在解復(fù)數(shù)題中如何培養(yǎng)學(xué)生的求簡意識(shí)

宋林鋒

摘 要：復(fù)數(shù)運(yùn)算是一種復(fù)雜運(yùn)算，在復(fù)數(shù)的教學(xué)中，有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生的求簡意識(shí)是一個(gè)重要課題。本文從整體處理方法、數(shù)形結(jié)合方法等六個(gè)方面舉例談了如何在活解復(fù)數(shù)題中培養(yǎng)學(xué)生的求簡意識(shí)。

關(guān)鍵詞：復(fù)數(shù) 整體處理方法 數(shù)形結(jié)合方法 求簡意識(shí)

中圖分類號(hào)：G712 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1673-9795（2014）02（b）-0125-02

復(fù)數(shù)是在實(shí)數(shù)的基礎(chǔ)上擴(kuò)充而得到的。這一擴(kuò)充過程體現(xiàn)了實(shí)際需求與數(shù)學(xué)內(nèi)部的矛盾對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展的推動(dòng)作用，同時(shí)也體現(xiàn)了人類思維的作用，從而使得數(shù)學(xué)更加光彩奪目，但復(fù)數(shù)的概念性強(qiáng)，性質(zhì)獨(dú)特，且與三角函數(shù)、幾何、多項(xiàng)式等方面想聯(lián)系，因此，在復(fù)數(shù)的教學(xué)中，要有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生的求簡意識(shí)。本文從以下五個(gè)方面談了如何在活解復(fù)數(shù)題中培養(yǎng)求簡意識(shí)。

（1）在活解復(fù)數(shù)題中運(yùn)用整體處理的方法能使求解簡單，從而培養(yǎng)學(xué)生的求解意識(shí)。以下四個(gè)例子用了四種方法介紹了整體處理的手段。

例1.已知、是兩個(gè)復(fù)數(shù)，，，是正實(shí)數(shù)，求。

解：

又

則

此例從整體著眼，利用模與模及共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)，直接從整體出發(fā)來計(jì)算，若從局部出發(fā)進(jìn)行復(fù)數(shù)計(jì)算求模會(huì)造成很大的麻煩。

例2.已知，求

。

解：

而，

故

。

此例不是直接代入來計(jì)算，先整體化簡，最后再代入計(jì)算，這樣簡化效果十分明顯。

例3.已知復(fù)數(shù)滿足≤2，求的輻角主值的取值范圍。

解：設(shè)，則

因?yàn)椤?，則≤2

故在以為圓心，2為半徑的圓上及內(nèi)部。

當(dāng)過原點(diǎn)的直線與圓相切時(shí)，由得

即

這就是所求的的輻角主值的取值范圍。

此例更是整體處理的精彩應(yīng)用，乍一看感到無從下手，但對(duì)所求作整體遷移，變換了視覺，使問題豁然開朗，從而使問題輕易獲解。

（2）數(shù)形結(jié)合方法在簡化復(fù)數(shù)計(jì)算中也有很大的優(yōu)越性。

例4.已知復(fù)數(shù)滿足，且

，求、。

解：

、、在復(fù)平面上的同一圓上

顯然點(diǎn)在第一象限內(nèi)（如圖1所示）。

又因?yàn)閷?duì)應(yīng)向量為復(fù)數(shù)，對(duì)應(yīng)向量所構(gòu)成平行四邊形的對(duì)角向量，所以只有

故得所求：

或

本例根據(jù)所給復(fù)數(shù)的具體條件，找出其幾何特征，從而使所求問題變得簡單明了。

（3）運(yùn)用輻角的運(yùn)算性質(zhì)，使有關(guān)復(fù)數(shù)求解的問題變得更加直接。

例5.設(shè)復(fù)數(shù)的輻角主值是，的輻角主值是，求。

解：由輻角的性質(zhì)，是的輻角，

又

所以

而

進(jìn)而

故可得

（4）巧用復(fù)數(shù)共軛，易得結(jié)論。

例6.設(shè)是實(shí)系數(shù)一元二次方程的兩個(gè)根，且知是虛數(shù)，是實(shí)數(shù)。求的值。

解：由實(shí)系數(shù)方程虛根共軛成對(duì)性質(zhì)知，

又因?yàn)槭菍?shí)數(shù)

所以

進(jìn)而

又故

（5）設(shè)而不求為計(jì)算構(gòu)筑橋梁，從而使計(jì)算簡單方便。

例7.設(shè)，，

求得值。

解：由，易得

設(shè)，

則有，

，

求得

故。

總之，在復(fù)數(shù)運(yùn)算中，要多方面思考，做到不僅會(huì)算，更要少算，甚至?xí)凰悖谡w思想、數(shù)形結(jié)合思想等的指導(dǎo)下，有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生的求簡意識(shí)。

參考文獻(xiàn)

[1] 鐘玉泉.復(fù)變函數(shù)倫[M].3版.北京：高等教育出版社，2006.

[2] 邱金俤.復(fù)變函數(shù)教程[M].北京：中國鐵道出版社，2008.

[3] 王萼芳，高等代數(shù)[M].3版.北京：高等教育出版社，2003.endprint

摘 要：復(fù)數(shù)運(yùn)算是一種復(fù)雜運(yùn)算，在復(fù)數(shù)的教學(xué)中，有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生的求簡意識(shí)是一個(gè)重要課題。本文從整體處理方法、數(shù)形結(jié)合方法等六個(gè)方面舉例談了如何在活解復(fù)數(shù)題中培養(yǎng)學(xué)生的求簡意識(shí)。

關(guān)鍵詞：復(fù)數(shù) 整體處理方法 數(shù)形結(jié)合方法 求簡意識(shí)

中圖分類號(hào)：G712 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1673-9795（2014）02（b）-0125-02

復(fù)數(shù)是在實(shí)數(shù)的基礎(chǔ)上擴(kuò)充而得到的。這一擴(kuò)充過程體現(xiàn)了實(shí)際需求與數(shù)學(xué)內(nèi)部的矛盾對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展的推動(dòng)作用，同時(shí)也體現(xiàn)了人類思維的作用，從而使得數(shù)學(xué)更加光彩奪目，但復(fù)數(shù)的概念性強(qiáng)，性質(zhì)獨(dú)特，且與三角函數(shù)、幾何、多項(xiàng)式等方面想聯(lián)系，因此，在復(fù)數(shù)的教學(xué)中，要有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生的求簡意識(shí)。本文從以下五個(gè)方面談了如何在活解復(fù)數(shù)題中培養(yǎng)求簡意識(shí)。

（1）在活解復(fù)數(shù)題中運(yùn)用整體處理的方法能使求解簡單，從而培養(yǎng)學(xué)生的求解意識(shí)。以下四個(gè)例子用了四種方法介紹了整體處理的手段。

例1.已知、是兩個(gè)復(fù)數(shù)，，，是正實(shí)數(shù)，求。

解：

又

則

此例從整體著眼，利用模與模及共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)，直接從整體出發(fā)來計(jì)算，若從局部出發(fā)進(jìn)行復(fù)數(shù)計(jì)算求模會(huì)造成很大的麻煩。

例2.已知，求

。

解：

而，

故

。

此例不是直接代入來計(jì)算，先整體化簡，最后再代入計(jì)算，這樣簡化效果十分明顯。

例3.已知復(fù)數(shù)滿足≤2，求的輻角主值的取值范圍。

解：設(shè)，則

因?yàn)椤?，則≤2

故在以為圓心，2為半徑的圓上及內(nèi)部。

當(dāng)過原點(diǎn)的直線與圓相切時(shí)，由得

即

這就是所求的的輻角主值的取值范圍。

此例更是整體處理的精彩應(yīng)用，乍一看感到無從下手，但對(duì)所求作整體遷移，變換了視覺，使問題豁然開朗，從而使問題輕易獲解。

（2）數(shù)形結(jié)合方法在簡化復(fù)數(shù)計(jì)算中也有很大的優(yōu)越性。

例4.已知復(fù)數(shù)滿足，且

，求、。

解：

、、在復(fù)平面上的同一圓上

顯然點(diǎn)在第一象限內(nèi)（如圖1所示）。

又因?yàn)閷?duì)應(yīng)向量為復(fù)數(shù)，對(duì)應(yīng)向量所構(gòu)成平行四邊形的對(duì)角向量，所以只有

故得所求：

或

本例根據(jù)所給復(fù)數(shù)的具體條件，找出其幾何特征，從而使所求問題變得簡單明了。

（3）運(yùn)用輻角的運(yùn)算性質(zhì)，使有關(guān)復(fù)數(shù)求解的問題變得更加直接。

例5.設(shè)復(fù)數(shù)的輻角主值是，的輻角主值是，求。

解：由輻角的性質(zhì)，是的輻角，

又

所以

而

進(jìn)而

故可得

（4）巧用復(fù)數(shù)共軛，易得結(jié)論。

例6.設(shè)是實(shí)系數(shù)一元二次方程的兩個(gè)根，且知是虛數(shù)，是實(shí)數(shù)。求的值。

解：由實(shí)系數(shù)方程虛根共軛成對(duì)性質(zhì)知，

又因?yàn)槭菍?shí)數(shù)

所以

進(jìn)而

又故

（5）設(shè)而不求為計(jì)算構(gòu)筑橋梁，從而使計(jì)算簡單方便。

例7.設(shè)，，

求得值。

解：由，易得

設(shè)，

則有，

，

求得

故。

總之，在復(fù)數(shù)運(yùn)算中，要多方面思考，做到不僅會(huì)算，更要少算，甚至?xí)凰?，在整體思想、數(shù)形結(jié)合思想等的指導(dǎo)下，有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生的求簡意識(shí)。

參考文獻(xiàn)

[1] 鐘玉泉.復(fù)變函數(shù)倫[M].3版.北京：高等教育出版社，2006.

[2] 邱金俤.復(fù)變函數(shù)教程[M].北京：中國鐵道出版社，2008.

[3] 王萼芳，高等代數(shù)[M].3版.北京：高等教育出版社，2003.endprint

摘 要：復(fù)數(shù)運(yùn)算是一種復(fù)雜運(yùn)算，在復(fù)數(shù)的教學(xué)中，有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生的求簡意識(shí)是一個(gè)重要課題。本文從整體處理方法、數(shù)形結(jié)合方法等六個(gè)方面舉例談了如何在活解復(fù)數(shù)題中培養(yǎng)學(xué)生的求簡意識(shí)。

關(guān)鍵詞：復(fù)數(shù) 整體處理方法 數(shù)形結(jié)合方法 求簡意識(shí)

中圖分類號(hào)：G712 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1673-9795（2014）02（b）-0125-02

復(fù)數(shù)是在實(shí)數(shù)的基礎(chǔ)上擴(kuò)充而得到的。這一擴(kuò)充過程體現(xiàn)了實(shí)際需求與數(shù)學(xué)內(nèi)部的矛盾對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展的推動(dòng)作用，同時(shí)也體現(xiàn)了人類思維的作用，從而使得數(shù)學(xué)更加光彩奪目，但復(fù)數(shù)的概念性強(qiáng)，性質(zhì)獨(dú)特，且與三角函數(shù)、幾何、多項(xiàng)式等方面想聯(lián)系，因此，在復(fù)數(shù)的教學(xué)中，要有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生的求簡意識(shí)。本文從以下五個(gè)方面談了如何在活解復(fù)數(shù)題中培養(yǎng)求簡意識(shí)。

（1）在活解復(fù)數(shù)題中運(yùn)用整體處理的方法能使求解簡單，從而培養(yǎng)學(xué)生的求解意識(shí)。以下四個(gè)例子用了四種方法介紹了整體處理的手段。

例1.已知、是兩個(gè)復(fù)數(shù)，，，是正實(shí)數(shù)，求。

解：

又

則

此例從整體著眼，利用模與模及共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)，直接從整體出發(fā)來計(jì)算，若從局部出發(fā)進(jìn)行復(fù)數(shù)計(jì)算求模會(huì)造成很大的麻煩。

例2.已知，求

。

解：

而，

故

。

此例不是直接代入來計(jì)算，先整體化簡，最后再代入計(jì)算，這樣簡化效果十分明顯。

例3.已知復(fù)數(shù)滿足≤2，求的輻角主值的取值范圍。

解：設(shè)，則

因?yàn)椤?，則≤2

故在以為圓心，2為半徑的圓上及內(nèi)部。

當(dāng)過原點(diǎn)的直線與圓相切時(shí)，由得

即

這就是所求的的輻角主值的取值范圍。

此例更是整體處理的精彩應(yīng)用，乍一看感到無從下手，但對(duì)所求作整體遷移，變換了視覺，使問題豁然開朗，從而使問題輕易獲解。

（2）數(shù)形結(jié)合方法在簡化復(fù)數(shù)計(jì)算中也有很大的優(yōu)越性。

例4.已知復(fù)數(shù)滿足，且

，求、。

解：

、、在復(fù)平面上的同一圓上

顯然點(diǎn)在第一象限內(nèi)（如圖1所示）。

又因?yàn)閷?duì)應(yīng)向量為復(fù)數(shù)，對(duì)應(yīng)向量所構(gòu)成平行四邊形的對(duì)角向量，所以只有

故得所求：

或

本例根據(jù)所給復(fù)數(shù)的具體條件，找出其幾何特征，從而使所求問題變得簡單明了。

（3）運(yùn)用輻角的運(yùn)算性質(zhì)，使有關(guān)復(fù)數(shù)求解的問題變得更加直接。

例5.設(shè)復(fù)數(shù)的輻角主值是，的輻角主值是，求。

解：由輻角的性質(zhì)，是的輻角，

又

所以

而

進(jìn)而

故可得

（4）巧用復(fù)數(shù)共軛，易得結(jié)論。

例6.設(shè)是實(shí)系數(shù)一元二次方程的兩個(gè)根，且知是虛數(shù)，是實(shí)數(shù)。求的值。

解：由實(shí)系數(shù)方程虛根共軛成對(duì)性質(zhì)知，

又因?yàn)槭菍?shí)數(shù)

所以

進(jìn)而

又故

（5）設(shè)而不求為計(jì)算構(gòu)筑橋梁，從而使計(jì)算簡單方便。

例7.設(shè)，，

求得值。

解：由，易得

設(shè)，

則有，

，

求得

故。

總之，在復(fù)數(shù)運(yùn)算中，要多方面思考，做到不僅會(huì)算，更要少算，甚至?xí)凰?，在整體思想、數(shù)形結(jié)合思想等的指導(dǎo)下，有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生的求簡意識(shí)。

參考文獻(xiàn)

[1] 鐘玉泉.復(fù)變函數(shù)倫[M].3版.北京：高等教育出版社，2006.

[2] 邱金俤.復(fù)變函數(shù)教程[M].北京：中國鐵道出版社，2008.

[3] 王萼芳，高等代數(shù)[M].3版.北京：高等教育出版社，2003.endprint