改進的灰色Verhulst模型

劉麗娜，單 銳

（燕山大學理學院，河北 秦皇島 066004）

改進的灰色Verhulst模型

劉麗娜，單 銳

（燕山大學理學院，河北 秦皇島 066004）

針對灰色Verhulst模型預測函數中參數c的求解問題，提出了一種優化預測函數的新方法。該方法以累加生成序列的倒數與其倒數模擬值的差值平方和最小為目標函數，構建了一個非線性無約束優化模型，來求解灰色Verhulst模型預測函數中的參數c，并給出了灰色微分方程時間響應式的解析式。實驗分析表明：改進模型在預測精度和實用性上均有較大改善。

灰色Verhulst模型；時間響應函數；最小二乘法；預測

0 引言

灰色預測是預測領域中重要的技術手段之一，其核心模型包括GM（1，1）模型和灰色Verhulst模型。Verhulst模型最初由德國生物學家Verhulst在研究生物繁殖規律時提出的，該模型以研究具有S型增長過程的數據序列著稱。灰色Verhulst模型的提出將傳統Verhulst模型的應用范圍從具有飽和狀態的數據拓展為近似單峰型的數據，克服了GM（1，1）模型不能描述具有非線性特點的數據序列的缺點。正是由于灰色Verhulst模型的這些優點，該模型已經在經濟、管理等許多個領域得到廣泛應用［1－2］。為了不斷地提高模型精度，擴大模型的適用范圍，國內外許多學者對其進行了深入研究。文獻［3］利用Verhulst模型對具有飽和狀態的微生物生長曲線進行修正，使得改進后的模型能更好地模擬具有飽和狀態的微生物生長曲線。文獻［4］利用連續Verhulst動態模型合成一種新的分布式功率控制算法，并將該算法用于直接序列碼分多址系統，取得了較好的效果。文獻［5］提出了一種廣義灰色Verhulst模型，并利用背景值和模擬函數之間的關系給出了一種新的參數估計方法，并對英國鋼鐵的使用量建立灰色Verhulst模型，證明了新模型的有效性。文獻［6－7］分別從不同的角度出發對灰色Verhulst模型的背景值進行了優化研究，并通過實例驗證了新模型具有較高的模擬和預測精度。文獻［8］利用相對誤差的兩種最小準則構建了兩種新模型來求解灰色Verhulst模型中的參數，同時為了方便求解新模型的參數，引進了線性規劃方法。文獻［9］以白化微分方程為基礎，運用梯形公式來白化灰導數，提高了模型的預測度；文獻［10］通過對一次累加生成序列作倒數生成，構建了無偏灰色Verhulst模型，消除了原始模型自身所固有的偏差。文獻［11］利用一次累加生成序列倒數與其倒數模擬值之差的平方和最小值為目標函數，構建了兩種優化初始條件的無偏灰色Verhulst模型。文獻［12］建立了灰色離散Verhulst模型，加強了模型的適應性。就灰色Verhulst模型而言，如何選取預測函數中的常數c使得擬合曲線最大限度的接近原始數據曲線，一直困擾著國內外的學者們。原始的灰色Verhulst模型通常采用序列的某個分值作為初值條件來確定常數c，這種方法使得模擬序列必須經過某個原始數據，不能保證原始序列和模擬序列的最優擬合。雖然文獻［13－14］對預測函數的初始值進行了改進，但仍然不能使得模擬序列最大限度地接近原始數據序列。

本文在以上研究的基礎上，繼續對模型的初值問題進行研究，原始模型和文獻［14］中分別以x（1）（1）和x（1）（n）為初始條件建立模型，這就意味著擬合曲線需要經過x（1）（1）或x（1）（n）點，然而，在實際應用中最優擬合曲線并不一定過累加生成序列的第一個值或最后一個值。針對此問題，本文提出了一種新的求解預測函數（即時間響應函數）中常數c的方法，該方法以累加生成序列的倒數與其倒數模擬值的差值平方和最小為目標函數，構建了一個非線性無約束優化模型，從而構建了優化的Verhulst模型。

1 灰色Verhu lst模型建模機理

下面將引出文獻［15］中有關灰色Verhulst模型的定義。

定義1 設X0＝（X0（1），X0（2），…，X0（n））為原始序列，X0（k）≥0，（k＝1，2，3，…，n），其一次累加序列1-AGO為：

設X1的緊鄰均值生成序列為Z1＝（Z1（2），Z1（3），…，Z1（n）），其中

利用1-AGO序列X1建立的傳統灰色Verhulst模型的白化微分方程為：

定義2 設X（0）為非負原始序列，X（1），Z（1）分別為X（0）的1-AGO序列和背景值序列，則

（1）灰色Verhulst模型的最小二乘估計參數序列滿足

（3）灰色Verhulst模型的灰色微分方程的時間響應序列為：

（4）還原值

2 灰色Verhulst模型的優化

（2）灰色微分方程x（0）（k）＋az（1）（k）＝b（z（1）（k））2的時間響應函數（即模型的預測函數）為：

證明（1）因為灰色Verhulst模型的白化微分方程的通解為x（1）（t）＝，其中c為常數。

應用下列方法確定常數c：首先構建一次累加生成序列的倒數（x（1））－1與其模擬值（x＾（1））－1之差的平方和的最小值函數G（c），

對于參數c的求解可以通過優化理論中的無約束最優化的求解方法，如牛頓法、最速下降法、遺傳算法、模擬退火算法等，也可以利用數學分析中求解最值的方法。

在這里采用數學分析中的方法來求解模型的常數c。

對函數G（c）求導得：

令G（c）′＝0，可得：

根據實際情況函數G（c）在c處取得最小值。

（2）由（1）的證明結果，令t＝k得：

由累減還原顯然可得。

定義3

為灰色Verhulst模型的時間響應序列的累減還原值，則：

（1）當k≤n時，稱x＾（0）（k）為模型的模擬值；

（2）當k＞n時，稱x＾（0）（k）為模型的預測值。

3 應用實例

本文采用文獻［6］中交通量預測數據，分別建立傳統的灰色Verhulst模型和本文改進的灰色Verhulst模型，分析比較它們的模擬和預測精度。某疏港公路歷年交通量觀測數據見表1。

表1 某疏港公路歷年交通量

從表1可以看出：原始數據近似S型曲線的一部分。針對此種情況，可以取原始數據為x（1），其一階累減還原數據為x（0），直接對x（1）進行建模。

為了方便驗證改進模型的模擬和預測精度，將數據分為兩部分：第1部分為1999年～2003年的數據，第2部分為2004年～2005年的數據。采用第1部分的數據建立改進的灰色Verhulst模型，并用建立的新模型預測2004年～2005年的數據。新模型的模擬精度和預測精度見表2。

表2 兩種模型的模擬值與實際值的比較

原始數據x（1）＝（9.395，11.821，13.403，14.755，15.268），其一階累減還原序列x（0）＝（9.395，2.426，1.582，1.352，0.513）。

（1）對一階累減還原數據x（0）建立傳統灰色Verhulst模型，在這里取初始條件為x（1）（0）＝x（1）（1）＝9.395，可得灰色Verhu lst模型時間響應式為：

（2）建立優化的灰色Verhulst模型，優化結果顯示常數c＝0.077 813，

由以上兩個時間響應式便可進行實際預測，兩個模型的精度比較見表3。

表3 兩種模型的預測值與實際值的比較

由表2和表3可以看出：本文提出的優化Verhulst模型在模擬和預測精度上都比傳統的Verhulst模型有所提高，說明優化模型的擬合曲線優于傳統Verhulst模型的擬合曲線，從而使得新的灰色Verhulst模型在模擬、預測方面比傳統模型更具有優勢。

4 結論

在傳統的Verhulst模型中將x（1）（1）＝x（0）（1）作為初始條件，來求解時間響應函數的常數c，而在實際應用中最優時間響應函數的曲線不一定經過初始點，這勢必導致曲線的擬合效果較差，擬合和預測精度不高。本文根據累加生成序列的倒數與其倒數模擬值的差值平方和最小為準則，構建了一個非線性無約束優化模型來求解模型預測函數中的參數c，建立起相應的最優時間響應函數，避免了原Verhulst模型初始條件難以確定的問題。并通過實例驗證了該改進模型可以有效地提高模擬和預測精度。

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O212

A

1672－6871（2014）05－0090－05

國家自然科學基金項目（51175448）；河北省教育廳基金項目（2009159）

劉麗娜（1987－），女，河北衡水人，碩士生；單 銳（1961－），女，河北秦皇島人，教授，博士，碩士生導師，研究方向為時間序列分析、最優化理論與算法、非線性規劃.

2014－04－23