幾類不等式恒成立問題探究

時文

摘 要： 不等式恒成立問題在高考中處于非常重要的地位.本文把此類問題分為五類：數學語言易混型、主元變換型、分離變量型、轉化函數最值型、數形結合型等進行探究，從形式上加以區分，解決常見的不等式恒成立問題.

關鍵詞： 數學語言易混型 主元變換型 分離變量型 轉化函數最值型 數形結合型

不等式恒成立問題常以函數、方程、不等式和數列等知識點為載體，重點考查學生等價轉換、分類討論、數形結合、函數與方程等數學思想方法.其中函數思想的綜合性較強，為了讓學生更全面、更系統地掌握此類問題的解答方法，我將常見的恒成立問題上分為以下幾類.

一、數學語言易混型

四、轉化函數最值型

當我們碰到不能分離參數或分離參數后求最值或者確界困難的問題時，要想到從函數性質下手，通過確定函數單調性求最值，一般可以把此類問題化為：

（1）如果f（x，a）有最小值g（a），則f（x，a）>0恒成立？圳g（a）>0，f（x，a）≥0恒成立？圳g（a）≥0；

（2）如果f（x，a）有最大值g（a），則f（x，a）<0恒成立？圳g（a）<0，f（x，a）≤0恒成立？圳g（a）≤0.

解得：a<-1或a>1.

對含參數恒成立的不等式問題，如果參數取值不同，是不同的不等式會解法不同時，就可對參數進行分類討論進行求解，在分類時做到補充不漏.

五、數形結合型

對含參不等式通過恒定變形后，可化為兩邊是熟悉的函數形式的時候，我們常常用數形結合法，構造函數，作出對應的函數圖形，通過函數圖形找參數滿足的條件，再通過解不等式求出參數的范圍.

分析：此題兩邊都是熟悉的函數形式，考慮用數形結合法.

數形結合型的不等式恒成立問題，特別是可以化為一邊為多項式，另一邊是超越函數的不等式問題和含參數的一元二次不等式問題的時候，結合圖像找條件，往往事半功倍，應該在教學中加以強調.