Black-Scholes定價模型

李培巒，張增援

（河南科技大學數學與統計學院，河南 洛陽 471023）

Black-Scholes定價模型

李培巒，張增援

（河南科技大學數學與統計學院，河南 洛陽 471023）

研究連續時間衍生品的定價，建立Black-Scholes定價模型，給出了Black-Scholes微分方程的推導過程以及基于鞅方法的Black-Scholes公式。結合歐式期權的定價公式給出了避險參數的表達式及意義。

金融衍生工具；Black-Scholes模型；歐式期權；避險參數

0 引言

隨著全球經濟的發展，金融衍生工具的品種日益復雜和多樣化，加上衍生工具的高風險性，通過模型研究衍生工具顯得尤為重要。1973年，Fischer Black和Myron Scholes利用無風險投資理論和隨機微分方程理論，得到了著名的Black-Scholes隨機偏微分方程［1］，并利用相應的邊界條件和概率方法得到了歐式看漲（跌）期權價格的計算公式。Black-Scholes方程的推導方法是定義期權價格的基礎，相關的方法較多［2－3］，大部分都是用布朗運動入手，結合偏微分方程的邊值理論，但過程較復雜，本文完全采用偏微分方程的理論來推導Black-Scholes方程，過程較簡單，并推導了基于鞅方法的Black-Scholes公式，還結合歐式期權的定價公式介紹避險參數的表達式及意義。

Black-Scholes方程是一個連續時間衍生品的定價模型。為了從偏微分方程入手討論Black-Scholes定價公式，首先要對市場做如下假設：

（Ⅰ）基礎資產不支付紅利，且其價格服從幾何布朗運動，即基礎資產（以下均假設基礎資產為股票）的價格滿足隨機微分方程：

其中，μ、σ為常數。

（Ⅱ）市場是完全的、無套利的；可以無限制的賣空；市場無摩擦，即無稅收成本、無交易成本。

（Ⅲ）無風險利率是一個常數，且任何期限的借貸利率都相等。

（Ⅳ）基礎資產可以以任何數量在任何連續的時間交易。

在這些假設條件下，可以推導出衍生品價格滿足的偏微分方程的Black-Scholes微分方程，結合邊界條件可以求出衍生品的價格。

1 Black-Scholes微分方程的推導

引理1［2－3］令f（t，St）是關于t和隨機過程St的二次可微函數，d St＝αtd t＋σtd Wt（t≥0），漂移項αt和擴散項σt都有很好的性質。則

證明下面給出Black-Scholes微分方程的完全利用偏微分理論的推導過程。

用T表示衍生品的期限，f（t，St）表示衍生品t時刻的價格。假設函數f（·，·）具有連續的二階偏導數，由It?引理可得：

由式（1）和式（2）可以構建一個無風險組合π以消去d Wt項。假設持有－1單位的衍生品單位的股票，則t時刻組合π的價格為：

兩邊求微分可得：

將式（1）和式（2）代入式（3）可得：

整理可得：

從式（4）可以看到：組合π價格的變化僅與時間有關，與市場的狀態無關，因此π是無風險組合。故

由式（4）和式（5）可得：

整理可得：

等式（6）就是Black-Scholes微分方程。

基于Black-Scholes微分方程的推導過程，可以得到以下兩個推論：

推論1式（1）中的μ和σ可以度量股票的收益和風險。

證明將式（1）差分，得到：

其中，△St＝St＋△t－St；△Wt＝Wt＋△t－Wt。因△Wt～N（0，△t），所以基于t時刻的信息集F Ft對式（7）兩邊求條件期望可得所以，μ的含義是股票的連續收益率。同理，求△St基于F Ft的條件方差可得所以，σ的含義是收益率的（瞬時）標準差。故μ和σ分別度量了股票的收益和風險。

推論2歐式看漲期權滿足的邊界條件為：f（T，ST）＝max｛ST－K，0｝，解Black-Scholes微分方程就得到標準歐式期權的價格：

例1 一個1年期歐式看漲期權，其標的資產為一只公開交易的普通股票，已知：a.股票現價為122元；b.股票年收益標準差為0.2；c.ln（股票現價／執行價現價）＝0.2。利用Black-Scholes期權定價公式計算該期權的價格。

解 利用Black-Scholes期權定價公式可得：

從Black-Scholes微分方程及其推導過程，還可以知道組合π是動態的。由π的定義可以看出：π的價格是隨時間變化的，組合中的系數也是隨時間變化的，這表明套期保值［4－5］是一個動態的過程。

假設式（1）只涉及一個d Wt項，這表明市場是由一個布朗運動驅動的，也就是說市場只有一個“風險源”。如果衍生品設計多個風險，如隨機利率的股票期權的定價中涉及到兩個風險，需要用d W1t和d W2t描述其對價格的影響。這樣的模型稱為雙因素模型。衍生品價格滿足的微分方程的推導中將用到二維的It?引理，但推導的思路與單因素的情形相同。

如果基礎資產支付紅利，其價格滿足的隨機微分方程變為：

與式（6）的推導類似，可以推導出衍生品價格滿足的微分方程：

其中，q為股票的紅利率。

2 基于鞅方法的Black-Scholes公式

隨機偏微分方程的求解非常麻煩，有時甚至根本求不出具體的解，所以需要考慮一種簡單的方法求解衍生品的定價公式，下面給出基于鞅方法的Black-Scholes公式。

定理1 在Black-Scholes模型的假設下，市場存在唯一的風險中性概率測度Q，且T時刻到期的衍生品在t時刻的價格可以表示為：

其中，XT為在衍生品到期時的支付額。

證明 建立貼現的基礎資產價格過程：

通過Girsanov定理［6］，找到風險中性概率測度Q，使得Dt是一個Q鞅。通過求解式（1）可得客觀概率測度下：

由Girsanov定理，可以找到概率測度Q，使得：

定義過程Vt和Et由條件期望的塔性質［7］可知Et是一個Q鞅。

由鞅表示定理可知：存在一個F Ft可料過程φt（稱φt是F Ft可料過程，如果φt是F Ft可測的，其中使得：d Et＝φtd Dt。

設：ψt＝Et－φtDt。因此，如果在t時刻持有φt單位的基礎資產和ψt單位的無風險資產（其價格為Bt＝ert），則t時刻組合的價格為：

并且，d Vt＝φtd St＋ψtd Bt，所以該策略是自融資的，其資產組合在t時刻的價格等于衍生品t時刻的價格，即：

由式（11）可以較容易地得到式（8）。事實上，對歐式看漲期權式（11）可寫為：ct＝e－r（T－t）EQ［max（ST－K，0）］。不失一般性，求解c0。因ST在Q下服從對數正態分布，因此在Q下服從對數正態分布

設事件A＝｛ST＞K｝，則

其中，IA為A的示性函數。在已知ST分布的情況下計算表達式中的兩個期望是不難的。證畢。

可以看出，鞅方法將前面求解Black-Scholes微分方程的復雜過程變為簡單的求隨機變量的數學期望，這正是鞅方法的優勢所在。

3 “希臘字母”及其意義

隨著金融的高速發展，期權的定價理論得到了很好的發展，期權理論已趨向成熟，期權在實務中的應用也日趨頻繁。雖然期權是一個很好的避險工具，但是期權的應用本身也會引發一定的風險，那么一個現實的問題就是：怎樣降低由于期權的應用而引發的風險。希臘字母是衍生品的常用避險參數的總稱［8－10］。這些避險參數度量了衍生品價格對各變量的敏感性，也引起了學者的關注［10－15］。本文結合歐式期權的定價公式，利用偏微分方程的方法重點介紹3種避險參數的表達式及意義。

在實務中，△度量了基礎資產價格波動對衍生品價格的影響，因此△是對資產價格敏感性的度量。由于每個資產都有△（基礎資產本身的△＝1），因此通過調整資產組合中各個資產的權重，可能達到各單一資產按投資比例加權的△值為0，此時稱資產組合處于△中立狀態。這意味著基礎資產價格的變動導致資產組合價格的該變量為0?！髦辛顟B是風險管理者消除基礎資產價格風險的最佳狀態。

Γ度量了基礎資產價格的變化對△的影響，即度量了衍生品價格與基礎資產價格之間的凹凸性。如果某個時刻投資者處于△中立狀態，當基礎資產價格變化時，資產組合新的加權△的值可能不為0。Γ給出了如何重新回到△中立狀態的方法。事實上，如果Γ＜0，則基礎資產價格的上升將使得資產組合的△＜0，因此需要增加組合中有正△值資產的頭寸以重新達到組合的△＝0。

v度量了基礎資產價格波動性的變化對衍生品價格的影響。資產組合的v較小意味著資產組合的價格對基礎資產價格波動率的變化不敏感。因此，對v較小的資產組合而言，沒有必要花費較大的成本獲得σs的準確值；反之，若組合的v較大，有必要獲得σs較準確的信息。波動率σs不能直接觀察到，通常情況下，σs是基于基礎資產價格的歷史數據估計出來的，這樣得到的σs稱為歷史的波動率。另一種獲得σs的方法是基于某個定價公式，如Black-Scholes期權定價公式，將被定價的價格用其市場價格代替，反解出σs，這樣得到的σs稱為隱含的波動率。兩種方法哪種更好視具體情況而定。

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O175

A

1672－6871（2014）05－0082－05

國家自然科學基金項目（11001274，11101126，11261010）；中國博士后基金項目（20110491249）；河南省教育廳科技重點研究項目（12B110006）；河南科技大學青年基金項目（2012QN010）；河南科技大學自然科學領域創新能力培育基金項目（2013ZCX020）

李培巒（1979－），男，河南鶴壁人，副教授，博士后，主要從事應用數學方面的研究.

2013－10－14