淺談冪級數的斂散性與函數的冪級數展開

馬曉東++李淑娟

摘 要：冪級數是數學分析當中重要概念之一，在數學中，冪級數是一類形式簡單而應用廣泛的函數級數，變量可以是一個或多個。冪級數被作為基礎內容應用到了實變函數、復變函數等眾多領域。本文就冪級數的收斂半徑、收斂區間、收斂域、馬克勞林級數等內容進行淺析。

關鍵詞：冪級數 斂散性 收斂半徑 收斂區間 收斂域 馬克勞林級數

中圖分類號：O173 文獻標識碼：A 文章編號：1673-9795（2014）02（b）-0089-02

1 冪級數的概念

1.1 冪級數

形如或的級數稱為冪級數，其中常數叫做冪級數的系數。

1.2 收斂半徑與收斂區間[1]

如果冪級數不是僅在c=0一點收斂，也不是在整個數軸上都收斂，則必有一個完全確定的正數R存在，它具有下列性質：

當時，冪級數絕對收斂；

當時，冪級數發散；

當x=R與X=-R時，冪級數可能收斂也可能發散。

正數R通常叫做冪級數的收斂半徑。由冪級數在處的收斂性決定它在區間、或上收斂，這區間叫做冪級數的收斂域，而開區間（-R，R）稱為冪級數的收斂區間。

如果僅在c=0收斂，就規定R=0，如果對一切c都收斂，則規定R=。

1.3 收斂半徑的求法

（1）對于不缺項的冪級數

定理：設冪級數的系數有則：

①當0<<時，有R=。

②當=0時，定義R=。

③當時，定義R=0。

（2）對于缺項的冪級數，例如

令，，考察==

則當<1時，級數收斂，此時可得知

①當時，R=。

②當時，R=。

③當時，定義R=0。

2 將初等函數展開為冪級數

如果f（x）在點的某鄰域內具有各有階導數、、…，…，這時稱冪級數

為函數f（x）在x=處展開的泰勒級數。

特別地，取得冪級數

稱為函數的馬克勞林級數。

常用的馬克勞林級數有：

（1）

（2）Sinx=

（3）Cosx=

（4）Ln（1+x）=

（5）

3 間接展開法

利用冪級數的基本性質與幾個常用的標準展開式，將初等函數展開為冪級數的方法，稱為間接展開法。

4 冪級數的基本性質

（1）冪級數的和函數S（x）在其收斂區間（-R，R）內為連續函數。

（2）冪級數在其收斂區間（-R，R）內可以逐項積分，即：

=

且逐項積分后所得到的冪級數的收斂半徑也是R。

（3）冪級數在其收斂區間（-R，R）內可以逐項求導，即：

（注意下標的變化）

且逐項求導后所得的冪級數的收斂半徑仍為R。

說明：如果逐項積分或逐項微分后的冪級數在c=R（或-R）處收斂，則性質2，3在c=R（或-R）處仍成立。

（4）若的收斂區間為（），的收斂區間為（），則

且的收斂區間為（-R，R），其中R=min

典型例題分析[2]

4.1 選擇題

（1）冪級數的收斂區間為（ ）。

A.（-1，1） B.

C. D.

分析：因為

所以且當x=-1時，發散。

當x=1時，收斂，故收斂區間為，答：C。

（2）設冪級數在c=2處收斂，則該冪級數在c=-1處必定（ ）。

A.發散 B.條件收斂

C.絕對收斂 D.斂散性不能確定

分析：由于冪級數在其收斂區間（-R，R）內絕對收斂，在時發散.可知，當冪級數在c=2處收斂時，必有。因此在（-2，2）內必定絕對收斂，由于c=-1（-2，2），因此可知在c=-1處必定絕對收斂，故應選C，答：C。

（3）下列冪級數中，收斂半徑為R=1的是（ ）。

A. B.

C. D.

分析：A

B

C

D

可見B為正確答案，答：B。

4.2 填空題

（1）冪級數的收斂域為

分析：當，即0

又當x=0時，=發散。

而當x=2時，=收斂。

故收斂域為，答：。

（2）關于的冪級數展開式為（-2

分析：

= = （-2

答：（-2

4.3 解答題

（1）求冪級數的收斂半徑。

分析：

，于是可知收斂半徑為答：2。

（2）求的收斂區間。

分析：所給級數為不缺項情形，，

=

因此，所以冪級數的收斂區間為（-3，3），答：（-3，3）。

（3）求的收斂半徑、收斂區間和收斂域。

分析：

于是

可知收斂半徑為R=即當即時，收斂。

當c=0時，=發散。

當c=2時，收斂。

故收斂區間為（0，2），收斂域為，答：1，（0，2），。

（4）把函數展開為x-2的冪級數，并求收斂區間。

分析：=

利用函數

，R=1，得到

，，

所以

（5）求函數的馬克勞林級數展開式。

分析：已知

=，

答：

（6）將函數展開成的冪級數。

分析：

=

=

利用公式（2）與（3）以代入得：

，

，

在處的展開式為：

Sinc=

參考文獻

[1] 高霞.高等數學[M].南開大學出版社，2010.

[2] 葉正道.高等數學[M].中國社會出版社，2005.

摘 要：冪級數是數學分析當中重要概念之一，在數學中，冪級數是一類形式簡單而應用廣泛的函數級數，變量可以是一個或多個。冪級數被作為基礎內容應用到了實變函數、復變函數等眾多領域。本文就冪級數的收斂半徑、收斂區間、收斂域、馬克勞林級數等內容進行淺析。

關鍵詞：冪級數 斂散性 收斂半徑 收斂區間 收斂域 馬克勞林級數

中圖分類號：O173 文獻標識碼：A 文章編號：1673-9795（2014）02（b）-0089-02

1 冪級數的概念

1.1 冪級數

形如或的級數稱為冪級數，其中常數叫做冪級數的系數。

1.2 收斂半徑與收斂區間[1]

如果冪級數不是僅在c=0一點收斂，也不是在整個數軸上都收斂，則必有一個完全確定的正數R存在，它具有下列性質：

當時，冪級數絕對收斂；

當時，冪級數發散；

當x=R與X=-R時，冪級數可能收斂也可能發散。

正數R通常叫做冪級數的收斂半徑。由冪級數在處的收斂性決定它在區間、或上收斂，這區間叫做冪級數的收斂域，而開區間（-R，R）稱為冪級數的收斂區間。

如果僅在c=0收斂，就規定R=0，如果對一切c都收斂，則規定R=。

1.3 收斂半徑的求法

（1）對于不缺項的冪級數

定理：設冪級數的系數有則：

①當0<<時，有R=。

②當=0時，定義R=。

③當時，定義R=0。

（2）對于缺項的冪級數，例如

令，，考察==

則當<1時，級數收斂，此時可得知

①當時，R=。

②當時，R=。

③當時，定義R=0。

2 將初等函數展開為冪級數

如果f（x）在點的某鄰域內具有各有階導數、、…，…，這時稱冪級數

為函數f（x）在x=處展開的泰勒級數。

特別地，取得冪級數

稱為函數的馬克勞林級數。

常用的馬克勞林級數有：

（1）

（2）Sinx=

（3）Cosx=

（4）Ln（1+x）=

（5）

3 間接展開法

利用冪級數的基本性質與幾個常用的標準展開式，將初等函數展開為冪級數的方法，稱為間接展開法。

4 冪級數的基本性質

（1）冪級數的和函數S（x）在其收斂區間（-R，R）內為連續函數。

（2）冪級數在其收斂區間（-R，R）內可以逐項積分，即：

=

且逐項積分后所得到的冪級數的收斂半徑也是R。

（3）冪級數在其收斂區間（-R，R）內可以逐項求導，即：

（注意下標的變化）

且逐項求導后所得的冪級數的收斂半徑仍為R。

說明：如果逐項積分或逐項微分后的冪級數在c=R（或-R）處收斂，則性質2，3在c=R（或-R）處仍成立。

（4）若的收斂區間為（），的收斂區間為（），則

且的收斂區間為（-R，R），其中R=min

典型例題分析[2]

4.1 選擇題

（1）冪級數的收斂區間為（ ）。

A.（-1，1） B.

C. D.

分析：因為

所以且當x=-1時，發散。

當x=1時，收斂，故收斂區間為，答：C。

（2）設冪級數在c=2處收斂，則該冪級數在c=-1處必定（ ）。

A.發散 B.條件收斂

C.絕對收斂 D.斂散性不能確定

分析：由于冪級數在其收斂區間（-R，R）內絕對收斂，在時發散.可知，當冪級數在c=2處收斂時，必有。因此在（-2，2）內必定絕對收斂，由于c=-1（-2，2），因此可知在c=-1處必定絕對收斂，故應選C，答：C。

（3）下列冪級數中，收斂半徑為R=1的是（ ）。

A. B.

C. D.

分析：A

B

C

D

可見B為正確答案，答：B。

4.2 填空題

（1）冪級數的收斂域為

分析：當，即0

又當x=0時，=發散。

而當x=2時，=收斂。

故收斂域為，答：。

（2）關于的冪級數展開式為（-2

分析：

= = （-2

答：（-2

4.3 解答題

（1）求冪級數的收斂半徑。

分析：

，于是可知收斂半徑為答：2。

（2）求的收斂區間。

分析：所給級數為不缺項情形，，

=

因此，所以冪級數的收斂區間為（-3，3），答：（-3，3）。

（3）求的收斂半徑、收斂區間和收斂域。

分析：

于是

可知收斂半徑為R=即當即時，收斂。

當c=0時，=發散。

當c=2時，收斂。

故收斂區間為（0，2），收斂域為，答：1，（0，2），。

（4）把函數展開為x-2的冪級數，并求收斂區間。

分析：=

利用函數

，R=1，得到

，，

所以

（5）求函數的馬克勞林級數展開式。

分析：已知

=，

答：

（6）將函數展開成的冪級數。

分析：

=

=

利用公式（2）與（3）以代入得：

，

，

在處的展開式為：

Sinc=

參考文獻

[1] 高霞.高等數學[M].南開大學出版社，2010.

[2] 葉正道.高等數學[M].中國社會出版社，2005.

摘 要：冪級數是數學分析當中重要概念之一，在數學中，冪級數是一類形式簡單而應用廣泛的函數級數，變量可以是一個或多個。冪級數被作為基礎內容應用到了實變函數、復變函數等眾多領域。本文就冪級數的收斂半徑、收斂區間、收斂域、馬克勞林級數等內容進行淺析。

關鍵詞：冪級數 斂散性 收斂半徑 收斂區間 收斂域 馬克勞林級數

中圖分類號：O173 文獻標識碼：A 文章編號：1673-9795（2014）02（b）-0089-02

1 冪級數的概念

1.1 冪級數

形如或的級數稱為冪級數，其中常數叫做冪級數的系數。

1.2 收斂半徑與收斂區間[1]

如果冪級數不是僅在c=0一點收斂，也不是在整個數軸上都收斂，則必有一個完全確定的正數R存在，它具有下列性質：

當時，冪級數絕對收斂；

當時，冪級數發散；

當x=R與X=-R時，冪級數可能收斂也可能發散。

正數R通常叫做冪級數的收斂半徑。由冪級數在處的收斂性決定它在區間、或上收斂，這區間叫做冪級數的收斂域，而開區間（-R，R）稱為冪級數的收斂區間。

如果僅在c=0收斂，就規定R=0，如果對一切c都收斂，則規定R=。

1.3 收斂半徑的求法

（1）對于不缺項的冪級數

定理：設冪級數的系數有則：

①當0<<時，有R=。

②當=0時，定義R=。

③當時，定義R=0。

（2）對于缺項的冪級數，例如

令，，考察==

則當<1時，級數收斂，此時可得知

①當時，R=。

②當時，R=。

③當時，定義R=0。

2 將初等函數展開為冪級數

如果f（x）在點的某鄰域內具有各有階導數、、…，…，這時稱冪級數

為函數f（x）在x=處展開的泰勒級數。

特別地，取得冪級數

稱為函數的馬克勞林級數。

常用的馬克勞林級數有：

（1）

（2）Sinx=

（3）Cosx=

（4）Ln（1+x）=

（5）

3 間接展開法

利用冪級數的基本性質與幾個常用的標準展開式，將初等函數展開為冪級數的方法，稱為間接展開法。

4 冪級數的基本性質

（1）冪級數的和函數S（x）在其收斂區間（-R，R）內為連續函數。

（2）冪級數在其收斂區間（-R，R）內可以逐項積分，即：

=

且逐項積分后所得到的冪級數的收斂半徑也是R。

（3）冪級數在其收斂區間（-R，R）內可以逐項求導，即：

（注意下標的變化）

且逐項求導后所得的冪級數的收斂半徑仍為R。

說明：如果逐項積分或逐項微分后的冪級數在c=R（或-R）處收斂，則性質2，3在c=R（或-R）處仍成立。

（4）若的收斂區間為（），的收斂區間為（），則

且的收斂區間為（-R，R），其中R=min

典型例題分析[2]

4.1 選擇題

（1）冪級數的收斂區間為（ ）。

A.（-1，1） B.

C. D.

分析：因為

所以且當x=-1時，發散。

當x=1時，收斂，故收斂區間為，答：C。

（2）設冪級數在c=2處收斂，則該冪級數在c=-1處必定（ ）。

A.發散 B.條件收斂

C.絕對收斂 D.斂散性不能確定

分析：由于冪級數在其收斂區間（-R，R）內絕對收斂，在時發散.可知，當冪級數在c=2處收斂時，必有。因此在（-2，2）內必定絕對收斂，由于c=-1（-2，2），因此可知在c=-1處必定絕對收斂，故應選C，答：C。

（3）下列冪級數中，收斂半徑為R=1的是（ ）。

A. B.

C. D.

分析：A

B

C

D

可見B為正確答案，答：B。

4.2 填空題

（1）冪級數的收斂域為

分析：當，即0

又當x=0時，=發散。

而當x=2時，=收斂。

故收斂域為，答：。

（2）關于的冪級數展開式為（-2

分析：

= = （-2

答：（-2

4.3 解答題

（1）求冪級數的收斂半徑。

分析：

，于是可知收斂半徑為答：2。

（2）求的收斂區間。

分析：所給級數為不缺項情形，，

=

因此，所以冪級數的收斂區間為（-3，3），答：（-3，3）。

（3）求的收斂半徑、收斂區間和收斂域。

分析：

于是

可知收斂半徑為R=即當即時，收斂。

當c=0時，=發散。

當c=2時，收斂。

故收斂區間為（0，2），收斂域為，答：1，（0，2），。

（4）把函數展開為x-2的冪級數，并求收斂區間。

分析：=

利用函數

，R=1，得到

，，

所以

（5）求函數的馬克勞林級數展開式。

分析：已知

=，

答：

（6）將函數展開成的冪級數。

分析：

=

=

利用公式（2）與（3）以代入得：

，

，

在處的展開式為：

Sinc=

參考文獻

[1] 高霞.高等數學[M].南開大學出版社，2010.

[2] 葉正道.高等數學[M].中國社會出版社，2005.