人頭面部輪廓數學模型的研究

吳偉國，閆云雪

（哈爾濱工業大學機電工程學院，150001哈爾濱）

人頭面部輪廓數學模型的研究

吳偉國，閆云雪

（哈爾濱工業大學機電工程學院，150001哈爾濱）

針對現有圖像處理技術中提取人臉輪廓線光滑性差的問題，提出一種人頭面部輪廓的分段建模方法.通過輪廓特征點定義和輪廓分段，采用超橢圓、圓弧和拋物線等曲線建立了人頭面部輪廓數學模型，選取100組5種臉型的真實人頭面圖像經圖像處理及優化后，用獲得的輪廓樣本參數對模型進行驗證.結果表明，對于任一樣本，該模型在進行參數優化后都能保證模型平均誤差在1.2%以下，最大誤差在2.6%以下，驗證了該模型的有效性和普適性.提出了基于該模型的臉型判定方法，給出了各類臉型的模型參數范圍.

人頭面部輪廓；數學模型；超橢圓曲線；臉型判定方法

人臉輪廓是人臉重要的特征信息，其在各個領域的應用也越來越廣泛.文獻［1-3］針對下頜輪廓線的特點，研究了下頜輪廓線的提取與分類，利用拋物線模型和折線模型建立下頜形狀模板，并將其運用于人臉識別系統，提高了人臉識別的正確率和識別速度.在人臉三維建模中，精確的面部輪廓線是模型建立的必要前提［4］.同時，人臉輪廓線在人臉檢測［5-6］、人臉表情動畫［7-8］以及面部整容醫學等方面也有著廣泛的應用，相比于通過對人臉皮膚顏色過濾的方法［9］更能夠反映面部的真實特征，這使得對于面部輪廓線獲得方法的研究成為國內外眾多學者的研究熱點.目前，常用的輪廓線獲得方法有：可變形模板，該方法對面部器官輪廓的提取效果較好，但存在著初始值定位困難且計算復雜的問題；活動輪廓模型（Snake模型）［10-12］，該方法能夠用于任意形狀輪廓線的精確提取，但受參數初值的影響大，計算繁瑣也制約了該方法的應用.此外，隱式的水平集、Cabor小波變換、Hough變換等方法也用于人臉輪廓的檢測與提取，但得到的輪廓線連續性和光滑性較差；近幾年，基于Snake模型的改進算法逐漸被學者提出，效果較好的是基于PGVF Snake模型［13］的人臉輪廓提取方法，該方法通過將梯度矢量場引入外部能量項，克服了傳統Snake模型的缺點，能夠較快速準確地提取人臉輪廓，提取出的人臉輪廓效果如圖1所示.從圖中可以看出，雖然提取出的人臉輪廓線逼近于真實人臉輪廓線，但輪廓曲線光滑性差，其精確性也有待提高.

圖1 基于PGVF Snake模型提取的輪廓線

上述幾種方法提取出的人臉輪廓線都存在以下共性問題：當照片質量有缺陷時，得到的輪廓線會出現較大的拐點，導致輪廓的精確性下降；得到的輪廓線連續性、光滑性較差且無法對其進行局部調整；輪廓線的存儲和再現方式依賴于大量離散點數據信息，增加了人臉輪廓數據庫建立和人像比對的復雜性.

為解決以上問題，同時旨在將人臉輪廓應用于臉型可變仿人頭像機器人研究當中，本文對人頭面部輪廓數學模型的建立進行了研究，并給出了具體的數學表達.

1 人頭面部輪廓特征點的選取

人頭面部的幾何結構復雜，存在很大的差異，但人頭面部的輪廓形態卻存在一定的規律，其中頂骨的彎曲形狀決定了頭部輪廓線的形態；額骨、顴骨、上頜骨以及下頜骨等顱面骨基本上決定了面部輪廓線形態；面部肌肉組織的附著賦予了人頭面部輪廓線光滑這一特性.

通過對人臉結構形態進行分析，定義頭頂點v、顱側點eu、上頜骨圓弧起點g1、下頜骨圓弧終點g2、頦下點gn作為人頭面部輪廓特征點（其中頭頂點v、顱側點eu和頦下點gn為人體測量學中定義的骨性標志點），各特征點具體位置如圖2所示．

各特征點在人頭面部輪廓中的意義為：頭頂點v為法蘭克福平面（法蘭克福平面是由左右側耳門上點（po）和左側眼眶下緣點（or）3個點所確定的一個平面，也稱眼耳平面，如圖3所示）以上，距離法蘭克福平面最遠的點；顱側點eu為位于頂骨區域內以及顳側面最突出的點，兩顱側點間寬表征頭面輪廓最大寬；g1點為下頜骨圓弧起點；g2點為下頜骨圓弧終點；頦下點gn為法蘭克福平面以下，距離法蘭克福平面最遠的點，和頭頂點v共同表征頭面輪廓最大長度．可以看出，這些特征點的位置結合各點依次連接的方式決定了人頭面部輪廓的形狀．

圖2 特征點位置及頭面部正面坐標系

圖3 法蘭克福平面示意圖

2 人頭面部輪廓數學模型的建立

人頭面部輪廓的多樣性和光滑性要求建立的數學模型具有普適性，并要保證模型曲線光滑連續，同時為了便于不同臉型之間的遷移，在保證模型有效性的前提下其參數應盡量少，本文采用分段函數建立該數學模型.

坐標系的建立方式如圖2所示，以左右顱側點連線和正中矢狀面（將人頭部分為左右對等的面）的交點作為原點O建立直角坐標系，以兩顱側點連線作為Y軸，向右為正；Z軸位于正中矢狀面上，垂直于Y軸，向上為正；X軸符合右手定則．

由于人頭面部結構左右對稱，這里只闡述右半部分頭面輪廓的數學模型建立方法．首先，根據特征點將人頭面部輪廓進行分段，分段情況以及各段采取的模型曲線為：v～eu段，超橢圓曲線；eu～g1段，橢圓曲線；g2～gn段，拋物線；g1～g2段：圓弧曲線，該圓弧為eu～g1段橢圓曲線和g2～gn段拋物線的相切圓?。?/p>

設各特征點坐標為：v點（0，b），eu點（a，0），g1點（m，n），g2點（g，h），gn點（0，B）．則右半部分人頭面部輪廓的數學模型為

式中：

當a≥b時，a為超橢圓長半軸，當a＜b時，a為超橢圓短半軸；s為超橢圓指數；c、d分別為橢圓長半軸、短半軸，（yc，zc）為橢圓曲線和拋物線的相切圓弧圓心坐標．

由式（1）可知，a、b、s、c、m、g，R這7個獨立的參數就足以控制模型曲線形狀．為便于確定參數范圍，將m、g分別表示成橢圓參數方程以及圓參數方程中的坐標形式：m＝acos θ，

則最終的模型參數為a、b、s、c、θ、β、R，對這7個獨立參數進行優化即可得到任一特定人頭面部輪廓的數學模型．通過計算該數學模型在連接點處的左右導數，能夠證明該模型曲線光滑，這里不做贅述．

3 人頭面部輪廓模型參數的優化

由于本文建立的人頭面部輪廓數學模型為通用模型，對于任一給定的真實人頭面部輪廓，為得到其特定的數學模型并使模型曲線與真實頭面輪廓的誤差最小，需要對模型參數進行優化.

3.1 模型誤差的定義

采用人體測量學的方法對被測量者頭全高進行測量，測量時應使被測量者保持直立姿勢，兩眼向前平視，頭部位于眼耳平面，設測得的頭全高為H；利用數碼設備獲取被測量者的正面頭部照片，測得圖片上頭全高為h，則照片上人頭面部輪廓經圖像處理后進行比例放大即得到真實人頭面部輪廓線數據點，其中，比例因子k＝H／h；最后建立該真實輪廓線的數學模型，并將得到的模型曲線定義為理論輪廓線．

本文以樣本理論輪廓線上數據點和真實輪廓線上對應數據點間的相對距離衡量模型誤差，定義各對數據點相對距離的平均值和最大值為模型平均誤差和最大誤差．數據點的選取方法如圖4所示，首先將理論輪廓線和真實輪廓線均置于所建立的模型坐標系中，以原點O為中心，z≥0區域的曲線，每隔γ1取數據點，z＜0區域的曲線，每隔γ2取數據點，真實輪廓線和理論輪廓線上各取n個數據點．

圖4 誤差計算中數據點的選取

設真實輪廓線數據點為Ai（i＝1，2，…，n），Ai坐標為（yi，zi）；理論輪廓線數據點為Bi（i＝1，2，…，n），Bi坐標為（y0i，z0i）；則數據點Bi與數據點Ai的相對距離平均值為

數據點相對距離最大值為

3.2 模型參數的優化

為了可靠、全面地說明模型的有效性，以理論輪廓線數據點與真實輪廓線上對應數據點的相對距離平均值和最大值的加權和作為優化設計的目標函數，由此得到優化設計的數學模型.

1）設計變量：

2）目標函數：

式中：λ1、λ2為加權系數，λ1＋λ2＝1，由于平均值反映綜合誤差，最大值反映局部誤差，取λ1，λ2分別為0.6，0.4．

根據《成年人頭面部尺寸》［14］以及人體測量學中上述特征點在人頭面部的分布原則，得到：amax＝90 mm，bmax＝90 mm，smax＝4，cmax＝250 mm，θmax＝0，βmax＝0；Rmax＝30 mm，amin＝65 mm，bmin＝70 mm，smin＝0．7，cmin＝150 mm，θmin＝-2 rad，βmin＝-1 rad，Rmin＝0．

對該優化模型分析表明，其屬于多峰函數.遺傳算法能夠同時對搜索空間中的多個解進行評估［15］，具有較好的全局搜索性能，對于非線性、多峰值函數能以很大的概率找到全局最優解；因此，本文利用遺傳算法求取模型參數最優解.

3.3 算例驗證

將100組漢族成人真實頭面輪廓作為算例樣本，其中男女比例為1∶1，包含圓形臉等5種臉型類別，各類型均為20組，為使數據點充足且分布均勻，取γ1＝6°，γ2＝3°，即n＝90.圖5為對心形臉類別中隨機抽取的一組樣本進行頭面輪廓建模得到的模型效果圖.圖5（a）為該樣本正面照片；圖5（b）為樣本真實輪廓線和理論輪廓線對比圖；圖5（c）給出了具體的真實輪廓線和理論輪廓線上各對數據點的相對距離及模型誤差.

圖5 心形臉類別中一組樣本頭面輪廓建模效果

表1給出了對其他臉型樣本中隨機抽取的樣本進行頭面輪廓建模得到模型參數、各對數據點的相對距離和模型誤差.通過計算100組算例樣本的模型誤差可知，對于其中任一樣本，該模型在進行參數優化后都能保證模型平均誤差在1.2%以下，最大誤差在2.6%以下，驗證了該數學模型的有效性和普適性.

表1 模型參數、各對數據點的相對距離和模型誤差

4 各類臉型模型參數范圍的確定

4.1 曲線相似性的定義

為了使臉型的判定有明確的衡量標準，給出本文對曲線相似性的定義：

設有曲線M1N1、M2N2，將這兩條曲線置于同一直角坐標系中，連接點M1、M2與點N1、N2，線段M2M1和N2N1的延長線交于點O．如圖6所示，以O點為圓心，以γ為間隔在曲線M1N1上取點P1，P2，…，Pn-2，得到集合P＝｛M1，P1，P2，…，Pn-2，N1｝；在曲線M2N2上取點Q1，Q2，…，Qn-2，得到集合Q＝｛M2，Q1，Q2，…，Qn-2，N2｝．

圖6 數據點的獲取方法

4.2 臉型判定方法的研究

基于先驗知識可知，臉型可以分為圓形臉、方形臉、長形臉、蛋形臉以及心形臉，選出各類臉型中具有代表性的人臉樣本并將樣本真實頭面輪廓曲線作為標準臉型模板，如圖7所示.

圖7 標準臉型模板

根據曲線相似性定義，分別計算待分類人臉樣本真實頭面輪廓和5種標準臉型曲線的均方差，設均方差分別為σ1、σ2、σ3、σ4、σ5，則σmin對應的模板類型即該人臉樣本對應的臉型類別，其中σmin＝min｛σ1，σ2，σ3，σ4，σ5｝．因為頭頂輪廓對臉型沒有影響，故只對顱測點以下曲線進行均方差的計算．

利用上述方法對100組人臉樣本進行分類，限于篇幅這里只給出部分人臉樣本的分類結果，如圖8所示.

圖8 部分樣本分類結果

最后通過10個人對這100組樣本進行臉型類別認知實驗，認知結果和采用本文的臉型分類方法得到的分類結果相似率達到85%以上，驗證了該分類方法的有效性.表2為認知實驗中部分樣本的認知結果.

表2 識別實驗中部分樣本的識別結果

4.3 各類臉型模型參數范圍的確定

對100組臉型進行分類后，建立各類臉型樣本頭面輪廓的數學模型，對模型參數范圍進行總結，為以后對臉型可變仿人頭像機器人的研究提供理論基礎，臉型與模型參數范圍的對應關系見表3所示.

表3 各類臉型對應的模型參數范圍

5 結 論

1）利用超橢圓曲線、橢圓曲線、圓弧曲線以及拋物線建立了人頭面部輪廓的具有7個獨立參數的數學模型，從而實現了將人臉輪廓大量離散點的存儲轉化為7個獨立參數存儲，簡化人臉數據庫建立的復雜性.

2）以理論輪廓線數據點Ai相對真實輪廓線上對應數據點Bi的偏離距離平均值和最大值為優化目標對模型參數進行優化，利用遺傳算法求取模型參數最優解，從而實現特定人臉輪廓模型的建立.

3）選取100組真實人頭面輪廓樣本對模型進行驗證，結果表明，對于任一樣本，該模型在進行參數優化后都能保證模型平均誤差在1.2%以下，最大誤差在2.6%以下，驗證了該數學模型的有效性和普適性.

4）當人臉正面照片存在質量缺陷或部分遮擋時，只需提取出真實輪廓有效的特征點位置數據，同樣可以得到連續光滑的人頭面輪廓曲線，因此能夠彌補圖像處理方法中對人臉輪廓提取的不足.

5）提出一種新的臉型分類方法，確定出各類臉型模型參數范圍，拓寬了人頭面輪廓在仿人頭像機器人等領域的應用，為人臉輪廓線的提取、人臉識別、臉型遷移以及人臉三維建模的進一步研究提供了基礎.

致 謝

向提供頭面部圖像并接受頭全高測量的機械設計系研究生們致以衷心的感謝！

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（編輯 楊 波）

Research on mathematical model for human head?face contour

WU Weiguo，YAN Yunxue

（School of Mechatronics Engineering，Harbin Institute of Technology，150001 Harbin，China）

Face contour extracted by most existing extraction technology has the problem of non?smooth.Aimed at this situation，an segmentation modeling method for head?face contour is proposed.The piecewise function model is established using hyperelliptic curve，elliptic curve，circular curve and parabolic curve according to points definition and segmentation of contour.Contour sample＇s parameters obtained from the processing and optimization of 100 real human head?face images which contains five kinds of face verify the effectiveness and universality of the model.The result shows that the average error is under 1.2%and the maximum error is under 2.6%for each sample after optimizing the model.Finally the range of model parameters corresponding to each type of face is given by face shape classification based on the mathematical model.

head?face contour；mathematical model；hyperelliptic curve；face shape classification

TP391

：A

：0367-6234（2014）11-0030-07

2014-06-06.

國家高技術研究發展計劃（2006AA04Z201，2012AA041601）.

吳偉國（1966—），男，教授，博士生導師.

吳偉國，wuwg＠hit.edu.cn.