居民消費價格指數基于ARIMA模型的構建

任桃紅+趙聯文

【摘要】居民消費價格指數是我國物價指數體系中極其重要的一個指數，主要反映消費者支付商品和勞務的價格變化情況，也是一種度量通貨膨脹水平的工具，以百分比變化為表達形式。我國改革開放以來，社會經濟的各方面發生巨大的變換，居民消費價格指數的變動也顯示出自身的特點，本文主要是應用非平穩時間序列和數學統計軟件Eviews對歷年的居民消費價格指數進行相關分析、處理并建立模型，這有利于我們認識它與社會經濟發展相聯系的變動規律，文章最后根據所建立的模型舉例進行了預測。

【關鍵詞】時間序列 非平穩序列 乘積季節模型 建模

一、相關知識

時間序列分析是一種動態數據處理的統計方法。一個時間序列{xt}是長期趨勢變動Tt，季節效應St，周期變動Ct和不規則變動因素It共同作用的結果。確定性時間序列分析方法的原理是用確定性函數對長期趨勢變動Tt，季節效應St，周期變動Ct進行擬合，將非平穩時間序列平穩化。本文我們為了平穩化引入乘積季節模型。

乘積季節模型為：

ψ（B）U（BS）（1-B）d（1-BS）DXt=θ（B）V（BS）εt

E（εt）=0，Var（εt）=σ2ε，E（εSεK）=0，（s≠k）

EXkεt=0，（？坌k

其中：

U（BS）=1-u1BS-u2B2s-…-uPBPS

V（BS）=1-v1BS-v2B2s-…-uQBQS

可以對不同周期的同一周期點之間的相關性進行擬合：

ψ（B）=1-ψ1B-ψ2B2-…-ψPBP

θ（B）=1-θ1B-θ2B2-…-θqBq

用來消除同一周期不同周期點之間的相關性。

季節模型簡記為ARIMA（p，d，q）×（P，D，Q）S其中p和q是消除同一周期不同周期點之間相關性的自回歸階數和移動平均階數，P和Q是消除不同周期的同一周期點之間的相關性的自回歸階數和移動平均階數，s為周期長度，d為差分的階數，D為季節差分的階數。

二、數據預處理

本文選取的是2000年1月到2011年12月全國居民消費價格指數的數據，記居民消費價格指數為具體數據如下表1：

通過Eviews軟件可得到時間序列y（t）的樣本自相關系數圖形可以發現，自相關系數呈線性衰減，衰減速度緩慢，這說明該序列y（t）含有一定的趨勢性。同時可以看出該序列不僅具有趨勢性，還具有周期長度大約為12的季節效應。為消除趨勢性成分，首先對序列y1（t）進行一階逐期差分，差分序列的線性圖像如圖1：

圖1 圖2

從圖中可以看出，差分后序列y1（t）的均值是穩定在零點附近的，即通過一階差分，原序列的趨勢性基本消除了。

通過Eviews軟件得到的一階差分序列的樣本自相關系數圖形可知，當滯后期k=12時，該序列的樣本自相關系數是-0.497，與0有顯著差異，這表明序列具有周期為12個月的季節波動。再對y1（t）進行一階季節差分得到季節差分序列y2（t），y2（t）的時序圖為圖2，自相關圖顯示延遲12步自相關系數顯著大于2倍標準差范圍，這說明差分后序列中仍蘊含著非常顯著的季節效應。延遲1步，2步的自相關系數也大于2倍標準差，這說明差分后序列還具有短期相關性，觀察偏相關圖得到的結論與此一致。

如果用AR模型和MA模型來模擬y2（t）的話，我們可以由擬合的殘差圖看出模型殘差非白噪聲，模型信息提取不充分，這里就不贅述了。

考慮到該序列既具有短期相關性又具有季節效應，短期相關性和季節效應不能簡單地，可加性地提取，因而估計該系列的季節效應和短期相關性之間具有復雜的關聯性。這是，通常假定短期相關性和季節效應之間具有乘積關系，故我們用乘積季節模型來擬合。

三、建立模型

在選擇模型時ARIMA（p，d，q）×（P，D，Q）S，通常需要對觀測數據進行對數變換，序列y（t）經過對數變換記為序列logy（t），由的自相關圖與偏相關圖（見圖2）可以知道：除了個別點外，自相關系數在1階結尾，偏相關系數在2階結尾。根據Box-Jenkins建模思想，我們可以嘗試用，模型1：ARIMA（2，1，0）×（1，1，1）12，模型2：ARIMA（2，1，1）×（1，1，1）12，模型3：ARIMA（1，1，0）×（1，1，1）12，模型4：ARIMA（1，1，1）×（1，1，1）12來擬合。

相應的輸出結果為分別如下：

從此可以看出：根據AIC定階原則，選擇AIC值最小的模型。因此，確定ARIMA（1，1，1）（1，1，1）12為該居民消費價格指數的模型。由圖3可以得到ARIMA（1，1，1）（1，1，1）的預測模型是：

（1+0.538445B12）（1-0.874479B）×（1-B）（1-B12）logy（t）=（1-0.922111B12）εt

對此模擬模型進行檢驗，檢驗結果顯示該模型順利通過殘差白噪聲檢驗和參數顯著性檢驗。說明這個擬合充分提取了原數據的信息。

四、模型的預測

我們利用上述模型對2011年10月～12月的數據進行預測，得到的預測結果為圖4：

圖4 圖3

由圖中可以看出：Theil不等相關系數為0.378332，說明模型對數據的擬合還是很好的。因此這一模型對居民價格指數的預測有明顯的參考價值。

參考文獻

[1]王沁.時間序列分析及其應用.成都西南交通大學出版社.

[2]楊位欽，顧蘭著.時間序列分析與動態數據建模.北京：北京理工大學出版社，1998.

[3]王燕.應用時間序列分析. 中國人民大學出版社.

[4]涂雄苓，黃月玲.旅游需求預測的ARIMA乘積季節模型構建及實證分析[J].西財經學院學報2011.

[5]程毛林.動態數據擬合的疊合模型及其應用[J].運籌與管理. 2005.

[6]Mario Milanese，and Carlo Novara.Set Membership Prediction of Nonlinear Time Series. IEEE Transactions on Automatic Control.2005.

[7]Young，P.Data-based mechanistic modeling of Engineering Systems.Journal of Vibration and Control.1998.

【摘要】居民消費價格指數是我國物價指數體系中極其重要的一個指數，主要反映消費者支付商品和勞務的價格變化情況，也是一種度量通貨膨脹水平的工具，以百分比變化為表達形式。我國改革開放以來，社會經濟的各方面發生巨大的變換，居民消費價格指數的變動也顯示出自身的特點，本文主要是應用非平穩時間序列和數學統計軟件Eviews對歷年的居民消費價格指數進行相關分析、處理并建立模型，這有利于我們認識它與社會經濟發展相聯系的變動規律，文章最后根據所建立的模型舉例進行了預測。

【關鍵詞】時間序列 非平穩序列 乘積季節模型 建模

一、相關知識

時間序列分析是一種動態數據處理的統計方法。一個時間序列{xt}是長期趨勢變動Tt，季節效應St，周期變動Ct和不規則變動因素It共同作用的結果。確定性時間序列分析方法的原理是用確定性函數對長期趨勢變動Tt，季節效應St，周期變動Ct進行擬合，將非平穩時間序列平穩化。本文我們為了平穩化引入乘積季節模型。

乘積季節模型為：

ψ（B）U（BS）（1-B）d（1-BS）DXt=θ（B）V（BS）εt

E（εt）=0，Var（εt）=σ2ε，E（εSεK）=0，（s≠k）

EXkεt=0，（？坌k

其中：

U（BS）=1-u1BS-u2B2s-…-uPBPS

V（BS）=1-v1BS-v2B2s-…-uQBQS

可以對不同周期的同一周期點之間的相關性進行擬合：

ψ（B）=1-ψ1B-ψ2B2-…-ψPBP

θ（B）=1-θ1B-θ2B2-…-θqBq

用來消除同一周期不同周期點之間的相關性。

季節模型簡記為ARIMA（p，d，q）×（P，D，Q）S其中p和q是消除同一周期不同周期點之間相關性的自回歸階數和移動平均階數，P和Q是消除不同周期的同一周期點之間的相關性的自回歸階數和移動平均階數，s為周期長度，d為差分的階數，D為季節差分的階數。

二、數據預處理

本文選取的是2000年1月到2011年12月全國居民消費價格指數的數據，記居民消費價格指數為具體數據如下表1：

通過Eviews軟件可得到時間序列y（t）的樣本自相關系數圖形可以發現，自相關系數呈線性衰減，衰減速度緩慢，這說明該序列y（t）含有一定的趨勢性。同時可以看出該序列不僅具有趨勢性，還具有周期長度大約為12的季節效應。為消除趨勢性成分，首先對序列y1（t）進行一階逐期差分，差分序列的線性圖像如圖1：

圖1 圖2

從圖中可以看出，差分后序列y1（t）的均值是穩定在零點附近的，即通過一階差分，原序列的趨勢性基本消除了。

通過Eviews軟件得到的一階差分序列的樣本自相關系數圖形可知，當滯后期k=12時，該序列的樣本自相關系數是-0.497，與0有顯著差異，這表明序列具有周期為12個月的季節波動。再對y1（t）進行一階季節差分得到季節差分序列y2（t），y2（t）的時序圖為圖2，自相關圖顯示延遲12步自相關系數顯著大于2倍標準差范圍，這說明差分后序列中仍蘊含著非常顯著的季節效應。延遲1步，2步的自相關系數也大于2倍標準差，這說明差分后序列還具有短期相關性，觀察偏相關圖得到的結論與此一致。

如果用AR模型和MA模型來模擬y2（t）的話，我們可以由擬合的殘差圖看出模型殘差非白噪聲，模型信息提取不充分，這里就不贅述了。

考慮到該序列既具有短期相關性又具有季節效應，短期相關性和季節效應不能簡單地，可加性地提取，因而估計該系列的季節效應和短期相關性之間具有復雜的關聯性。這是，通常假定短期相關性和季節效應之間具有乘積關系，故我們用乘積季節模型來擬合。

三、建立模型

在選擇模型時ARIMA（p，d，q）×（P，D，Q）S，通常需要對觀測數據進行對數變換，序列y（t）經過對數變換記為序列logy（t），由的自相關圖與偏相關圖（見圖2）可以知道：除了個別點外，自相關系數在1階結尾，偏相關系數在2階結尾。根據Box-Jenkins建模思想，我們可以嘗試用，模型1：ARIMA（2，1，0）×（1，1，1）12，模型2：ARIMA（2，1，1）×（1，1，1）12，模型3：ARIMA（1，1，0）×（1，1，1）12，模型4：ARIMA（1，1，1）×（1，1，1）12來擬合。

相應的輸出結果為分別如下：

從此可以看出：根據AIC定階原則，選擇AIC值最小的模型。因此，確定ARIMA（1，1，1）（1，1，1）12為該居民消費價格指數的模型。由圖3可以得到ARIMA（1，1，1）（1，1，1）的預測模型是：

（1+0.538445B12）（1-0.874479B）×（1-B）（1-B12）logy（t）=（1-0.922111B12）εt

對此模擬模型進行檢驗，檢驗結果顯示該模型順利通過殘差白噪聲檢驗和參數顯著性檢驗。說明這個擬合充分提取了原數據的信息。

四、模型的預測

我們利用上述模型對2011年10月～12月的數據進行預測，得到的預測結果為圖4：

圖4 圖3

由圖中可以看出：Theil不等相關系數為0.378332，說明模型對數據的擬合還是很好的。因此這一模型對居民價格指數的預測有明顯的參考價值。

參考文獻

[1]王沁.時間序列分析及其應用.成都西南交通大學出版社.

[2]楊位欽，顧蘭著.時間序列分析與動態數據建模.北京：北京理工大學出版社，1998.

[3]王燕.應用時間序列分析. 中國人民大學出版社.

[4]涂雄苓，黃月玲.旅游需求預測的ARIMA乘積季節模型構建及實證分析[J].西財經學院學報2011.

[5]程毛林.動態數據擬合的疊合模型及其應用[J].運籌與管理. 2005.

[6]Mario Milanese，and Carlo Novara.Set Membership Prediction of Nonlinear Time Series. IEEE Transactions on Automatic Control.2005.

[7]Young，P.Data-based mechanistic modeling of Engineering Systems.Journal of Vibration and Control.1998.

【摘要】居民消費價格指數是我國物價指數體系中極其重要的一個指數，主要反映消費者支付商品和勞務的價格變化情況，也是一種度量通貨膨脹水平的工具，以百分比變化為表達形式。我國改革開放以來，社會經濟的各方面發生巨大的變換，居民消費價格指數的變動也顯示出自身的特點，本文主要是應用非平穩時間序列和數學統計軟件Eviews對歷年的居民消費價格指數進行相關分析、處理并建立模型，這有利于我們認識它與社會經濟發展相聯系的變動規律，文章最后根據所建立的模型舉例進行了預測。

【關鍵詞】時間序列 非平穩序列 乘積季節模型 建模

一、相關知識

時間序列分析是一種動態數據處理的統計方法。一個時間序列{xt}是長期趨勢變動Tt，季節效應St，周期變動Ct和不規則變動因素It共同作用的結果。確定性時間序列分析方法的原理是用確定性函數對長期趨勢變動Tt，季節效應St，周期變動Ct進行擬合，將非平穩時間序列平穩化。本文我們為了平穩化引入乘積季節模型。

乘積季節模型為：

ψ（B）U（BS）（1-B）d（1-BS）DXt=θ（B）V（BS）εt

E（εt）=0，Var（εt）=σ2ε，E（εSεK）=0，（s≠k）

EXkεt=0，（？坌k

其中：

U（BS）=1-u1BS-u2B2s-…-uPBPS

V（BS）=1-v1BS-v2B2s-…-uQBQS

可以對不同周期的同一周期點之間的相關性進行擬合：

ψ（B）=1-ψ1B-ψ2B2-…-ψPBP

θ（B）=1-θ1B-θ2B2-…-θqBq

用來消除同一周期不同周期點之間的相關性。

季節模型簡記為ARIMA（p，d，q）×（P，D，Q）S其中p和q是消除同一周期不同周期點之間相關性的自回歸階數和移動平均階數，P和Q是消除不同周期的同一周期點之間的相關性的自回歸階數和移動平均階數，s為周期長度，d為差分的階數，D為季節差分的階數。

二、數據預處理

本文選取的是2000年1月到2011年12月全國居民消費價格指數的數據，記居民消費價格指數為具體數據如下表1：

通過Eviews軟件可得到時間序列y（t）的樣本自相關系數圖形可以發現，自相關系數呈線性衰減，衰減速度緩慢，這說明該序列y（t）含有一定的趨勢性。同時可以看出該序列不僅具有趨勢性，還具有周期長度大約為12的季節效應。為消除趨勢性成分，首先對序列y1（t）進行一階逐期差分，差分序列的線性圖像如圖1：

圖1 圖2

從圖中可以看出，差分后序列y1（t）的均值是穩定在零點附近的，即通過一階差分，原序列的趨勢性基本消除了。

通過Eviews軟件得到的一階差分序列的樣本自相關系數圖形可知，當滯后期k=12時，該序列的樣本自相關系數是-0.497，與0有顯著差異，這表明序列具有周期為12個月的季節波動。再對y1（t）進行一階季節差分得到季節差分序列y2（t），y2（t）的時序圖為圖2，自相關圖顯示延遲12步自相關系數顯著大于2倍標準差范圍，這說明差分后序列中仍蘊含著非常顯著的季節效應。延遲1步，2步的自相關系數也大于2倍標準差，這說明差分后序列還具有短期相關性，觀察偏相關圖得到的結論與此一致。

如果用AR模型和MA模型來模擬y2（t）的話，我們可以由擬合的殘差圖看出模型殘差非白噪聲，模型信息提取不充分，這里就不贅述了。

考慮到該序列既具有短期相關性又具有季節效應，短期相關性和季節效應不能簡單地，可加性地提取，因而估計該系列的季節效應和短期相關性之間具有復雜的關聯性。這是，通常假定短期相關性和季節效應之間具有乘積關系，故我們用乘積季節模型來擬合。

三、建立模型

在選擇模型時ARIMA（p，d，q）×（P，D，Q）S，通常需要對觀測數據進行對數變換，序列y（t）經過對數變換記為序列logy（t），由的自相關圖與偏相關圖（見圖2）可以知道：除了個別點外，自相關系數在1階結尾，偏相關系數在2階結尾。根據Box-Jenkins建模思想，我們可以嘗試用，模型1：ARIMA（2，1，0）×（1，1，1）12，模型2：ARIMA（2，1，1）×（1，1，1）12，模型3：ARIMA（1，1，0）×（1，1，1）12，模型4：ARIMA（1，1，1）×（1，1，1）12來擬合。

相應的輸出結果為分別如下：

從此可以看出：根據AIC定階原則，選擇AIC值最小的模型。因此，確定ARIMA（1，1，1）（1，1，1）12為該居民消費價格指數的模型。由圖3可以得到ARIMA（1，1，1）（1，1，1）的預測模型是：

（1+0.538445B12）（1-0.874479B）×（1-B）（1-B12）logy（t）=（1-0.922111B12）εt

對此模擬模型進行檢驗，檢驗結果顯示該模型順利通過殘差白噪聲檢驗和參數顯著性檢驗。說明這個擬合充分提取了原數據的信息。

四、模型的預測

我們利用上述模型對2011年10月～12月的數據進行預測，得到的預測結果為圖4：

圖4 圖3

由圖中可以看出：Theil不等相關系數為0.378332，說明模型對數據的擬合還是很好的。因此這一模型對居民價格指數的預測有明顯的參考價值。

參考文獻

[1]王沁.時間序列分析及其應用.成都西南交通大學出版社.

[2]楊位欽，顧蘭著.時間序列分析與動態數據建模.北京：北京理工大學出版社，1998.

[3]王燕.應用時間序列分析. 中國人民大學出版社.

[4]涂雄苓，黃月玲.旅游需求預測的ARIMA乘積季節模型構建及實證分析[J].西財經學院學報2011.

[5]程毛林.動態數據擬合的疊合模型及其應用[J].運籌與管理. 2005.

[6]Mario Milanese，and Carlo Novara.Set Membership Prediction of Nonlinear Time Series. IEEE Transactions on Automatic Control.2005.

[7]Young，P.Data-based mechanistic modeling of Engineering Systems.Journal of Vibration and Control.1998.