一種基于超平面的電力系統實用近似靜態安全域及其求解方法

吳英俊

（南京郵電大學自動化學院 南京 210023）

1 引言

電力系統安全遭到破壞將導致巨大的經濟損失，因此保障系統安全十分重要[1]-[5]。傳統靜態安全分析方法“逐點法”針對給定功率注入和故障條件，采用數值仿真、特征值計算或能量函數法等方法來分析電力系統的安全性。這類方法是當前工業界進行靜態安全分析最主要和最實用的方法，但其缺點亦很多，比如功率注入給定的人為主觀性、選擇故障集的歷史經驗性和計算過程的耗時低效。另外這類方法只針對一個或多個事件，無法對系統的安全性進行全局性分析。

安全域能提供豐富的安全信息，因而自 E.Hnyilicza 等人提出這一概念以來[6]，便受到了大量關注。文獻[7]和文獻[8]分別給出了靜態安全域的隱式表達和顯式表達。在文獻[8]的基礎上，文獻[9]對系統安全約束進行分組，提出了有功趨于最大直觀安全域。文獻[10，11]研究了直角坐標形式潮流方程的一般結構，給出了刻劃靜態安全域的一次和二次近似公式。文獻[12]提出了一種基于快速解耦潮流模型計算電力系統靜態安全域的新的分組擴展算法，并在算法中考慮 N-1安全約束。文獻[13]采用線性規劃方法，求得了各發電機有功調節范圍之和最大的安全域。類似于文獻[13]，文獻[14，15]利用神經網絡求解非線性規劃問題，求得了各發電機有功調節范圍的乘積的安全域。另外電力系統中存在大量的不確定性，文獻[16，18]利用隨機變量以及模糊數來描述電力系統中負荷的不確定性，利用置信區間的概念求解不同負荷置信度下的可伸縮靜態安全域。文獻[19，20]考慮了線路最大潮流約束條件的模糊性，并且采用模糊線性規劃的方法求解最大安全域。文獻[21]利用二次方程的性質刻劃了安全域的分叉邊界。總體來講這些方法大多直接基于潮流方程，而大電網潮流方程的超高維數和強非線性造成邊界求取過程復雜且獲得的邊界表達不夠直觀。

本文提出了一種求取靜態安全域超平面組的方法。該方法線性化節點功率注入方程，可以快速得到近似真實節點功率注入安全域邊界的超平面組。通過分裂電力網絡把斷面潮流安全域等價為子網絡分裂節點功率注入安全域的交集，間接獲得了斷面潮流安全域邊界超平面組。仿真算例驗證了所提方法的有效性和正確性。

2 電力網絡靜態安全域邊界構成

電力系統靜態安全是指電力系統各元器件運行在功率和電壓的安全約束范圍內。一般來說滿足系統安全約束的節點功率注入點就是安全運行點，安全域可等價為滿足安全約束的節點功率注入點的集合。對于某些功率注入點，若極小量增加或減少其某一節點的功率注入便不滿足安全約束，則該點在安全域邊界上，這些點的集合是安全域的邊界。圖1是一電力網絡示意圖，該網絡包含 n個節點。圖中P+Q表示節點注入功率，V和θ表示狀態量（節點電壓幅值和相角）。對于圖1中電力網絡，安全域是對應于狀態量Vi和 θ（ii = 1,2,…,n）存在且滿足安全約束的功率注入點Pi和Qi（i = 1,2,…,n）的集合。安全域的邊界是對應于狀態量Vi和θi（i = 1,2,…,n）滿足安全約束的功率注入點Pi,和Qi（,i = 1,2,…,n）中，當任一Pi,或Qi,增加或減少極小量后，至少有一個狀態量Vi或θ（ii = 1,2,…,n）不滿足安全約束的功率注入點的集合。

圖1 電力系統節點功率注入示意圖Fig.1 A simple power network with nodal power injections

靜態安全約束一般包含節點電壓幅值約束和線路潮流約束。對于圖1中n節點和l條線路的電力網絡，其安全域邊界應由n個節點電壓幅值約束和l條線路潮流約束共同決定。圖2是電力系統靜態安全域邊界示意圖，安全域邊界由2n+2l塊子邊界構成。其中2n塊節點電壓幅值約束子邊界構成了節點電壓幅值約束安全域邊界，2l塊線路潮流約束子邊界構成了線路潮流約束安全域邊界。

圖2 電力網絡的安全域邊界構成示意圖Fig.2 The boundary of power system steady-state security region

由于電力系統的高維數，求取安全域邊界解析表達十分困難。但安全域邊界是由子邊界構成，如能求得子邊界的解析表達，則可間接獲得安全域邊界的解析表達。求解子邊界解析表達時，為避免強非線性可線性化節點功率注入方程，用超平面近似真實的子邊界。如中，V2min和 V2max對應的超曲面安全域子邊界可由超平面H1和H2來近似。

3 節點功率注入方程線性化

對圖1中電力網絡，列寫節點功率注入方程：

把式（1）寫成下面的緊湊形式

經等價變換，把式（2）變換成以節點功率注入為變量的電壓幅值和相角的表達式。

式（3）的求取，數學上是求取式（2）的逆映射。求取逆映射前，先給出逆映射存在定理。

定理1：對于映射f：X→Y，當且僅當映射f為一一映射時，其存在逆映射f-1：Y → X；當映射f為多對一映射時，其不存在逆映射。

事實上，式（2）是從 V-θ空間到 P-Q空間的多對一映射。由定理1可知，式（3）是不存在的，即V-θ空間到P-Q空間的逆映射不存在。

一般情況下電力系統運行在點（V = 1,θ = 0）附近。在點（V = 1,θ = 0）的小鄰域內，從V-θ空間到P-Q空間的映射是一一映射。因此，在V-θ空間，運行點（V = 1,θ = 0）的某一鄰域內式（2）的逆映射存在。

下面采用一種新方法來線性化節點功率注入方程組（1）。線路潮流的計算式為

式中，Pij和Qij分別為支路ij的有功潮流和無功潮流。

重寫（4）為

式中， Γ1= Vjc osθij- Vi， Γ2= Vjs in θij。

在點（V = 1,θ = 0）的小鄰域內， Vi=1，得到

進一步利用 cosθij=1，得到 Γ1= Vj- Vi。利用Vj=1和sin θij= θi- θj,得到Γ2= Vjs in θij。最終可得

對節點i應用基爾霍夫定律可以得到

對于圖1中電力網絡，寫成矩陣形式

寫成矩陣形式

假設節點0為參考節點。則在（10）中，有V0= 1 和and θ0= 0。該參考節點電壓幅值和相角代入（10），得到除參考節點外其他節點的功率注入和電壓幅值與相角之間的線性關系。

式中，G0=（G10,G20… Gn0）T， BG0=（BG10,BG20…BGn0）T。

為形式簡潔，重寫（11）為

基于式（12），可以得到下式

式（13）給出了以節點功率注入表達的電壓幅值和相角方程，是經線性化后得到的狀態量空間到節點功率注入空間的線性映射。下面以圖3中簡單單機單負荷系統作為例子來說明采用的線性化方法的合理性。系統中發電機和負荷都用恒功率注入表示，線路參數G+jB = 1.361 5-j5.037 4。

圖3 簡單單機單負荷系統Fig.3 A single-generator single-load system

圖4給出了采用和不采用線性化節點功率注入方程時節點注入有功-無功空間與節點電壓-相角空間之間關系的平面和曲面（發電機節點為平衡節點，因此安全域空間為負荷節點功率注入空間）。從圖中可以看出在運行點（VD= 1,θD= 0）的鄰域內，曲面和平面基本重合。

表1和表2給出了采用式（1）和式（13）得到的簡單單機單負荷系統的節點功率注入和電壓之間的關系的比較，即采用本文所提線性化方法和不采用線性化方法得到的節點功率注入和電壓之間的關系的比較。在點 {Vi= 1; θi= 0 | i = 1,2,…,n}的鄰域內，即在電壓范圍為[0.9 1.1]和電壓相角范圍為[-10°,10°]時，利用采用式（1）和式（13）得到的節點電壓幅值和相角有誤差，但是誤差較小。因此，從工程實際來講，本文所提線性化方法具有可行性。

圖4 狀態量-控制量曲面和平面比較Fig.4 Comparisons of security regions characterized by hyper-surfaces and hyper-planes

表1 節點電壓幅值比較Tab.1 Comparison of Values of Voltage Amplitude

表2 節點電壓相角比較Tab.2 Comparison of Values of Voltage Angle

4 節點功率注入安全域

電力網絡的靜態安全約束為：

（1）PQ節點的電壓幅值約束

（2）采用類似于文獻[8]的方法，潮流約束用關聯矩陣來表示

式中，δ 為線路最大允許相角差。

重寫式（15）為如下形式

線路潮流約束是線路相角差函數，變換式（16）得到

把安全約束限值 Vmax，Vmin，-δ和 δ代入式（17），便得到近似真實安全域的子邊界的超平面組。

5 基于安全域的安全性分析

5.1 安全性與安全裕度

在分析運行點的安全性（位置）和安全裕度（到邊界距離）之前，先給出如下定理。

定理2：n維空間Rn中一點P0(x10,x20,…,xn0)到超平面S: a1x1+ a2x2+…+ anxn+b = 0,(a1,a2,…,an≠ 0)的距離為

由于運行點可分為安全和不安全，因此這里去掉距離公式中的絕對號，以表征系統的安全性。求得的距離是一個帶有符號的數值，可稱為“方向距離”。符號表征運行點處于安全域邊界的安全側或是不安全側，數值表征到邊界的絕對距離。

5.2 超長方體安全域

為說明表征節點最小功率注入裕度的超長方體安全域的求法，先給出如下定理。

定理 3：n維空間 Rn中一點 P0(x10,x20,…xn0)，超平面 S: a1x1+ a2x2+…+ anxn+b = 0,(a1,a2,…an≠0)。超平面S的法向量為= [ a1,a2,… ,an]。點P0到超平面S的方向距離為，則在各個坐標的投影為。

對節點數為 n+1的電力網絡 f，假設其一運行點O，利用定理2和定理3求得各節點功率注入變

式（20）表示的超長方體安全域是由所有節點功率注入最小裕度構成的超長方體安全域。

6 斷面潮流安全域

直接求取斷面潮流安全域邊界是不可行的，因此可把求解斷面線路潮流安全域轉化為求解節點功率注入安全域。下面提出一種與節點分裂法[22]相似的網絡分裂法，該方法分裂電力網絡后得到的兩個子網絡都保留聯絡線和分裂節點。如分裂圖5a中的電力網絡后得到圖5b中的子網絡-A和子網絡-B。子網絡-A中分裂節點為節點，和，子網絡-B中分裂節點為節點和。

圖5 斷面聯絡線節點分裂電力網絡Fig.5 A new network splitting method

對每個獨立電力網絡而言，其分裂節點的功率注入安全域是只考慮該獨立網絡安全約束時的安全域，因此原網絡斷面潮流安全域等價于兩個子網絡的分裂節點的功率注入安全域的交集。

7 算例

7.1 節點功率注入安全域超平面組求取算例

下面以IEEE 14-節點系統為例來求取功率注入安全域。該系統共有5臺發電機和11個負荷，節點1 為平衡節點，安全約束為 Vi∈ [0.9,1.1]，θij∈ [-10°,10°]，其中 i,j ∈(2,3,…,14)。表 3 給出了系統的 3個運行點。

表4給出了三個運行點到所有超平面的方向距離。由此可知運行點1在所有超平面的安全側；運行點2在節點14的電壓幅值約束安全域邊界超平面和線路7-8的線路潮流約束安全域邊界超平面的非安全側；運行點3在線路7-8的線路潮流約束安全域邊界超平面的非安全側。為驗證結果進行潮流計算，表5給出了潮流計算結果。從表5中可以看出，運行點1節點14電壓幅值和線路7-8線路潮流都在安全范圍內；運行點2節點14電壓幅值和線路7-8線路潮流都越下限；運行點3線路7-8線路潮流越下限。

表6給出了運行點1的超長方體安全域。圖6和圖7給出了運行點1的節點3和節點8有功功率注入空間的子安全域和安全域可視化圖形。

圖6 節點3和節點8有功功率注入空間子安全域Fig.6 Nodal active power injection security sub-regions in the space of Bus-3 and Bus-8

圖7 節點3和節點8有功功率注入空間安全域Fig.7 Nodal active power injection security region in the space of Bus-3 and Bus-8

表3 IEEE 14-節點系統運行點的節點功率注(BaseKVA =100,p.u.)Tab.3 Nodal power injections of IEEE 14-bus system(BaseKVA =100,p.u.)

表4 運行點到超平面的距離Tab.4 Distances from operation points to hyper-planes

θ5-θ60.652 3-0.278 8 0.634 1 -0.297 1 0.574 8 -0.356 4 θ6-θ111.028 6-1.152 0 0.965 4 -1.215 1 0.955 1 -1.225 4 θ6-θ121.091 7-0.941 0 1.093 5 -0.939 2 1.078 8 -0.953 9 θ6-θ131.693 8-1.488 5 1.677 0 -1.505 2 1.657 7 -1.524 6 θ7-θ80.220 5-1.760 5-0.279 5 -2.260 5 -0.279 5-2.260 5 θ7-θ92.064 1 -0.9466 2.302 6 -0.708 1 2.228 8 -0.781 9 θ9-θ102.200 3-1.915 5 2.252 3 -1.863 5 2.260 0 -1.855 8 θ9-θ141.008 9-0.634 0 1.096 0 -0.546 9 1.058 9 -0.584 0 θ10-θ111.342 1-1.136 0 1.412 5 -1.065 7 1.423 4 -1.054 7 θ12-θ131.231 6-1.257 6 1.215 8 -1.273 4 1.218 8 -1.270 4 θ13-θ140.788 1-0.862 1 0.768 7 -0.881 4 0.723 4 -0.926 7

運行點1 運行點2 運行點3節點-14電壓幅值 1.019 0.831 1.014線路7-8有功潮流 -7.100 -13.423 -11.842

表6 運行點1時的超長方體安全域(p.u.)Tab.6 Hyper-cube for operation point 1 (p.u.)

7.2 線路潮流安全域超平面組求取算例

下面求解 IEEE 118-節點測試系統中線路15-33，19-34，30-38和23-24組成的斷面的線路潮流安全域。分裂該系統成由線路 15-33’、19-34’、30-38’、23-24’和區域-A構成的子網絡-A和由線路15’-33、19’-34、30’-38、23’-24 和區域-B 構成的子網絡-B，求取每個子網絡的節點功率注入安全域。節點 33’、34’、38’和節點 24’的功率注入構成的子安全域即為原網絡斷面聯絡線潮流只考慮區域-A和斷面的安全約束下的安全域，節點15’、19’、30’和 23’的功率注入構成的子安全域即為原網絡斷面聯絡線潮流只考慮區域-B和斷面的安全約束下的安全域。因此，原網絡斷面線路潮流安全域等價于兩個子安全域的交集。

圖8 IEEE 118-節點測試系統Fig.8 IEEE 118-bus test system

圖9給出了線路 23-24和線路30-38潮流的子安全域的可視化圖形。

圖9 線路23-24和線路30-38潮流安全域Fig.9 Interface power flow security region in the space of Line 23-24 and Line-30-38

8 結論

（1）靜態安全域邊界包括電壓幅值約束安全域邊界和線路潮流約束安全域邊界。電壓幅值約束安全域邊界和線路潮流約束安全域邊界又可分成約束上限子邊界和約束下限子邊界。

（2）在點（V = 1，θ = 0）的小鄰域內，線性化節點功率注入方程，得到了從節點注入有功-無功空間到節點電壓-相角空間的線性關系，提出了用超平面組來近似節點功率注入安全域邊界的方法。分析了運行點的安全性和裕度，利用空間向量分解法，給了超長方體安全域概念。

（3）提出了一種新的分裂電力網絡的方法，分裂后兩個子電力網絡都保留了分裂線路，把網絡斷面潮流安全域等價為分裂后子網絡分裂節點安全域的交集，間接地獲得到線路潮流安全域邊界超平面組。

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