一維非線性薛定諤方程的性質

何紅生，鄒衛東，張加強

(集美大學 理學院， 福建 廈門 361021)

非線性薛定諤方程(NLS)為i?,u+α△u+β|u|2=0，稱立方Schr?dinger 方程，最早主要描述非線性波的調制(即非線性波包)方程[1],描述強光在光纖中的傳播[2],經過幾十年的研究發展，非線性薛定諤方程成為物理學中的一個重要模型，可以描述許多物理過程，如：激光巨變、等離子體物理、非線性光學[3]、分子動力學、玻色愛因斯坦凝聚[4～6],流體力學等等。近年來，非線性薛定諤方程也是一種研究熱門的非線性物理方程，并且得到很多重要又有意義的結論[7～10]。

本文我們考慮一維的非線性薛定諤在外勢場中的性質，主要討論了點電荷電勢、周期勢等兩種外勢場情況，非線性薛定諤方程有哪些具體的性質，進而討論非線性薛定諤方程的性質受哪些因素的影響，從而可以更加清楚的去了解非線性薛定諤方程的相關性質。

一維非線性薛定諤方程的表達式為

(1)

其中，α,β可以是復數。

外勢場中一維非線性薛定諤方程的表達式為

(2)

一、點電荷勢場的情況

(3)

為了數值計算的方便，我們選擇合適的參數α=1+i,β=1+i，Q=sin(t)

選周期性邊界條件：u(-10,t)=u(-10,t)

經過數值計算，其結果如圖1所示：

圖1 |u|2與變量x,t的關系

我們研究一下振幅|u|2隨時間變化的關系，對圖1作不同時刻的截面圖，可得：

圖2 |u|2與時間t的關系切片圖

研究表明在點電荷勢場中一維中的孤子會發生劈裂兩個孤子，并且隨著時間會發生改變。

二、周期勢場的情況

1.正弦函數的周期勢

取周期勢場為：V(x)=sin(x),

則有

(4)

為了數值計算的方便，我們選擇合適的參數α=1+i,β=1+i

取定初始條件：u(x,0)=sech(x)cos(x)+isech(x)cos(x)

選周期性邊界條件：u(-10,t)=u(10,t)

經過數值計算，其結果如圖3所示：

圖3 |u|2與x,t的關系圖

我們研究一下振幅|u|2隨時間變化的關系，對圖3作不同時刻的截面圖，可得：

圖4 |u|2與時間t的關系切片圖

研究表明在正弦周期勢場中非線性薛定諤方程具有較好的周期解，不過隨著時間的變化周期的振幅在變小。

2.正切函數的周期勢

取周期勢場為：V(x)=tan(x)，

(5)

為了數值計算的方便，我們選擇合適的參數α=1+i,β=1+i

取定初始條件：u(x,0)=sech(x)cos(x)+isech(x)cos(x)

選周期性邊界條件：u(-10,t)=u(10,t)

經過數值計算，其結果如圖5所示：

圖5 |u|2與x,t的關系圖

我們研究一下振幅|u|2隨時間變化的關系，對圖5作不同時刻的截面圖，可得：

圖6 |u|2與時間t的關系切片圖

研究表明在正切周期勢場中，由于外勢場的奇異性導致了非線性薛定諤方程具有奇異性，并且具有類周期性。

參考文獻：

[1]劉式適，劉式達.物理學中的非線性方程=Nonlinear Equationuations in Physics[M]．北京：北京大學出版社，2000.

[2]Govind P. Agrawal.賈東方,等譯.非線性光纖光學原理及應用[M]．北京：電子工業出版社，2010.

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[4]劉杰.玻色-愛因斯坦凝聚體動力學[M]．北京：科學出版社，2009.

[5]李幫慶，馬玉蘭.非線性發展方程與(G'/G)展開法[M]．北京：原子能出版社，2010.

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[8]Min Li, Jing-Hua Xiao, Wen-Jun Liu, Pan Wang, Bo Qin, and Bo Tian. Mixed-type vector solitons of the N-coupled mixed derivative nonlinear Schr?dinger equations from optical fibers[J].PRE.,2013,87:032914.

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