最小二乘法在拋光設(shè)備壓力控制中的應(yīng)用

孫振杰，王君鋒，程啟忠

(1.中國電子科技集團(tuán)公司第四十五研究所, 北京100176；2.華北石油管理局水電廠，河北任丘062552)

在化學(xué)機(jī)械拋光過程中，壓力的變化對化學(xué)機(jī)械拋光的工藝性有顯著的影響，因此晶片在拋光過程中設(shè)定精確的壓力是非常必要的，如何建立一種行之有效的拋光壓力控制方法，是CMP 工藝研究的一個重要方面。

在實(shí)際的拋光過程中，壓力值的大小不僅影響拋光后晶片表面去除率、粗糙度等工藝指標(biāo)，而且當(dāng)壓力波動較大時，會對晶片的表面加工質(zhì)量產(chǎn)生嚴(yán)重的影響甚至產(chǎn)生碎片。因此在拋光設(shè)備壓力控制部分不僅要考慮控制方法，同時要考慮合理的壓力值設(shè)定范圍。那么如何在藍(lán)寶石晶片拋光過程中，設(shè)置合理的壓力參數(shù)呢，下面采用數(shù)值分析的方法進(jìn)行研究，這里我們主要研究單因子因素，以拋光去除率作為響應(yīng)變量，拋光壓力作為因子，建立響應(yīng)變量與因子的回歸關(guān)系。

1 數(shù)學(xué)描述

在科學(xué)實(shí)驗(yàn)和統(tǒng)計(jì)研究中，往往需要從一組觀測值（i=0，1，2，…，n），去尋找y 與x 之間的函數(shù)關(guān)系，即：y=f(x)。通過最小二乘法擬合曲線的方法，得到y(tǒng) 與x 的擬合曲線。以便直觀地研究y隨x 的變化關(guān)系。

2 最小二乘法擬合曲線概述

求得擬合曲線以后再通過誤差分析得到擬合曲線y*(x)對數(shù)據(jù)(xi，yi)的擬合精度，其中可以用誤差平方和σ 來描述：

3 算法分析

由于影響晶片拋光去除率的工藝參數(shù)很多，而本方案只考慮拋光壓力與拋光去除率的函數(shù)關(guān)系，因此在實(shí)驗(yàn)過程中，保證其它工藝參數(shù)設(shè)置不變，而逐步增大拋光壓力參數(shù)設(shè)置。通過實(shí)驗(yàn)測得拋光去除率與拋光壓力關(guān)系數(shù)據(jù)如表1，求拋光去除率y 與壓力x 關(guān)系的擬合曲線，以便在程序控制中進(jìn)行壓力的校正。

上述的y 一般是在實(shí)驗(yàn)中通過觀測得到，總會帶有觀測誤差，并且n 往往很大，因此不能要求曲線y=f(x)通過上述數(shù)據(jù)表示出所有點(diǎn)。

為了得到拋光壓力與拋光去除率之間的函數(shù)關(guān)系，這里我們用最小二乘法分別進(jìn)行一次、二次和三次多項(xiàng)式的曲線擬合，并通過MINITAB 軟件繪制出曲線擬合的圖形。

4 程序設(shè)計(jì)

class pre

{

protected:

int m，n；

double *a，*x，*y；

double dt；

public:

pre(int m，int n)

{

this->m = m；

this->n = n；

dt = 0；

x = new double[m]；

y = new double[m]；

a = new double[n+1]；

}

}

函數(shù)中一共有m 個數(shù)據(jù)點(diǎn)，數(shù)據(jù)點(diǎn)的x 值，即壓力值。

void pre::press()

{

double *vy = new double[m+1]；

double *f = new double[n+1]；

int i，j，k；

double **vx = new double*[n+1]；

double **coe = new double*[n+1]；

for(i = 0；i <= n；i++)

{

vx[i]= new double[m+1]；

coe[i]= new double[n+1]；

/*進(jìn)行曲線擬合*/

}

for(i = 0；i <= n；i++)

{

for(j = 0；j < m；j++)

{

vx[i][j]= value(x[j]，i)；

}

for(j = 0；j < m；j++)

{

vy[j]= y[j]；

}

}

}

在上述構(gòu)造的曲線族中尋找一曲線按照某種原則去擬合數(shù)據(jù)，用所得的擬合數(shù)據(jù)曲線去代替數(shù)據(jù)所反應(yīng)的函數(shù)關(guān)系。新的擬合曲線記為y*(x)

/*誤差分析*/

void pre::deviat()

{

double *funcValue = new double[m]；

double sum=0；

int i，j；

for(j = 0；j < m；j++)

{

funcValue[j]= 0；

for(i = 0；i <= n；i++)

{

funcValue[j]+= a[i]* value(x[j]，i)；

}

sum += (y[j]- funcValue[j]) * (y[j]- funcValue[j])；

}

this->dt = sqrt(sum)；

}

5 結(jié)果分析

5.1 病態(tài)處理

作曲線擬合，選擇基函數(shù)是至關(guān)重要的，通常要根據(jù)具體的物理背景或坐標(biāo)點(diǎn)（i＝0，1，2，…，m）的分布情況去選擇。通常選擇冪函數(shù)（j＝0，1，2，…，n）作基函數(shù)，這時，擬合曲線是n 次多項(xiàng)式曲線。當(dāng)n 較大（n≥7）時，相應(yīng)的法方程往往是病態(tài)的，n 越大病態(tài)越嚴(yán)重，此時需重新選擇基函數(shù)進(jìn)行曲線擬合。

本方案中，通過分析可知采用二次和三次多項(xiàng)式擬合所得數(shù)據(jù)已經(jīng)滿足要求，因此此案例未涉及病態(tài)的處理。

5.2 程序運(yùn)行結(jié)果

一次多項(xiàng)式擬合結(jié)果：程序運(yùn)行結(jié)果見圖1，通過程序運(yùn)行結(jié)果得到的拋光壓力（x）與拋光去除率（y）之間一次多項(xiàng)式擬合的函數(shù)關(guān)系式：

y=0.926458+0.131703 x

均方誤差：σ=0.212996

二次多項(xiàng)式擬合結(jié)果：程序運(yùn)行結(jié)果見圖2，通過程序運(yùn)行結(jié)果得到的拋光壓力（x）與拋光去除率（y）之間二次多項(xiàng)式擬合的函數(shù)關(guān)系式：

圖1 一次多項(xiàng)式擬合結(jié)果

y=1.1034+0.117686x-0.000935099x2

圖2 二次多項(xiàng)式擬合結(jié)果圖1

均方誤差：σ=0.153835三次多項(xiàng)式擬合結(jié)果：程序運(yùn)行結(jié)果見圖3，通過程序運(yùn)行結(jié)果得到的拋光壓力（x）與拋光去除率（y）之間三次多項(xiàng)式擬合的函數(shù)關(guān)系式：

y=0.926458+0.131703x-0.00581965x2-0.00001378x3

均方誤差：σ=0.112111

圖3 三次多項(xiàng)式擬合結(jié)果

5.3 MINITAB 繪制擬合線圖

通過圖4可以看出，如果拋光壓力（x）與拋光去除率（y）之間是一次多項(xiàng)式擬合函數(shù)關(guān)系時，則實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與擬合線圖偏差很大，擬合效果不理想，不滿足設(shè)備工藝參數(shù)控制要求。

圖4 一次多項(xiàng)式擬合線圖

通過圖5可以看出，如果拋光壓力（x）與拋光去除率（y）之間是二次多項(xiàng)式擬合函數(shù)關(guān)系時，則實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與擬合線圖偏差不大，擬合效果相對理想，基本滿足設(shè)備工藝參數(shù)控制要求。

圖5 二次多項(xiàng)式擬合線圖

通過圖6可以看出，如果拋光壓力（x）與拋光去除率（y）之間是三次多項(xiàng)式擬合函數(shù)關(guān)系時，則實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與擬合線圖偏差很小，擬合效果很理想，滿足設(shè)備工藝參數(shù)控制要求。

通過三次擬合的運(yùn)行結(jié)果以及擬合線圖可知，第三次擬合的三次多項(xiàng)式曲線更加貼切的描述出實(shí)際問題中出現(xiàn)的拋光壓力（x）與拋光去除率（y）之間的函數(shù)關(guān)系，同時均方誤差也在合理值接受范圍內(nèi)。得到的拋光壓力（x）與拋光去除率（y）之間三次多項(xiàng)式擬合的函數(shù)關(guān)系式：

圖6 三次多項(xiàng)式擬合線圖

y=0.926458+0.131703x-0.00581965x2-0.00001378x3

均方誤差：σ=0.112111

該方案完成后，在以后的晶片拋光過程中，可以根據(jù)上述函數(shù)關(guān)系式調(diào)整拋光壓力工藝參數(shù)設(shè)置，實(shí)現(xiàn)拋光壓力柔性連續(xù)調(diào)節(jié)，以達(dá)到工藝要求的拋光去除率。

[1]顏慶津.數(shù)值分析[M].北京：北京航空航天大學(xué)出版社.2012.207-215.

[2]洪楠.MINITAB 統(tǒng)計(jì)分析教程[M].北京：電子工業(yè)出版社.2007.256-275.