基于橢圓運動方式的小工具拋光去除函數

劉猛猛，洪 鷹

（天津大學機械工程學院，天津300072）

基于橢圓運動方式的小工具拋光去除函數

劉猛猛，洪 鷹*

（天津大學機械工程學院，天津300072）

為了改進傳統的小工具拋光的去除函數的特性和提高去除效率，在行星和平轉動拋光方式的基礎上，通過三轉子機構，實現了橢圓式運動方式；以Preston理論為基礎，研究并推導了在這種運動方式下的材料去除函數；通過計算機模擬得到了去除函數的面形矩陣，經過優化后獲得了最終的拋光參量，得到了與理想的高斯型函數吻合程度高的去除函數。結果表明，仿真加工后，其去除效率優于行星式去除函數。基于橢圓運動方式的小工具拋光避免了行星和平轉動拋光方式去除函數存在的缺陷，有助于提高拋光過程的去除效率。

光學制造；去除函數；橢圓運動；仿真加工

引 言

隨著激光技術的發展，對高精度大口徑光學元件需求不斷加大［1］。計算機控制表面成型技術在高精度光學元件，特別是大口徑元件的實際加工中得到了廣泛的應用，而小工具拋光正是其典型代表。目前，小工具拋光的運動方式主要有兩種：行星運動式和平轉動式。其去除函數與理想的高斯型去除函數相比，存在一定的缺陷：去除函數中心不是單一峰值，甚至出現凹陷，有可能使工件表面出現凸起；曲面不光滑，會造成中高頻誤差；曲線邊緣處曲線斜率過于陡峭。而這些缺陷難以通過調整其運動參量而加以改善，以至于小工具拋光技術在光學元件加工領域的應用受限，發展緩慢。通過改變拋光盤的形狀是改善這種現狀的一種方式［2］，但受限于加工條件，難以獲得與理論形狀完全一致的拋光盤；同時在拋光盤直徑相同的前提下，減小其有效拋光面積，可以降低去除的效率。因此改變其運動方式，是一種改善去除函數特性的有效方法。

作者基于行星運動方式的相關理論，在自轉與公轉之間增加1級橢圓運動，形成三轉子拋光機構，并對其各個運動參量進行優化，獲得了理想的去除函數。

1 去除函數

1.1 行星運動式拋光技術相關理論

去除函數的理論基礎是Preston方程［3］，材料的去除量與拋光盤、工件間的壓力、速率成正比：

式中，z為某一點的材料去除量；t為時間；K為比例常數，它由除速度和壓力以外的其它因素決定；v為某點某一瞬時的速率；p為該點該瞬時的壓力。則對于拋光面上任一點其去除函數為：

式中，R（x，y）為去除函數；T為拋光盤在任意一個給定區域所停留的時間；Δz（x，y，t）為不移動拋光模的材料去除量，是拋光模坐標和時間的函數。

行星式運動機構如圖1所示。拋光盤的公轉電機角速度為ω1，自轉電機角速度為ω2，偏心距為e，R為拋光盤半徑，對于拋光區域內一點，與公轉中心距離為s，夾角為θ，ω1＝dθ／d t。令g＝s／R，ρ＝e／R，n＝ω2／ω1，則隨距離s變化的去除函數為［4］：

Fig.1 Schematic diagram of planetmotion model

適當選取運動參量，經過優化后［5］，其歸一化特性曲線如圖2所示。

Fig.2 Performance curve of polishing pad（ρ＝0.83，n＝8）

1.2 橢圓運動式去除函數

在傳統的行星式運動方式的自轉與公轉之間增加正弦連桿機構以及十字滑塊，以實現橢圓運動方式，其機構簡圖如圖3所示。

Fig.3 Sketch map ofmechanism

建立簡化后的數學模型，如圖4所示。O為公轉中心；O1A為曲柄，長度為r；橢圓電機做逆時針回轉運動，角速度為ω3，轉角為θ1；AB為滑竿，長度為l1；BC為橢圓擺桿，長度與r相等，與x軸夾角為θ2，其上的M點做橢圓運動，是自轉中心，與C點的距離為d。

Fig.4 Schematic diagram of ellipsemotion model

此時M點沿坐標軸方向的速度分量vx′，vy′為：

考慮公轉運動后，其速度分量vMx，vMy為：

式中，φ為公轉運動的轉角，對于拋光盤上任意一點Q（x，y），在任意時刻的沿坐標軸的速度分量vQx，vQy為：

則Q點速度大小為：

當拋光盤在Q點存在材料去除時，應滿足（xM－x）2＋（yM－y）2≤R2，即：

根據上式可以確定有效的時間區間t1，t2，…，tn∈T，則Q點處歸一化去除函數為：

2 參量優化

基于橢圓運動方式的去除函數，當各個參量取值不同時差別較大，需要對各個參量進行優化。對于給定的曲柄轉速以及長度，決定去除函數的參量分別是公轉電機角速度ω1，自轉電機角速度ω2，點M與點C的距離d以及拋光盤的半徑R。適當選取各個參量的取值，獲得較為理想的去除函數形狀，歸一化處理后作為優化程序的初始值，如圖5所示。

理想的去除函數應滿足以下特點［6-7］：（1）具有旋轉對稱特性；（2）在中心處具有單個峰值，而邊緣處去除量為0；（3）中心處和邊緣處斜率為0；（4）連續光滑。

Fig.5 Initial value of removal function

參量優化以上述原則為優化條件，對參量進行優化。

由于運動方式基于橢圓運動，因此公轉與橢圓運動的周期比決定了其表面的起伏特性。依據旋轉對稱的原則，對去除函數同一半徑上函數值的均方差為目標進行優化，確定最佳轉速比。給定適當的取值范圍后進行1維搜索優化。優化后的公轉角速度與橢圓運動角速度的比值為1∶0.073，均方差由初始的0.0076減小到0.0029。

假設理想函數為以四次多項式曲線為母線旋轉后得到的曲面［8］。根據上述原則確定出邊界條件，化簡后可以得到包含一個參量的曲線方程，并將其與上一步的去除函數進行擬合，可以得出與上述結果最為接近的理想去除函數。得到的四次多項式曲線為：

以理想函數為逼近目標，以均方差為優化對象，對自轉速度ω2、距離d和拋光盤的半徑R進行優化，使去除函數逼近理想去處函數。由于可能存在許多局部最優解，優化中對3個參量分別進行1維搜索，選擇其中最敏感的參量替代初值繼續下一步優化，當滿足給定的精度要求后則停止。優化后公轉角速度與自轉角速度的比值為1∶5.1691，距離d與曲柄長度的比值為1∶0.1870，拋光盤半徑與曲柄長度的比值為1∶0.4979，均方差由0.029變為0.028。并再次對公轉速度優化，檢驗對其的影響大小，優化后的其均方差仍為0.028，影響極小，可將上述優化結果視為最終結果，如表1所示。其去除函數如圖6所示，計算流程圖如圖7所示。

Table 1 Optimized parameters

Fig.6 Final value of removal function

Fig.7 Flow chart

選用正弦面形誤差作為初始面形誤差H（x，y），幅值為2。

式中，λ為正弦頻率參量，取λ＝2.5；x，y＝［－5，5］。

分別采用橢圓式以及行星式去除函數進行仿真加工，以相同的參量通過脈沖迭代法計算駐留時間［9-11］。圖8為仿真加工結果。兩種去除函數均歸一化處理，經過20次迭代后，其面形誤差分別如圖8b和圖8c所示。

Fig.8 Result of simulated processa—sine surface error b—result of planetmotion c—result of ellipse motion

經過行星式運動的拋光去除函數仿真加工后，面形誤差均方根值（rootmean square，RMS）值由初始的2.1205減小為0.3184，其峰谷（peak-to-valley，PV）值由3降為0.5833；而橢圓式運動的拋光函數經仿真加工后，面形誤差的RMS值減小為0.1308，PV值減小為0.5525。不考慮邊緣效應，從RMS值的變化結果可以看出，基于橢圓方式的去除函數在加工時的收斂效率更高。

3 結 論

對傳統的行星式拋光技術進行了理論創新，通過三級轉動實現了基于橢圓運動方式的小工具拋光，并且獲得了較為理想的去除函數。與行星式運動的去除函數相比，去除函數更加光滑，沒有突變，更加接近理想的高斯型去除函數。

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Removal function of small tool polish based on ellipsemotion

LIU Mengmeng，HONG Ying
（School of Mechanical Engineering，Tianjin University，Tianjin 300072，China）

In order to improve the property and the efficiency of traditional removal function of small tool polish，ellipse motion method was achieved through three-rotor movement on the basis of planetmotion.Then，a new removal function was investigated and deduced based on the assumption of Preston.At last，the surfacematrix of removal function was calculated by computer and after optimization.The final parameters and the removal function which was close to the ideal Gaussian function were obtained.The results show the removal efficiency of ellipse motion is better than planetary removal’s.Removal function based on ellipsemotion can avoid the defectof previous function of planetmotion and increase the removal efficiency during polishing process.

optical fabrication；removal function；ellipsemotion；simulated process

O439

A

10.7510／jgjs.issn.1001-3806.2014.03.027

1001-3806（2014）03-0406-05

國家科技重大專項課題資助項目（2013ZX04006-207）

劉猛猛（1989-），男，碩士研究生，現在主要從事小工具拋光系統的開發研究。

*通訊聯系人。E-mail：hying1122＠126.com

2013-07-31；

2013-08-18