Hartley變換在位場(重、磁)異常導數計算中的應用

馬國慶，黃大年，杜曉娟，李麗麗

吉林大學地球探測科學與技術學院，長春 130061

Hartley變換在位場(重、磁)異常導數計算中的應用

馬國慶，黃大年，杜曉娟，李麗麗

吉林大學地球探測科學與技術學院，長春 130061

導數計算是位場(重磁)數據處理中必不可少的技術手段，現今大多采用Fourier變換來進行。Hartley變換是在Fourier變換基礎上定義的一種實數域運算，比Fourier變換更加對稱，所需的運算量更少。筆者推導出基于Hartley變換的重磁異常導數計算公式，計算結果與理論值之間誤差小于5%，通過理論模型證明Hartley變換可替代Fourier變換進行位場異常的導數計算，且受噪音干擾較小。將Hartley變換用于位場邊界識別濾波器的計算，獲得了清晰的斷裂分布。

位場；導數； Fourier變換；Hartley變換

0 引言

導數計算被廣泛應用于重磁數據的處理與解釋[1-3]，具有突出淺源異常、區分疊加異常、確定地質體邊界以及削弱背景異常的作用。現今大多采用Fourier變換[4]來完成重磁異常導數的計算。Fourier變換要求數據的尺寸為2的冪次，而Hartley變換無此要求。Hartley變換是在Fourier變換基礎上定義的一種實數域內的運算[5]，至少比Fourier變換減少一半的空間和時間[6]，且更加對稱。Hartley變換已經在圖像處理、模式識別、地震波場模擬等領域得到廣泛應用[7-11]；在位場數據處理中最早被用來進行波譜分析[12-13]，其得到的異常波譜也能成功地區分出背景場和局部場。Sundarajan等[14]將Hartley變換與Hilbert變換相結合進行功率譜分析，并證明采用該方法所需的計算量相對Fourier變換要少。后來人們利用Hartley變換進行位場剖面數據的相關分析與分量之間的轉換[15-16]，均取得了較好的應用效果。

筆者根據Hartley變換的基本性質及位場基本原理推導出基于Hartley變換的重磁異常二維和三維導數計算公式。通過理論模型試驗證明Hartley變換計算得到的導數與Fourier變換計算結果相接近，且與理論值誤差較小，可作為進行位場數據處理與轉換的另一種方法。

1 二維重(磁)異常頻譜及導數計算公式推導

1.1 一維Hartley變換的定義

Hartley變換是酉變換的一種，變換前后的信號熵和能量不變[5]。Hartley變換的一維形式如下:

正變換為

(1)

逆變換為

(2)

由Hartley變換定義奇函數與偶函數如下:

奇函數為

(3)

偶函數為

(4)

1.2 一維Hartley變換的性質

性質1：Hartley變換與自身奇函數和偶函數的關系[5-6]為

(5)

(6)

性質2：Hartley變換與Fourier變換的關系式為

(7)

(8)

(9)

式中：PH(w)、XH(w)分別為pxy(τ)、x(t)的Hartley變換；YHe(w)、YHo(w)分別為y(t)的偶函數變換和奇函數變換。

(10)

1.3 二維重磁異常Hartley譜及導數計算公式

重力場源在z≤0空間中的重力異常f(x,z)是調和函數。已知z=0(水平面上)的函數值f(ξ,0)，求z≤0空間中的重力函數值f(x,z)，這種數學問題為狄里希萊(Dirichlet)問題(第一邊值問題)。利用格林函數可求得上半空間解的積分表達式。對于二維問題，延拓積分表達式為[17]

(11)

已知Fourier變換關系式[18]：

(12)

(13)

由性質3可得f(x,z)的Hartley變換式為

(14)

式中，FH(u,0)為f(x,0)的Hartley變換。

對式(14)進行反Hartley變換可得

(15)

應用微分定理對式(15)做積分號下求微分的計算，即可求出重、磁異常導數的表達式。

水平導數：

(16)

垂直導數：

(17)

從式(16)和(17)中可以看出，Hartley在進行導數計算時，均是實數域內的運算，不需要虛數參與計算,因此比Fourier變換減少一半的運算量。

2 三維重(磁)異常Hartley譜及導數計算公式推導

2.1 二維Hartley變換的定義

Hartley變換二維形式與二維Fourier變換不同。對于二維實函數的Hartley變換[9]，其積分核存在2種形式：cas(ux+vy)、cas(ux)cas(vy)。為了便于計算，筆者采取可分離的第二種形式，并有如下的正、逆變換表示式為

(18)

(19)

對于二維Hartley變換也可以構造出奇、偶函數，其形式如下:

奇函數為

(20)

偶函數為

(21)

2.2 二維Hartley變換的基本性質

性質5：二維Hartley變換與Fourier變換的關系式為

(22)

性質6：二維Hartley變換的褶積關系式為

(23)

(24)

2.3 三維重(磁)異常Hartley譜及導數計算公式

重力場源在z≤0空間中的重力異常f(x,y,z)是調和函數。對于三維問題，延拓積分表達式為

(25)

a.一階水平導數；b.未擴邊一階垂直導數；c.擴邊后一階垂直導數；d.二階垂直導數。圖1 不同方法計算的重力異常導數結果Fig.1 The derivative results of gravity anomaly computed by different methods

a.理論重力異常；b.理論一階垂直導數；c.利用Fourier變換計算得到的一階垂直導數；d.利用Hartley變換計算得到的一階垂直導數；e.Fourier變換計算導數與理論導數差；f.Hartley變換計算導數與理論導數差；g.Fourier變換計算得到的含噪異常的一階垂直導數；h.Hartley變換計算得到的含噪異常計算得到的一階垂直導數。圖2 長方體產生的重力異常及其導數計算結果Fig.2 Gravity anomaly and derivative data generated by rectangular prism

已知Fourier關系式[18]：

(26)

由性質5可得

(27)

(28)

因此，φ(ε,η)的Hartley變換為

(29)

由性質6可得，f(x,y,z)的Hartley變換式為

(30)

式中：FH(u,v,z)為f(x,y,z)的Hartley變換，FH(u,v,0)為f(x,y,0)的Hartley變換。

對式(30)進行反Hartley變換可得

(31)

應用微分定理對式(31)做積分號下求微分運算，即可求出重、磁異常導數的表達式。

x方向導數：

(32)

y方向導數：

(33)

z方向導數：

(34)

從式(32)、(33)和(34)中可以看出，三維導數計算公式與二維導數計算公式的推導過程不同，但最終的導數形式是一致的。

3 理論模型試驗

以二維情況為例：水平無限延伸圓柱體半徑R=50 m，中心點埋深h=100 m，與圍巖密度差ρ=1 g/cm3。分別利用離散Fourier和離散Hartley變換計算z=0觀測面上重力異常的導數(圖1)，并統計2種方法計算得到的導數與理論導數之間的均方差(表1)。

從表1中可以看出，采用Hartley變換計算得到的垂直導數的精度要略高于Fourier變換計算結果的精度，可作為位場導數計算的另一種選擇。

表1 不同方法計算導數與理論導數的均方差

Table 1 The error between theoretical derivative and computed derivative by different methods

Fourier變換Hartley變換一階水平導數2.04×10-63.41×10-6一階垂直導數2.86×10-52.68×10-5二階垂直導數1.33×10-32.72×10-4

噪聲是實際數據處理中不可避免的影響因素，試驗Hartley變換和Fourier變換在存在噪聲情況下的導數計算效果。圖2為埋深分別為15 m和20 m的長方體產生的重力異常。從圖2中可以看出，Hartley變換計算結果的幅值與理論值更為接近。從圖2g、h可以看出，Hartley變換受噪音干擾較小，依舊能很好地完成導數的計算，而Fourier變換的導數結果受噪音影響相對較大。這主要是由于在頻率域中轉換因子具有明顯的噪聲放大作用[19]，而Hartley變換為實數域內的運算，不會明顯地增大噪聲的干擾。

4 實際數據應用

為了進一步試驗本文方法的計算效果，分別利用Hartley變換與Fourier變換完成邊界識別濾波器-增強型?圖(enhanced theta map,ETM)[20]的計算，其表達式為

ETM=

(35)

式中，mean代表均值。利用不同方法計算得到的增強型?圖對中國西北部朱日和地區磁異常進行邊界識別處理，計算結果(圖3)均可以清晰地反映出地層之間的界限。

5 結論

Hartley變換是在Fourier變換基礎上定義的一種實數域計算，筆者推導出了基于Hartley變換的位場(重、磁)異常導數計算公式。通過理論模型試驗證明，Hartley變換計算結果與Fourier變換計算結果接近，與理論值之間誤差較小。將Hartley變換和Fourier變換應用于位場數據邊界識別濾波器的計算，均能清晰地獲得地層之間的界限特征，因此,Hartley變換可作為位場數據處理與轉換的另一種選擇。

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Hartley Transform in the Application of the Derivatives of Potential Field (Gravity and Magnetic) Data

Ma Guoqing, Huang Danian, Du Xiaojuan, Li Lili

CollegeofGeoExplorationScienceandTechnology,JilinUniversity,Changchun130021,China

Derivative is an indispensable tool in the processing of potential field data. Now we usually use the Fourier transform to complete the computation, but this method is sensitive to noise, so cannot compute higher-order derivatives. Hartley transform (HT) is a real-valued function that is defined on the basis of Fourier transform (FT), however, symmetry character of HT is better and computational complexity of HT is smaller compared with these properties of FT. We derive the derivative computation equations of gravity and magnetic anomaly based on the basic property of HT. We demonstrate the HT on theoretical anomalies, and errors between the results computed by HT, which is insensitive to noise, and the theoretical values are less than 5%, so the HT can substitute the FT to compute the derivatives of potential field data. We also apply the HT to finish the computation of edge detection filters and obtain clearer distribution of faults.

potential field; derivative; Fourier transform; Hartley transform

10.13278/j.cnki.jjuese.201401301.

2013-06-29

國家科技專項項目(SinoProbe-09-01 201011078)；中國地質調查局地質礦產調查評價專項項目(GZH003-07-03)

馬國慶(1984-)，男，講師，博士，主要從事位場數據處理與解釋方面的研究，E-mail:magq08@mails.jlu.edu.cn

杜曉娟(1957-)，女，教授，主要從事位場數據解釋方面的研究，E-mail:dtdxj@jlu.edu.cn。

10.13278/j.cnki.jjuese.201401301

P631.1

A

馬國慶，黃大年，杜曉娟，等.Hartley變換在位場(重、磁)異常導數計算中的應用.吉林大學學報:地球科學版,2014,44(1):328-335.

Ma Guoqing, Huang Danian, Du Xiaojuan,et al.Hartley Transform in the Application of the Derivatives of Potential Field (Gravity and Magnetic) Data.Journal of Jilin University:Earth Science Edition,2014,44(1):328-335.doi:10.13278/j.cnki.jjuese.201401301.