直齒面齒輪嚙合效率計算研究*

□ 蘇進展 □ 賀朝霞

長安大學 道路施工技術與裝備教育部重點實驗室 西安 710064

面齒輪傳動是圓柱齒輪與平面齒輪嚙合的角度傳動，可用于兩齒輪軸線正交、非正交或偏置等情況［1］。面齒輪副應用在分流-匯流傳動中，發揮了獨特的優越性，在航空傳動領域的應用表現出了潛在的優勢。但是國內對于其嚙合效率的研究很少，而對圓柱齒輪嚙合效率做了大量的研究［2-4］，但摩擦因數大多采用平均值或由半經驗公式算得，趙寧等采用CFD（Computational FluidDynamics）計算面齒輪風阻功率損失［5］。 本文在直齒面齒輪幾何接觸分析［6］和齒輪承載接觸分析［7］的基礎上，利用熱彈流理論得到接觸線上各點處的滑動摩擦因數，進而得到了直齒面齒輪傳動的滑動摩擦功率損失。

1 嚙合效率的計算流程

直齒面齒輪傳動功率損失主要有滑動摩擦功率損失、滾動摩擦功率損失、風阻損失等，其中滑動摩擦功率損失所占比例很大，本文僅考慮滑動摩擦功率損失對嚙合效率的影響。

直齒面齒輪傳動嚙合效率的計算流程如圖1所示，主要由齒輪嚙合仿真、瞬時摩擦因數計算、嚙合效率的計算等組成。以△φ為步長將一個嚙合周期分為m 個嚙合位置， 對應小輪的轉角分別為 φi，i=1，2，3，…，m。在嚙合位置φi，由齒輪副的輪齒接觸分析（TCA）和輪齒承載接觸分析（LTCA）可以得到該位置下各嚙合線上各離散點處的法向載荷和載荷密度等；由各離散點的當量曲率半徑、相對滑動速度、法向載荷和載荷密度等以及潤滑油的動力黏度、齒輪的材料參數等可以得到彈流潤滑狀態下各離散點的滑動摩擦因數；由求得的法向載荷、相對滑動速度和滑動摩擦因數可以求得位置φi的直齒面齒輪瞬時滑動摩擦功率損失，進而求得瞬時嚙合效率。遍歷一個嚙合周期內各嚙合位置的瞬時嚙合效率，進而求出直齒面齒輪傳動平均嚙合效率。

2 滑動摩擦功率損失的計算

直齒面齒輪在承載情況下，由點接觸變為近似橢圓的局部接觸區，又由于橢圓短軸對于長軸來說非常小，兩齒面在該點的接觸可以認為是局部線接觸，所以該瞬時接觸點處的滑動摩擦功率損失為沿橢圓長軸上各點處的摩擦功率損失之和。將接觸線離散為有限線段，如圖2所示，以各段中點參數表示該段接觸線上各點的參數，由各段離散接觸線的滑動摩擦功率損失之和近似表示該瞬時接觸線的滑動摩擦功率損失。

▲圖1 嚙合效率計算流程

2．1 離散點處的相對滑動速度

忽略齒面間隙和彈性變形量的影響，則兩齒面在離散點 Mj處的切向速度和相對滑動速度分別為：式中：分別為小輪和大輪在固定坐標系Sf下，離散點 Mj的速度；分別為向 n（Mj）f方向的投影。

2．2 滑動摩擦因數的計算

齒輪在每段離散的嚙合線的潤滑情況用兩個單位長度當量圓柱的接觸情況來模擬，如圖3所示，即兩個圓柱體沿其母線的接觸。圖中Wj為兩圓柱的法向載荷密度，為當量圓柱的半徑，為兩當量圓柱表面相對于接觸點Mj的運動速度。

如圖 4所示，eξ、eη分別為接觸橢圓在切平面∑t上的長軸方向和短軸方向，則接觸線方向為eξ方向；es、eq為小輪齒面∑1在接觸線上任意離散點Mj處的兩個主方向；軸eξ與軸eq的夾角為σ［8-9］。等效圓柱的曲率為小輪齒面在離散點Mj處eη方向上的法曲率，由Euler方程可得：

式中：K1eηj為小輪齒面在離散點Mj處eη方向上的法曲率；為小輪齒面在離散點Mj處的兩個主曲率。

油膜壓力分布和膜厚分布可以通過聯立求解Reynolds方程、黏度方程、密度方程、能量平衡方程和載荷方程等求得，根據求得的油膜壓力分布、膜厚分布和Ree-Eyring流體的本構方程可以得到油膜中剪應力分布，根據求得的剪應力分布可以求得兩接觸表面之間的摩擦力和摩擦因數。為了得到較好的收斂性能和較快的計算速度，本文僅僅考慮了熱效應和非Newton流動的影響，即建立穩態熱彈流理論模型求解滑動摩擦因數。圖5所示為接觸表面的摩擦力與潤滑油的速度分布，圖中，x1和x2是油膜的起點和終點位置；F1和F2分別為兩表面上所受的摩擦力。滾動摩擦力主要產生于入口區（x1，-b），滑動摩擦力主要產生在接觸區（-b，b）內，所以兩表面的滑動摩擦力為：

▲圖2 接觸線離散

▲圖3 當量圓柱接觸

▲圖4 切平面坐標

▲圖5 速度分布與摩擦力

式中：τ為油膜內剪應力。

滑動摩擦因數為：

將以上數學模型無量綱化，采用多重網格法求解壓力，采用逐列掃描技術求解溫度，通過壓力與溫度的反復迭代求得完全數值解，具體方法參見文獻［9］。在離散點Mj處，令：通過解以上各式，可得到離散點Mj處瞬時滑動摩擦因數，采用同樣的辦法，可以依次求得各嚙合位置各離散點處的瞬時滑動摩擦因數。

3 嚙合效率的計算

嚙合位置φi處離散點Mj處的瞬時滑動摩擦因數μj（φi）確定后，該離散點處的滑動摩擦力為：

式中：Fnj（φi）為嚙合位置 φi處離散點 Mj處法向載荷。

由一般動力學功率計算方法得到嚙合位置φi處齒面滑動摩擦功率損失為：

式中：u（Mj）12（φi）為嚙合位置 φi處離散點 Mj處兩齒面相對滑動速度;n（i）為嚙合位置φi處離散點的個數。

僅考慮滑動摩擦功率損失情況下，直齒面齒輪在嚙合位置φi處瞬時嚙合效率為：

式中：Pin為齒輪的輸入功率。

由上述計算可以得到一個嚙合周期內各嚙合位置φ1、φ2、．．、φm對應的瞬時嚙合效率 η（φ1）、η（φ2）、．．、η（φm），由最小二乘法擬合得到小輪轉角與瞬時嚙合效率的關系式：

沿嚙合周期內對小輪轉角積分求平均值，得到直齒面齒輪的平均嚙合效率:

4 算例分析

以一對直齒面齒輪為例計算其嚙合效率，齒輪的參數如表1所示。圖6分別為嚙合線上離散點的法向載荷、相對滑動速度和滑動摩擦因子，高度為h的離散點的值表示為hc/h0，h為離散點的高度（如圖所示），h0為標度的高度，c 為標度（即 c=1m/s、500N、0．1）。 圖 7為齒輪嚙合效率隨小輪轉角的變化曲線，其中小輪轉過的角度為一個周期。齒輪的輸入功率為73．3kW， 輸入轉速為1000r/min。

由圖6可以看出節線附近的相對滑動速度很小，離節線越遠的嚙合線上點的相對滑動速度越大；不同嚙合線上離散點的滑動摩擦因數不同，同一嚙合線上不同離散點的滑動摩擦因數也不同。由圖7可以看出，齒輪在不同位置的嚙合效率不同，積分得到齒輪的平均嚙合效率為 0．98808。

表1 齒輪參數

圖8所示為一單位長度圓柱與平面接觸時不同滑滾比、不同載荷密度下的滑動摩擦因數，此時吸油速度為3．0m/s。在載荷密度是1000N/mm的條件下，圖9所示為不同滑滾比、不同卷吸速度下的滑動摩擦因數。其中，圓柱半徑為 0．08m，滑滾比 Sr=2（u1-u2）/（u1+u2）。

▲圖6 旋轉投影面上相對滑動速度、法向載荷和滑動摩擦因數

▲圖7 嚙合效率曲線

▲圖8 滑動摩擦因數

▲圖9 滑動摩擦因數（W=1000N/mm）

▲圖10 齒輪平均嚙合效率

▲圖11 齒輪平均嚙合效率（本文所述算法）

由圖8、9可以看出，滑動摩擦因數隨滑滾比的減小先增大后減小，在純滾動處，滑動摩擦因數為零。相對滑動摩擦因數隨齒輪所承受法向載荷密度的增大而增大，隨齒輪卷吸速度的增大而減小。

圖10所示為假設齒輪摩擦因數為一固定值0．1、不同輸入扭矩下直齒面齒輪嚙合效率隨轉速的變化曲線，圖11所示為本文所述算法求得的不同輸入扭矩下直齒面齒輪嚙合效率隨轉速的變化曲線。

圖10中假定齒面摩擦因數為一固定值，則齒輪的嚙合效率隨轉速和扭矩的變化都不大；圖11是由本文計算模型得到的嚙合效率，隨轉速增大而增大，隨扭矩增大而減小。說明轉速和扭矩對嚙合效率的影響主要是通過摩擦因數實現的。

5 結論

通過以上分析可以得到以下結論。

（1）熱彈流理論及其數值解法的發展使熱彈流理論可以用于求解齒輪的傳動效率，提高齒輪傳動效率的計算精度。

（2）齒面上不同位置的滑動摩擦因數也不相同，且不同工況下齒面上同一位置的滑動摩擦因數也不相同，因此采用平均摩擦因數來計算嚙合效率有一定的偏差。

（3）齒面滑動摩擦因數是影響齒輪嚙合效率的重要因素，扭矩、轉速對嚙合效率的影響是通過影響摩擦因數實現的。僅考慮滑動摩擦功率損失情況下，齒輪嚙合效率隨滑動摩擦因數的減小而增加。

（4）扭矩、轉速是影響滑動摩擦因數的重要因素，齒面滑動摩擦因數隨扭矩的增大而增大，隨轉速的增大而減小。

［1］ 朱如鵬，高德平．面齒輪傳動的研究現狀與發展 ［J］．南京航空航天大學學報，1997，29（3）:357-362．

［2］ 王成，方宗德，賈海濤．斜齒輪滑動摩擦功率損失的計算［J］．燕山大學學報， 2009， 33（2）:99-102．

［3］ 王成，高常青，賈海濤．基于人字齒輪嚙合特性的滑動摩擦功率損失［J］．中南大學學報 （自然科學版），2012，43（6）:2174．

［4］ Seetharaman S．An Investigation of Load-independent Power Losses of Gear Systems ［D］． Columbus：Ohio State University， 2009．

［5］ 趙寧，賈清健．基于 CFD的面齒輪風阻功率損失研究［J］．機械傳動， 2012， 36（9）:4-7．

［6］ 沈云波，方宗德，趙寧，等．考慮邊緣接觸直齒面齒輪傳動輪齒接觸分析［J］．機械傳動， 2009， 33（1）:9-13．

［7］ 沈云波，方宗德，趙寧，等．考慮邊緣接觸直齒面齒輪傳動承載接觸分析 ［J］．機械科學與技術，2009（8）:1096-1100．

［8］ Litvin F L， Fuentes A．Gear Geometry and Applied Theory［M］．Cambridge University Press， 2004．

［9］ 魯文龍，朱如鵬，曾英．正交面齒輪傳動中齒面曲率研究［J］．南京航空航天大學學報， 2000， 32（4）:400-404．

［10］ 楊沛然．流體潤滑數值分析［M］．北京：國防工業出版社，1998．