淺談用分類與整合的思想解高考數(shù)學題

2014-07-04 00:10:45羅海軍

課程教育研究·下 2014年5期

羅海軍

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】B 【文章編號】2095-3089（2014）5-0243-02

考試說明明確指出高考試題在全面考查"基礎知識、基本技能、基本方法"的基礎上，更突出數(shù)學思想方法的考查，突出數(shù)學與現(xiàn)實生活的聯(lián)系。高考主要考查以下七個基本數(shù)學思想方法：函數(shù)與方程的基本數(shù)學思想（通過函數(shù)題）、數(shù)形結合的基本數(shù)學思想（通過函數(shù)題，解析幾何綜合題，構造圖形等）、分類與整合的基本數(shù)學思想（通過綜合題，排列組合題，參數(shù)討論題）、化歸與轉(zhuǎn)化的基本數(shù)學思想（通過綜合題）、特殊與一般的基本數(shù)學思想（通過綜合題）、有限與無限的基本數(shù)學思想（通過極限、微積分函數(shù)題）、或然與必然的基本數(shù)學思想（通過概率、統(tǒng)計題）。本文將結合高考試題探討一下用分類與整合的思想解高考數(shù)學題。

一、什么是分類與整合的思想

分類與整合就是當問題所給的對象不能進行統(tǒng)一研究時，就需要對研究對象按某個標準分類，然后對每一類分別研究得出每一類的結論，最后綜合各類結果得出整個問題的解答。分類與整合就是"化整為零，各個擊破，再積零為整"的數(shù)學思想。

二、數(shù)學題目怎么體現(xiàn)分類與整合的思想

參數(shù)廣泛地存在于中學數(shù)學的各類問題中，也是近幾年來高考重點考查的熱點問題之一。以命題的條件和結論的結構為標準，含參數(shù)的問題可分為兩種類型：一種類型的問題是根據(jù)參數(shù)在允許值范圍內(nèi)的不同取值（或取值范圍），去探求命題可能出現(xiàn)的結果，然后歸納出命題的結論；另一種類型的問題是給定命題的結論去探求參數(shù)的取值范圍或參數(shù)應滿足的條件。要處理好這類問題通常需要從以下幾方面入手：第一，科學合理地分類。科學的分類滿足兩個條件：條件一是保證分類不遺漏；條件二是保證分類不重復。在此基礎上根據(jù)問題的條件和性質(zhì)，應盡可能減少分類。第二，確定分類標準。在確定討論的對象后，最困難是確定分類的標準，一般來講，分類標準的確定通常有三種：（1）根據(jù)數(shù)學概念來確定分類標準，例如：絕對值的定義是：a=a(a>0)

0(a=0)

-a(a<0)。（2）根據(jù)數(shù)學中的定理、公式和性質(zhì)確定分類標準。數(shù)學中的某些公式、定理、性質(zhì)在不同條件下有不同的結論，在運用它們時，就要分類討論，分類的依據(jù)是公式中的條件。（3）根據(jù)運算的需要確定分類標準。

三、高考題中體現(xiàn)分類與整合的思想

題型一：（2013年全國卷）選修4-5：不等式選講

已知函數(shù)f(x)=2x-1+2x+a,g(x)=x+3。（Ⅰ）當a=2時，求不等式f(x)-1,且當x∈（-, )時，f(x)≤g(x),求a的取值范圍。

評析：本題主要考查含絕對值不等式解法。利用絕對值的定義是：a=a(a>0)

0(a=0)

-a(a<0)

進行分類討論。顯然當a=-2時，不等式f(x)

-5x,x<

-x-2,≤x≤1'

3x-6,x>1

畫出圖像可知，當且僅當x∈(0,2)時，y<0，∴原不等式解集是x|0

題型二：（2010年四川高考題文科20）已知等差數(shù)列{an}的前3項和為6,前8項和為-4。（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式；（Ⅱ）設bn=(4-an)qn-1(q≠0，n∈N*)，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn。

（Ⅰ）設{an}的公差為d，由已知得3a1+3d=6

8a1+28d=-4。解得a1=3,d=-1，故an=3-(n-1) =4-n

（Ⅱ）由(Ⅰ)的解答可得bn=n·qn-1，于是Sn=1·q0+2·q1+3·q2+…+(n-1) ·qn-2+n·qn-1，當q≠1時，上式兩邊同乘以q可得qSn=1·q1+2·q2+3·q3+…+(n-1)qn-1+n·qn ，上述兩式相減可得(q-1)Sn=nqn-1-q1-q2-…-qn-1=nqn-=

所以Sn=，當q=1時Sn=1+2+3+…+n=。

綜上所述， Sn=

,q=1

,(q≠1)

評析：本題主要考查等比數(shù)列前n項和公式中的分類討論思想。公式