永磁同步電機雙率殘差增廣最小二乘參數辨識

徐鵬， 肖建， 楊奕， 李山

(1.西南交通大學電氣工程學院，四川成都610031;2.重慶理工大學電子信息與自動化學院，重慶400054)

0 引言

經典系統辨識理論通常假設系統的輸入輸出采樣數據均是在同一操作頻率(單率)下獲得。隨著各種工業過程的發展和生產需求的提高，受客觀物理因素的限制，如輸入輸出變量的頻率特性、設備傳感器特性等，輸入與輸出變量需要采用不同的采樣(保持)頻率采集過程數據，從而出現多率采樣系統。多率采樣系統理論研究技術起步于20世紀50年代，隨后逐步應用于通信系統、信號處理、網絡控制系統、過程工業控制等領域。隨著被控對象復雜度的加深，多率采樣系統更多用于各類控制系統中，而多率采樣系統的建模與辨識先于控制成為研究的熱點［1］。

永磁同步電機(permanent magnet synchronous motors，PMSM)具有體積小、結構簡單、效率高等諸多優點，使得其在數控機床、醫療器械、航空航天等領域得到廣泛應用。然而與其他交流電機一樣，由于受噪聲、溫度和磁場等因素影響，永磁同步電動機是一個參數不確定、非線性、強耦合和多變量高階復雜系統，為保證相關的控制算法有效運行，首先需要獲得電機相關參數，目前常用的電機參數辨識方法主要有最小二乘法［2－8］、卡爾曼濾波法［9－12］、模型參考自適應法［13－16］以及人工神經網絡法［17－20］。最小二乘法具有算法簡單、易于實現等優點，因此被廣泛應用于系統辨識中。它既可以用于動態系統也可以用于靜態系統;既可以用于線性系統，也可以用于非線性系統;既可以用于離線估計，也可以用于在線估計。文獻［5］用帶有遺忘因子的最小二乘法對轉子慣性常數、阻尼常數進行了估計，并采用極點配置理論設計的實時PI控制器在參數變化的情況下對永磁同步電機進行了精確控制。文獻［6］采用帶有遺忘因子的最小二乘法對定子電阻、轉子磁通和電機銅損電阻進行了辨識，通過采用輸入、輸出反饋控制和滑模觀測器觀測轉子速度和位置實現永磁同步電機的無速度傳感器控制。文獻［7－8］論述了采用帶有遺忘因子的最小二乘法對Rd，Rq，Ld，Lq在有短路情況下引起較大溫升時的參數變化進行了辨識，以檢測定子繞組匝間短路。

本文采用多項式變換技術推導出永磁同步電機雙率采樣數據系統模型，而變換后原單率系統模型中的白噪聲變成有色噪聲，針對帶有色噪聲的雙率采樣模型，推導出辨識永磁同步電機雙率采樣系統基于殘差增廣最小二乘算法(DR－RELS)，并對算法進行收斂性分析，仿真實驗結果表明DR－RELS辨識算法對永磁同步電機雙率采樣系統的參數辨識一致收斂。

1 永磁同步電機數學模型

永磁同步電動機具有多變量、強耦合、非線性的性質，要獲得良好的調速性能需在控制時實現對象的近似解耦。因此常采用轉子磁鏈定向同步旋轉坐標系(即d－q軸旋轉坐標系)對永磁同步電動機性能進行分析研究。在建立永磁同步電機d－q軸數學模型前對電機本體及外界影響做出一些假設，永磁同步電動機在d－q軸旋轉坐標系下的電壓方程［21－22］為

機械運動方程

2 永磁同步電機雙率增廣最小二乘算法

多輸入多輸出多率采樣系統可以分解為若干個單輸入單輸出雙率采樣系統來進行研究。國內外很多學者研究多率采樣系統時，往往從雙率采樣系統出發，然后將研究成果推廣至多率采樣系統。針對一類單輸入單輸出(SISO)系統，其輸入量的保持頻率與輸出量的采樣頻率不同，如圖1所示，Pc為連續時間過程，由計算機產生的離散控制信號u(tT1)經過周期為T1=ph的零階保持器HT1產生的連續信號uc作為連續過程Pc的輸入，受噪聲v影響的輸出yc經過采樣周期T2=qh的采樣器ST2產生離散輸出信號y(tT2)(p和q互質，h為基周期)。

圖1 雙率采樣數據系統Fig.1 Dual-rate sampled-data system

多項式變換技術是除提升技術以外的唯一能夠獲得雙率辨識模型的方法，這種方法通過對單率模型作一定的轉換，使其可以直接使用雙率數據辨識出系統模型，然后在辨識出的雙率模型參數的基礎上結合雙率數據得出采樣間輸出的估計，最后實現雙率系統的參數辨識［1，23］。

設定采樣基周期為h=T，輸入采樣周期為T，輸出采樣周期為2T，即p=1，q=2，引入多項式

式(3)兩邊左乘D(z)得到

為簡化問題分析，下面僅分析d軸電流，并設定q軸電流無噪聲干擾，即vq(k)=0，整理得

代換參數得

式中:

定義參數向量

那么式(6)可以寫成下列回歸形式

用qt代替k得到

式中:

φ0(qt)包含可測得的雙率采樣輸入輸出數據{i(qt)，u(t)}，同時也包含不可測的噪聲項v(qti)，無法采用標準的最小二乘算法估計參數 ?。φ0(qt)中的未知項 v(qt－i)用殘差 v^(qt－i)來代替，則φ0(qt)用下面的信息向量代替

殘差估計值可由下式計算得到

其中y(qt－i)=id(qt－i)，由于i=1不是q的整數倍，式(9)中 y(qt－i)和 φT(qt－i)均不可測，則無法通過式(9)來計算殘差估計。為此，需要將不可測的輸出采樣中間值y(qt－i)用其估計y^(qt－i)來代替，其計算過程如下:

由式(3)得

設

則式(10)可寫成如下形式

用qt代換k

式中:

殘差估計值可由下式求得，

可得針對永磁同步電機雙率采樣系統模型公式(7)的參數?辨識算法，即基于殘差增廣最小二乘(DR－RELS)辨識算法

算法初始化設置:P(0)=p0I，p0為很大的正整數，I為單位陣，?^(0)為很小的實向量。

做法：1.取水淀粉加入熱水中，將手浸泡15分鐘，然后用清水洗凈，涂抹大量的含有維生素A的軟膏。2.用保鮮膜包裹手部，戴上手套或保鮮膜保持一夜，第二天早上再洗凈即可。

3 算法性能分析

設{v(t)，Ft}為定義在概率空間{Ω，F，P}的鞅差分序列，其中{Ft}是由{v(t)}產生的代數序列，比如，Ft=σ(v(t)，v(t－1)，v(t－2)，…)或 Ft=σ(y(t)，y(t－1)，y(t－2)，…)［24］。

對于噪聲序列{v(t)}，假設其滿足下列條件:

算法收斂性的驗證需要以下引理。

引理1 對于DR－RELS算法式(12)～式(21)，下列不等式成立:

證明參考文獻［25］中引理2的證明，此處從略。

定義

那么可得

引理2 對于雙率采樣系統公式(8)和DRRELS算法式(12)～式(21)，假設條件(A1)和(A2)成立，且

(A3)H(z):=D－1(z)－嚴格正實

則

這里(A3)保證了S(qt)≥0成立。

證明參考文獻［1］中引理2.2.2的證明，此處從略。

定理3 對于雙率系統式(8)和DR－RELS式(12)～(21)算法，假設引理2中的條件都滿足，那么對于任意c＞1，有

證明結合文獻［1］，對于結論1，設

由 P－1(qt)的定義(20)可知 ln|P－1(qt)|為非遞減，利用引理2可得

應用文獻［24］中的引理D.5.3可得

由于S(qt)≥0，上式表示

由 ln|P－1(qt)|=O(lnr(qt))=O(lnλmax［P－1(qt)］，則

對于結論2，3和4設

c＞1.則結論2，3和4可以用相似的方法得以證明。定理3證畢。

4 仿真實驗

永磁同步電機電磁參數見表1所示，系統基周期T=1e－6(s)，輸入采樣周期為 1e－6(s)，輸出采樣周期為2e－6(s)，p=1，q=2，電機調速采用雙閉環PI調節方式，轉速設定為ω=100(rad/s)，負載轉矩為7 N·m，轉速和d軸電流響應如圖2，圖3所示。

表1 永磁同步電機電磁參數Table 1 Electromagnetic parameters of PMSM

由電機電磁參數可以得到永磁同步電機雙率采樣系統的參數真實值

圖2 轉速響應Fig.2 Speed response

圖3 d軸電流響應Fig.3 d-axis current response

結合參數?的值以及公式(8)φ0(qt)表達式，可以確定 αd1，βd1，βd2為辨識過程的關鍵參數，而 αd2，βd3，βd4參數相對極小，γd1辨識因采用殘差估計噪聲故不作為考察參數。故設定辨識過程的關鍵參數為噪聲信號{v(t)}為零均值、方差為σ2白噪聲序列。不同噪聲方差σ2下應用DR－RELS算法來估計參數?，并采用其估計值直接計算:=［的估計值，則參數估計和估計誤差見表2～表5和圖 4，其中 δ:= ‖－ ?k‖/‖?k‖，δs:= ‖－ θ‖/‖θ‖為歐幾里得范數計算參數估計誤差。

表2 DR-RELS算法的?k估計值(σ2=0.012)Table 2 DR-RELS estimates ?k(σ2=0.012)

表3 a1和b1估計值(σ2=0.012)Table 3 Estimates a1and b1(σ2=0.012)

表4 DR-RELS算法的?k估計值(σ2=0.022)Table 4 DR-RELS estimates ?k(σ2=0.022)

表5 a1和b1估計值(σ2=0.022)Table 5 Estimates a1and b1(σ2=0.022)

由表2～表5和圖4可以看出，隨著時間t的增加，參數估計誤差δ逐漸減小，參數估計值收斂于真實值。隨著噪聲方差σ2的減小，參數估計誤差δ在辨識初期的振蕩幅度逐漸減小。但因辨識參數值的差異性太大，如αd1遠大于βd1，βd2，這就導致各個參數收斂速度的不均衡。結合圖3電流響應，可以看出辨識初期電流值在零附近，噪聲信號影響較大，而噪聲的估計值不準確性導致參數估計誤差δ振蕩劇烈。

圖4 不同噪聲方差下參數估計誤差δFig.4 Comparison between σ2=0.012and 0.022:DR-RELS estimation error δ

采用DR－RELS雖然能有效辨識帶噪聲的永磁同步電機雙率采樣系統，但是由于采用多項式變換技術后待辨識參數的增加，使得應用DR－RELS算法時增加了算法的計算量。

5 結論

采用多項式變換技術對多變量、強耦合永磁同步電機系統變換得基于雙率采樣數據的數學模型，并采用基于殘差增廣最小二乘算法(DR－RELS)對其變換后的模型進行參數辨識，同時對算法進行了性能分析，仿真結果證明該算法對永磁同步電機雙率采樣數據模型參數估計一致收斂性。

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