線性代數教學中的一點體會

劉鳳霞

摘 要： 線性代數是一門重要的公共基礎課程，作者結合線性代數課程的特點與課堂教學實際經驗，總結了在線性代數教學中的體會。

關鍵詞： 線性代數 教學方法 教學體會

線性代數是大學數學最重要的基礎課之一。它是研究行列式、矩陣理論、線性方程組、向量空間和二次型的一門學科，在自然科學、社會科學、工程技術等領域中都有重要應用。學好這門課程，對于加強學生數學的抽象思維訓練，邏輯表達和分析問題及解決問題的能力的提高是非常有用的。但是線性代數的內容比較抽象，如何使學生更好地掌握這門課程，提高教學質量，是值得研究的問題。以下是我在教學實踐中的心得與體會。

一、具體內容的由淺入深和總體內容的融會貫通

我們在實際教學中，常常出現這樣的現象，教師在上面講得滿頭大汗，學生在下面聽得云里霧里乃至因跟不上進度而走神，或者跟上了進度卻因定義定理推論過多，在做題時仍然比較茫然，不知該從哪個角度思考問題。久而久之，失敗的經歷多了，學生就失去了學習這門課程的興趣和動力。為了避免這種現象，老師應該根據不同的教學內容選擇恰當的教學方法。以“線性方程組的解”這一節為例，一上來就是定理及其證明，一般講完定理和證明這些抽象的內容后，學生已經有些暈了，再講例題，必然積極性不高，學習效果不好。在實際教學中，本著從具體到抽象、由淺入深的原則，我們可以對教學內容做適當調整。可以先舉三個具體的例子說明定理的三種情況，在學生有了直觀了解后，再介紹定理內容及其證明，進一步讓學生有嚴密系統的認知。最后給出一些例子，讓學生自己動手，加深對定理的理解，掌握如何運用定理內容做題。

線性代數課程中各章節的內容并不是各自孤立的，而是相互聯系、相互滲透的，梳理知識點可以把各個知識點串聯起來，使得知識更加條理化和系統化，有利于學生更好地掌握知識。應指導學生在學習過程中經常將前后知識聯系起來，這樣等課程結束后就能形成一個清晰的知識脈絡，更有利于知識的掌握。例如在講第四章第二節“向量組的線性相關性”這一節時，我們應該先回顧齊次線性方程組有非零解和只有零解的充要條件，然后在講完線性相關和線性無關的定義時，給學生一定的時間自己考慮這兩個知識點有沒有什么關系，然后引導學生自己得出線性相關和線性無關的充要條件的定理。通過這個過程，學生從知識的接受者轉變為探索者，提高學習積極性和主動性及學習能力，并且將前后章節內容緊密聯系起來。

二、課上多做練習，讓學生有自己思考的時間，積極參與到課堂教學中

學生是課堂的主體，教師起主導作用，因此教師講課時不能自說自話地將學生孤立起來，而是要讓學生參與課堂教學，還要巧妙穿插課堂練習，讓學生積極參與到課堂練習中。

1.講完新內容做練習。每節課講完新內容，尤其是重要章節和重要知識點后，都要多做練習，加深學生對新內容的記憶和理解。例如矩陣的初等行變換這種重要運算，在后面求矩陣的秩，向量組的秩，逆矩陣，以及求解方程組都要用到，所以講完初等行變換，多讓學生做課堂練習，讓學生自己拿起筆做一次初等行變換，感受一下到底是如何運作的。可是選什么樣的題目作為課堂練習呢？我們可以把后面的知識點具體應用的例子先拿出來讓學生練。這樣不僅練習了新學習的內容，而且為學習后面的內容做了鋪墊。比如講逆矩陣這節一定有求逆矩陣的例子，我們可以把這個矩陣讓學生做初等行變換練習，也可以用向量組的秩這一節的例子做課堂練習。這樣既可以省去教師找例子的時間，而且在講后面內容時，由于這些例子前面已做過練習，因而可以節省授課時間，用于做更多的課堂練習。

2.將后面章節要用的知識點做練習。有些內容的證明中用到一些知識點，在前面的章節中沒有講到，但在證明中直接用了，那我們可以把這些知識點在前面章節講完新內容時做練習，這樣在講證明時可以保證證明過程的連貫性。

例1.我們可以在相似矩陣這一節，講矩陣A與B相似時，補充A-λE與B-λE也相似這個結論，讓學生做課堂練習。因為在下一節對稱矩陣的對角化這一節，有個推論內容為：對稱矩陣的k重特征值恰好有k個線性無關的特征向量。證明這個推論時會用到“若A與Λ相似，則A-λE與Λ-λE也相似”。加了這個課堂練習，一方面可以加深學生對于兩個矩陣相似的定義，另一方面在后一節講推論的證明時比較輕松連貫。

例2.我們可以在向量組的線性相關性這一節，讓學生證明：線性無關的向量組增加相同位置分量后還是一個線性無關的向量組；線性相關的向量組刪減相同位置分量后還是一個線性相關的向量組。這樣一方面可以加深學生對線性相關和線性無關的判別，另一方面為后面基礎解系的講解做鋪墊，因為后面會用到線性無關的向量組增加相同位置分量后還是一個線性無關的向量組。

做課堂練習，一方面讓學生有獨立思考的時間，幫助學生吸收理解課堂上所學的知識，另一方面讓學生真正會用這些知識，提高和增強學生的學習興趣和信心。值得注意的是，老師要起主導作用，一方面要選一些盡可能對后面學習有幫助的例子，另一方面不能讓課堂練習影響教學進度。

三、注重答疑與歸納總結

1.注重答疑。教師通過批改作業了解學生的學習情況，并且在課堂上留一定的時間講解作業中出現的問題及解答學生的提問。這樣不僅可以幫助學生解決學習中的疑惑問題，進一步理解和掌握課堂教學內容，還有助于教師自身發現教學過程中存在的問題，及時調整和改進教學。所以答疑非常重要，教師一定要注重答疑，并且及時答疑，這樣有助于學生及時解決問題，與老師的教學進度同步，從而保持學習這門課的興趣和信心。

2.學習過程中的歸納總結非常重要。任何課程的學習都是溫故而知新的，因此講完一章后，最好加一個本章小結，給學生一個本章的網絡結構圖，網絡結構圖要求一目了然，精簡明晰，能體現一章的主體結構，對照這個圖表，運用發散性思維啟發學生，看他們能想起多少相關的知識。這有助于學生從整體上把握這一章的脈絡，并且在一起回顧相關內容時，引導學生看他們能想起多少他們做過的與此相關的習題。這個歸納總結的過程不僅有助于學生做這一章的綜合習題，更有助于引入下一章的內容，從而激發學生的學習興趣。

教師在講課過程中應該總結一些相似的或容易混淆的內容，將它們列成表格，方便學生記憶。例如我們講過的一些特殊矩陣，對稱矩陣，正交矩陣，伴隨矩陣，相似矩陣，合同矩陣，正定矩陣等，可以把它們總結在一張表里，和學生一起列出它們的定義、性質及相關的典型習題。又比如最大無關組，基礎解系，基這三個定義，我們也可以將它們列成一張表，說明基礎解系和基是特殊的向量組的最大無關組，加深學生對這些定義的理解。對于一些不同章節介紹的等價的性質，比如矩陣可逆，矩陣的行列式不等于零，矩陣與單位矩陣等價，滿秩矩陣，等等，這些都是等價的性質，教師可以列成一張表，同時將不可逆矩陣的類似的一些等價性質列在同一張表里，讓學生一目了然。

教師在講解某些新知識點時，可以補充總結這個新知識點具有的某些之前章節的性質。例如在相似矩陣這一節，在講“若矩陣A與B相似，則A與B的特征值相同”這個定理時，我們可以補充結論：矩陣A與B相似；A與B等價；A與B的秩相同；A與B的行列式相同。做這樣的總結后，不僅可以加深學生對矩陣相似這個新知識點的理解，幫助學生回憶之前學過的知識點，而且有助于提高學生分析和解答綜合題的能力。

任何授課方式的探索，目的都只有一個，就是讓學生更好地掌握所學知識并學以致用。時代在飛速發展，對人才的要求越來越高，線性代數是高等院校中理工科和經管類等學生必修的一門基礎性課程，更是他們學好本專業后繼課程的前提，這就要求教師能夠與時俱進，多用心多思考，不斷探討適合學生的授課方法，學無止境，教學相長。

參考文獻：

[1]同濟大學數學系編著.工程數學線性代數[M].北京：高等教育出版社，2007，（第5版）.

[2]王躍恒，李應求.關于以學生為中心的線性代數教學研究[J].中國大學教學，2011（8）：59-61.

[3]朱永婷.線性代數教學的一些思考[J].科技創新導報，2011（3）：176-178.