，（n＋1）4）的確定，由橢圓位置的幾何關(guān)系可得：

（Ⅳ）長(zhǎng)軸與x軸的夾角θj（j＝1，2，…，（n＋1）4）的確定：

由以上得到橢圓主參數(shù)，則輔助橢圓的方程可表達(dá)為：

設(shè)橢圓的一般方程為x2＋Axy＋By2＋Cx＋Dy＋E＝0，將式（12）展開(kāi)，計(jì)算假定理想橢圓的一般方程系數(shù)：

可得到（n＋1）4個(gè)輔助橢圓方程x2＋Ajxy＋Bjy2＋Cjx＋Djy＋Ej＝0，j＝1，2，…，（n＋1）4。

2.3 計(jì)算測(cè)量點(diǎn)到輔助橢圓的距離極差

設(shè)點(diǎn)Mij（Xij，Yij）為過(guò)測(cè)量點(diǎn)pi（xi，yi），（i＝1，2，…，N）的橢圓法線與輔助橢圓的交點(diǎn)，由于交點(diǎn)Mij（Xij，Yij）既在法線上又在輔助橢圓上，即點(diǎn)Mij（Xij，Yij）滿足方程組（14）：

用式（15）計(jì)算所有測(cè)量點(diǎn)到（n＋1）4個(gè)輔助橢圓的距離，其中測(cè)量點(diǎn)在輔助橢圓外側(cè)的最大距離與內(nèi)側(cè)的最小距離之差為橢圓度誤差echaj，即式（16）。

有（n＋1）4個(gè)輔助橢圓就可以得到（n＋1）4個(gè)距離極差值echaj，根據(jù)橢圓度誤差的定義可以知道，（n＋1）4個(gè)距離極差值中的最小者min echaj即為被測(cè)橢圓的最小區(qū)域橢圓度誤差，用F表示。

3 實(shí)例驗(yàn)證

表1為文獻(xiàn)［6］中的橢圓的測(cè)量數(shù)據(jù)，利用本文所提算法對(duì)同一組數(shù)據(jù)處理結(jié)果比較，驗(yàn)證橢圓度幾何遍歷搜索算法的正確性。設(shè)定初始條件如下：

（Ⅰ）初始參考點(diǎn)坐標(biāo)：用最小二乘法計(jì)算的橢圓焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1（－11.283 1，－21.423 3）、F2（11.284 0，81.425 5）。

（Ⅱ）擴(kuò)展區(qū)域的初始邊長(zhǎng)：f＝e0（最小二乘法計(jì)算出的橢圓度誤差值e0＝0.004 9 mm）。

（Ⅲ）擴(kuò)展區(qū)域劃分的網(wǎng)格點(diǎn)數(shù)：每個(gè)擴(kuò)展區(qū)域劃分的網(wǎng)格點(diǎn)數(shù)為k（k分別取25，100，225，400），則組成k2對(duì)橢圓焦點(diǎn)坐標(biāo)來(lái)進(jìn)行計(jì)算。

數(shù)據(jù)處理結(jié)果見(jiàn)表2，與其他文獻(xiàn)中不同方法計(jì)算結(jié)果比較見(jiàn)表3。

表1 測(cè)量數(shù)據(jù) mm

表2 數(shù)據(jù)處理結(jié)果

表3 不同方法的計(jì)算結(jié)果比較

由表2和表3可以看出：本文提出的橢圓輪廓度幾何遍歷搜索算法結(jié)果與文獻(xiàn)［7］的計(jì)算結(jié)果中橢圓的主參數(shù)相一致，且評(píng)定結(jié)果更精確。

由表2可以看出：在使用本算法時(shí)，初始區(qū)域一定的情況下，網(wǎng)格點(diǎn)劃分越多，得到的誤差值呈現(xiàn)出越來(lái)越小的規(guī)律，所以算法是收斂的。當(dāng) k≥100時(shí)，所計(jì)算出的橢圓輪廓度誤差值之間相差小于0.000 1 mm，說(shuō)明算法具有良好的穩(wěn)定性。所以在實(shí)際應(yīng)用劃分網(wǎng)格時(shí)k≤100即可。這就說(shuō)明幾何遍歷誤差最小區(qū)域評(píng)定算法可以有效、準(zhǔn)確地評(píng)定橢圓輪廓度誤差。

4 結(jié)束語(yǔ)

結(jié)合橢圓度誤差的幾何特性，研究了橢圓輪廓度誤差的幾何遍歷搜索算法。該算法對(duì)測(cè)樣點(diǎn)是否均勻沒(méi)有要求，其原理簡(jiǎn)單，易于編程。應(yīng)用文獻(xiàn)［7］的測(cè)量數(shù)據(jù)，將幾何遍歷搜索算法應(yīng)用于橢圓度誤差評(píng)定中，在每個(gè)搜索區(qū)域劃分網(wǎng)格點(diǎn)數(shù)分別為100時(shí)，計(jì)算結(jié)果分別比最小外接橢圓法［10］、最大內(nèi)接橢圓法［10］、矢函數(shù)法［6］計(jì)算的結(jié)果減小了2.6μm、2.9μm和3.0μm。計(jì)算結(jié)果證明：幾何遍歷搜索算法能夠有效地對(duì)橢圓輪廓度誤差進(jìn)行精確評(píng)定，對(duì)三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)上橢圓輪廓度誤差的評(píng)定具有一定的借鑒作用。

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TH161

A

1672－6871（2014）06－0009－05

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（50875076）；河南省基礎(chǔ)與前沿技術(shù)研究計(jì)劃基金項(xiàng)目（122300413209，122300410114）

雷賢卿（1963－），男，河南洛寧人，教授，博士，碩士生導(dǎo)師，主要從事精密測(cè)試技術(shù)方面的研究.

2014－03－28